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Mathematik » Geometrie » Spezielles Dreieck in einem Kreis - Warum sind 2 Winkel gleich?
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Universität/Hochschule Spezielles Dreieck in einem Kreis - Warum sind 2 Winkel gleich?
eric_67
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.03.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-24


Gegeben ist ein Dreieck in einem Kreis $B_r$, bei dem die Tangente $T_C B_r$ an einem Punkt des Dreiecks parallel zur gegenüberliegenden Seite des Dreiecks ist (vgl. Abbildung). Wie beweise ich möglichst elegant, dass für die Winkel an der gegenüberliegenden Seite gilt: $\alpha=\beta$?




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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1269
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo eric_67 und herzlich Willkommen auf Matroids Matheplanet!

Der zu deiner Tangente gehörende Radius muss ja zur Tangente orthogonal sein und damit auch zur Dreieckseite \(\overline{AB}\). Also liegt dieser Radius auf der Höhe des Dreiecks und somit ist es gleichschenklig.

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Vercassivelaunos
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Mitteilungen: 495
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-03-24


Hallo eric_67,

ganz ähnlich wie Diophant kann man auch argumentieren, dass alle Konstruktionsschritte spiegelsymmetrisch mit dem von Diophant genannten Radius als Symmetrieachse sind. Dann müssen auch alle resultierenden Winkel spiegelsymmetrisch sein.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-25


Zu den bisherigen Beweisideen braucht man aber noch eine Begründung, warum MC (M=Mittelpunkt des Kreises) eine Symmetrieachse des Dreiecks ist, oder etwas ähnliches.

Mein Ansatz:
Wenn man den Punkt recht oben im Bild mit D bezeichnet, dann ist der Winkel ACD gleich $\alpha$ (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen) und gleich $\beta$ (Sehnen-Tangentenwinkel-Satz).



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
@Kitaktus:
2019-03-25 08:39 - Kitaktus in Beitrag No. 3 schreibt:
Zu den bisherigen Beweisideen braucht man aber noch eine Begründung, warum MC (M=Mittelpunkt des Kreises) eine Symmetrieachse des Dreiecks ist, oder etwas ähnliches.

Die habe ich in dem Fall gemeinsam mit dem Themenstarter gegeben. Laut Themenstart sind die Tangente \(T_C B_R\) und die Dreieckseite c parallel. Damit läuft die Dreieckshöhe durch den Kreismittelpunkt, das ist hinreichend.

Zu deiner Idee: wie kommst du darauf, dass \(\overline{AB}=\overline{CD}\) (mit dem von dir so bezeichneten Punkt D) sein könnte?

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-25


@Diophant:
Mir ist klar, dass eine Höhe, die durch den Umkreismittelpunkt verläuft eine Symmetrieachse sein muss. Für einen vollständigen (ausführlichen) Beweis sollte man das halt begründen, oder auf einen Satz verweisen, der genau das aussagt.
So einen Satz habe ich persönlich nie kennengelernt, vermutlich weil der notwendige Beweis auch nur aus zwei Zeilen besteht.

Zu Deiner Frage:
Streckenlängen kommen in meiner Beweisidee überhaupt nicht vor, ich verstehe die Frage also nicht. Den Punkt D brauche ich nur, um den Sehnen-Tangenten-Winkel (Sehne AC, Tangente in C) benennen zu können.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-03-25


@Kitaktus:
2019-03-25 09:18 - Kitaktus in Beitrag No. 5 schreibt:
@Diophant:
Mir ist klar, dass eine Höhe, die durch den Umkreismittelpunkt verläuft eine Symmetrieachse sein muss. Für einen vollständigen (ausführlichen) Beweis sollte man das halt begründen, oder auf einen Satz verweisen, der genau das aussagt.
So einen Satz habe ich persönlich nie kennengelernt, vermutlich weil der notwendige Beweis auch nur aus zwei Zeilen besteht.

Man braucht hier doch einfach nur noch die Tatsache, dass eine Kreistangente mit ihrem zugehörigen Radius einen rechten Winkel bildet, oder was genau fehlt dir hier noch?

2019-03-25 09:18 - Kitaktus in Beitrag No. 5 schreibt:
Zu Deiner Frage:
Streckenlängen kommen in meiner Beweisidee überhaupt nicht vor, ich verstehe die Frage also nicht. Den Punkt D brauche ich nur, um den Sehnen-Tangenten-Winkel (Sehne AC, Tangente in C) benennen zu können.

Ok, vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden. So geht das natürlich auch schön.

Gruß, Diophant




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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-03-25


Vielleicht bin ich einfach kleinschrittiger unterwegs ...

Die Aussage war in etwa: "Der Radius (MC) liegt auf der Höhe (hc) des Dreiecks, also ist das Dreieck gleichschenklig."
Das ist richtig, aber _warum_ ist das so?

Als Begründung würde ich so etwas erwarten wie: Die Mittelsenkrechte der Seite AB steht senkrecht auf AB und geht durch M (*), genauso wie die Höhe hc. Also stimmen Höhe und Mittelsenkrechte überein. Die Höhe hc ist daher eine Symmetrieachse des Dreiecks.
(*) M ist ja der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-03-25


@Kitaktus:
2019-03-25 16:38 - Kitaktus in Beitrag No. 7 schreibt:
Vielleicht bin ich einfach kleinschrittiger unterwegs ...

Die Aussage war in etwa: "Der Radius (MC) liegt auf der Höhe (hc) des Dreiecks, also ist das Dreieck gleichschenklig."
Das ist richtig, aber _warum_ ist das so?

