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Strukturen und Algebra » Ringe » Chinesischer Restsatz Beweis bei Bosch
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Universität/Hochschule J Chinesischer Restsatz Beweis bei Bosch
kingdingeling
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  Themenstart: 2019-03-19

Liebe Mitglieder, für die Algebra Klausur in einer Woche lese ich im Moment das Buch von Bosch von vorne bis hinten einmal durch. Dabei bin ich auf den chinesischen Restsatz gestoßen und seinen Beweis: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/48680_Screenshot_2019-03-19_at_15.50.10.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/48680_Screenshot_2019-03-19_at_15.50.16.png Leider ist mir der Beweis nicht ganz klar. Ich verstehe wieso für \(i\neq j\) gilt \(\pi_i(e_j)=0\) jedoch ist mir nicht klar weshalb für \(i=j\) dann \(\pi_i(e_j)=1\) gilt. Ja natürlich gibt es ja Elemente d aus \(a_j\) mit \(d+e_j =1\) aber wieso gilt das für den ganzen Faktorring? Auch die letzte Gleichung verstehe ich leider nicht und wäre euch sehr sehr dankbar für eure Hilfe. Beste Grüße, KingDingeling


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Cdr
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-19

Hallo kingdingeling, ich denke du übersiehst hier nur das Offensichtliche. Es gilt $d_j + e_j = 1$ in $R$ für $j=1, ... , n$. Da $d_j \in \mathfrak{a}_j$ ist $\pi_j(d_j) = 0$ und damit \[ \pi_j(e_j) = \pi_j(1 - d_j) = \pi_j(1) - \pi_j(d_j) = 1. \] Die letzte Gleichheit ergibt sich dann aus \[ \varphi (\sum_i x_i e_i) = \sum_i \varphi(x_i) \varphi(e_i). \] Jetzt musst du nurnoch $\varphi(x_i)$ ausrechnen, bzw. da $\varphi(e_i)= (0, ... ,1, ..., 0)$, reicht es wenn du dir die $i$-te Komponente von $\varphi(x_i)$ genauer anschaust. Bedenke auch, dass auf dem Produktring die Operationen komponentenweise definiert sind. Hoffe ich konnte helfen und gutes Gelingen in deiner Klausur, Cdr


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kingdingeling
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-20

Vielen Dank cdr für deine ausführliche und hilfreiche Antwort. Sehr freundlich!


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