| Autor |
  Planimetrie - Winkel α berechnen |
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WinstonYT
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 21.02.2019
Mitteilungen: 196
 |  Themenstart: 2019-02-22
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Kurze Worte:
Ich habe den Lösungsweg mit der Lösung.
Problem: Ich verstehe den Lösungsweg nicht ganz. Wie ist der grobe vorgehen von diesem Rechnungsweg ?
Aufgabe:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51238_Aufgabe.jpeg
Lösung mit Lösungsweg
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51238_Aufgabe_mit_L_sungsweg.jpeg
Ab wo ich nichts mehr versteh:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51238_Wieso_durch2_und_wie_ist_das_grobe_vorgehen_dieser_Rechnungsweg.jpeg
Vielleicht kann mir jemand den Lösungsweg mit einer grafischen Skizze erklären, wäre sehr hilfreich.
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Creasy
Senior 
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 585
Wohnort: Bonn
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-22
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Grobes Vorgehen scheint wie folgt zu sein:
1) Berechnung der gesamten blauen Fläche.
2) Bestimmung des Winkels.
zu 1) die blaue Fläche ist: größerer Halbkreis - kleinerer Halbkreis. Der Radius ist r bzw. $\frac{r}{2}$. Da hier Halbkreise betrachtet werden, müssen wir noch bei der Flächenberechnung durch 2 teilen. (Das ist eine der Zweien, die du markiert hast)
blaue Fläche = $\frac{\pi r^2}{2} - \frac{\pi (\frac{r}{2})^2}{2}$.
zu 2) Nutze die angegebene Formel: Fläche eines Kreisausschnitts ist
$\frac{r^2 \phi}{2}$, wobei $\phi$ der Winkel im Bogenmaß sein soll und berechne $\phi$.
Sorry, grafisch kann ich leider nicht :)
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.2, eingetragen 2019-02-22
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Huhu,
nun die Fläche berechnet sich zu \(A=\frac{1}{2}\pi r^2-\frac{1}{2}\pi \frac{r^2}{4}=\frac{3}{8}\pi r^2\). Die Fläche eines Kreisausschnitts mit Mittelpunktswinkel \(\alpha\) ist \(A=\pi r^2 \frac{\alpha}{2\pi}\). Daraus ergibt sich:
\(\displaystyle \pi r^2 \frac{\alpha}{2\pi}=\frac{3}{16}\pi r^2\)
Löse die Gleichung nach \(\alpha\) auf.
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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MartinN
Aktiv 
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1412
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-22
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Ich würde das so rechnen:
Betrachte den kleinen, weißen Halb-Kreis (Kreis mit Winkel 180°) mit Radius r/2 -> verdoppelt man den Radius zu r, so vervierfacht sich die Fläche. Demnach muss man den Winkel vierteln, um wieder auf dieselbe Fläche zukommen -> 180°/4 = 45°
Demnach ist die blaue Fläche so groß wie ein Kreisausschnitt mit Radius r und Winkel 180° - 45° = 135°
Und der gesuchte Winkel um den Kreisausschnitt zu halbieren dann 135°/2 = 67,5°.
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WinstonYT
Wenig Aktiv
Dabei seit: 21.02.2019
Mitteilungen: 196
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-23
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@MartinN
Hallo Martin
Was meinst du wenn sich der kleine radius verdoppel vervierfacht sich die Fläche. Wie muss ich mir das vorstellen ?
Wie kann ich beweisen, dass wenn man den kleinen radius verdoppelt sich die Fläche vervierfacht ?
verdoppelt man den Radius zu r, so vervierfacht sich die Fläche. Demnach muss man den Winkel vierteln, um wieder auf dieselbe Fläche zukommen -> 180°/4 = 45°
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 3106
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.5, eingetragen 2019-02-23
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Hallo
Für den Halbkreis gilt A=\pi/2*r^2
Für den kleinen Halbkreis mit r=r/2 gilt
A_klein=\pi/2*(r/2)^2=A_groß/4.
Die gefärbte Fläche ist also A_groß-A_klein=3/4 A_groß.
Also 3/4*180° und dann halbieren wegen der Hälfte.
Gruß Caban
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MartinN
Aktiv 
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1412
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.6, eingetragen 2019-02-23
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@WinstonYT
Das ist einfach nur eine Streckung / Stauchung. Wenn alle Strecken in einem Körper zum n-fachen werden (das n-fache gestreckt), so werden die Flächen um das n^2-fache gestreckt und die Volumen um das n^3-fache.
Etwa streckst du einen Würfel um das 2-fache (verdoppelst jede Kante), so beträgt die neue Oberfläche das 4-fache und das Volumen das 8-fache.
Am Kreis erkennt man dies auch an der Proportionalität: A ~ r^2 (der Proportionalitätsfaktor ist ja pi) -> verdoppelt sich der Radius, so vervierfacht sich die Fläche (wegen dem Quadrat).
Würde man also die Fläche des kleinen Halbkreises mit Radius r/2 als Kreisausschnitt mit Radius r darstellen wollen, so müsste man dessen Winkel vierteln. Ein Halbkreis ist ja auch nur ein Kreisausschnitt mit Winkel 180°. Die Fläche des kleinen 180°-Kreisausschnittes mit Radius r/2 entspricht also der Fläche eines 180°/4-Kreisausschnittes mit Radius r.
Zieht man diesen 180°/4-Kreisausschnitt nun vom gegebenen 180°-Kreisausschnitt mit Radius r ab, so ist die eigentliche Aufgabe den verbliebenen Kreisausschnitt zu halbieren -> Also deren Winkel zu halbieren.
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