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Lineare Algebra » Determinanten » Koeffizienten einer Matrix
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Universität/Hochschule Koeffizienten einer Matrix
Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-05


Hallo,
ich bräuchte mal eure Hilfe. Ich soll die Koeffizienten a^6 und b^6 in det(A) bestimmen, wobei
fed-Code einblenden
Eine vollständige Berechnung von det(A) ist hierbei nicht verlangt.
Kann mir bitte jemand sagen, wie ich das hier machen muss? Ich hab leider echt keine Idee



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-05

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Hi,

versuch es mal mit der Leibniz-Formel für Determinanten:

\[\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^6 a_{i,\sigma(i)}.\]
Welche Permutationen \(\sigma\) ergeben im Term \(\prod_{i=1}^6 a_{i,\sigma(i)}\) entweder \(a^6\) oder \(b^6\)? Und wie tragen diese Terme dann jeweils zur gesamten Summe bei? Es ist insbesondere auf das Signum der beteiligten \(\sigma\) zu achten.

Alternativ kann man sich auch am Laplaceschen Entwicklungssatz bedienen. Demzufolge wäre ja

\[\det A=1\det A_{1,1}-b\det A_{1,2}+a\det A_{1,3}-1\det A_{1,4}+1\det A_{1,5}-a\det A_{1,6},\]
wobei \(A_{i,j}\) die Matrix ist, die man durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte erhält. Davon können nur die Terme mit Koeffizient \(a\) bzw. \(b\) zum Endterm \(a^6\) bzw. \(b^6\) beitragen (wieso?). Durch ähnliche Entwicklung der \(A_{i,j}\) kommt man dann auf den gesamten Term.
\(\endgroup\)


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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-08


ich habe mir die Aufgabe jetzt schon zwei Tage lang nochmal angeschaut. Komme aber leider immer noch nicht weiter. Die erste Definition verstehe ich auch leider überhaupt nicht. Wie kann ich denn hier die Leibnitz Formel anwenden, wenn ich eine 6x6 Matrix habe? Das geht doch nur bei Matrizen bis höchstens Grad 3.

Also habe ich den Laplaceschen Entwicklungssatzgenommen und danach ist
detA=1detA1,1−bdetA1,2+adetA1,3−1detA1,4+1detA1,5−adetA1,6
das habe ich auch noch verstanden. Dass jetzt nur die Terme mit den Koeffizienten a und b zu a^6 und b^6 beitragen können ist mir auch klar, weil ich bei den Koeffizienten 1 oder -1 maximal a^5 erhalte.
Kann ich die dann einfach alle rausstreichen und habe noch

detA=−bdetA1,2+adetA1,3−adetA1,6,?
Oder wie mache ich dann weiter?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-08

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Die Leibnizformel gilt ganz allgemein für beliebig große quadratische Matrizen. Nur wird sie verdammt kompliziert, da man $n!$ Permutationen durcharbeiten muss. In diesem Fall würden aber viele davon einfach entfallen, weil man nur an denen interessiert ist, in denen $a^6$ oder $b^6$ vorkommt. Wenn dir aber die Entwicklungsmethode näher liegt, lege ich mal den Fokus auf diese:

Die Gleichung als $\det A=\dots$ auzuschreiben ist so nicht ganz korrekt, weil dafür ja Terme fehlen. Man würde das etwas ausformulieren, in etwa: Die relevanten Terme sind enthalten in

\[-b\det A_{1,2}+a\det A_{1,3}-a\det A_{1,6}.\]

Wie man nun weitermachen würde: Auch die hierin vorkommenden Determinanten entwickeln, und alles rausfallen lassen, das nicht $a^5$ bei den Termen mit Faktor $a$, bzw. $b^5$ bei dem Term mit Faktor $b$ enthält. In der Entwicklung sind dann wieder Determinanten enthalten, diesmal von $4\times 4$-Matrizen. Auch die wieder entwickeln, bis man alles durch hat.
\(\endgroup\)


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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-08


Ok das habe ich nun verstanden. Nur auf was für ein Ergebnis soll ich denn dann am Ende kommen?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-08

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Am Ende sollte so etwas stehen wie "Der Koeffizient von $a^6$ ist $x_a$, der von $b^6$ ist $x_b$". Wie $x_a$ und $x_b$ aussehen, musst du allerdings selber berechnen. Den Rechenweg hast du ja gesehen.
\(\endgroup\)


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