Als Begründung würde ich so etwas erwarten wie: Die Mittelsenkrechte der Seite AB steht senkrecht auf AB und geht durch M (*), genauso wie die Höhe hc. Also stimmen Höhe und Mittelsenkrechte überein. Die Höhe hc ist daher eine Symmetrieachse des Dreiecks.
(*) M ist ja der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten.

erstens bin ich davon ausgegangen, dass es hier weiterhin Konsens ist, zunächst Anregungen zu geben und keine fertigen Lösungen. Wir wissen ja nicht, wozu der Themenstarter das benötigt und was er daraus machen möchte.

Dann: laut Themenstart wissen wir bereits, dass die fragliche Tangente und die Seite AB parallel sind. Das ist hier Voraussetzung. Damit muss die Strecke, die entsteht, wenn man den zur Tangente gehörenden Radius über den Mittelpunkt M hinaus bis auf die Strecke AB verlängert, die Höhe des Dreiecks sein (da sie die Seite AB rechtwinklig trifft, wegen mir qua Wechselwinkel). Und damit ist es die Mittelsenkrechte von AB und die Symmetrieachse des Dreiecks ABC. Das war jetzt die Langversion meiner obigen Argumentation, aber inhaltlich hat sich nichts geändert.

Gruß, Diophant



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-03-26


Letzendlich geht es doch in der Aufgabe darum zu zeigen,
dass "MC (M=Mittelpunkt des Kreises) eine Symmetrieachse des Dreiecks ist".
Also kann man das bei der Argumentation, zu der die Aufgabe
auffordert, nicht schon als Tatsache anführen. Zudem wäre das fast so,
als würde man die Aussage selbst bei der Argumentation verwenden.
Ich kann das Herangehen von Kitaktus in "kleineren Schritten" gut nachvollziehen.
Gruß Orthonom



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-03-26


@Orthonom:
2019-03-26 09:32 - Orthonom in Beitrag No. 9 schreibt:
Letzendlich geht es doch in der Aufgabe darum zu zeigen,
dass "MC (M=Mittelpunkt des Kreises) eine Symmetrieachse des Dreiecks ist".
Also kann man das bei der Argumentation, zu der die Aufgabe
auffordert, nicht schon als Tatsache anführen...

Das tue ich auch nicht. Falls du anderer Ansicht bist, dann zitiere doch bitte die Stelle, wo das angeblich behauptet wird.

Gruß, Diophant



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-03-26


@Diophant:

Ich wollte in Beitrag #3 den Fragesteller darauf hinweisen, dass die bis dahin gemachten Beweisvorschläge noch nicht vollständig sind, er sich also noch zusätzliche Gedanken machen muss.
Die ausführliche Begründung in #7 habe ich nur gegeben, weil danach gefragt wurde.

Mir ist schon klar, dass man mit etwas Erfahrung die "Lücken" im Kopf schließen kann und wahrscheinlich gar nicht groß darüber nachdenkt - "ist doch offensichtlich".
Zugegebenermaßen, messe ich hier mit unterschiedlichem Maß. In einem Gespräch unter "Experten" würde es mich eher nerven, wenn jemand so kleinteilig argumentiert. Von einem "Lernenden" erwarte ich eine detailiertere Darstellung, damit ich "sehen" kann, ob ihm die Teilschritte wirklich klar sind.




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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-03-26


@Diophant

2019-03-25 17:05 - Diophant in Beitrag No. 8 schreibt:

Dann: laut Themenstart wissen wir bereits, dass die fragliche Tangente und die Seite AB parallel sind. Das ist hier Voraussetzung. Damit muss die Strecke, die entsteht, wenn man den zur Tangente gehörenden Radius über den Mittelpunkt M hinaus bis auf die Strecke AB verlängert, die Höhe des Dreiecks sein (da sie die Seite AB rechtwinklig trifft, wegen mir qua Wechselwinkel)...

Bis daher stimme ich Dir zu und das  kann ich nachvollziehen.
Warum aber damit auch

2019-03-25 17:05 - Diophant in Beitrag No. 8 schreibt:
Und damit ist es die Mittelsenkrechte von AB und die Symmetrieachse des Dreiecks ABC...

sofort klar ist, dass sehe ich ohne ein weiteres Argument
nicht sofort (ich weiß natürlich auch, dass dem so ist).
und ich denke hier benötigt man eben noch was.
Vielleicht stehe ich auch total auf der Leitung.
Dann wäre es allerdings nett, wenn Du mir hilfst, meinen Fuß von
der Leitung zu nehmen.

Schönen Abend,
Orthonom



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-03-26


@Orthonom:

was soll denn eine Gerade, die durch den Kreismittelpunkt geht und eine Sehne rechtwinklig schneidet, anderes sein als eben die Mittelsenkrechte dieser Sehne?

Für mich ist das elementarste Kreisgeometrie.

Gruß, Diophant




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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-03-26


@Diophant
Danke für Deine Antwort.
Aber dann ist auch die Gleichheit der Winkel elementare
Kreisgeometrie und man müsste im Prinzip gar nichts zeigen.
Aber ist schon ok.

Gruß Orthonom



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-03-26


Das sehe ich jetzt wieder anders. Man muss immerhin begründen/beweisen, dass es sich bei beim Dreieck ABC um ein gleichschenkliges Dreieck handelt. Dafür ist die Tatsache, dass die Mittelsenkrechte der Seite c gleichzeitig Dreieckshöhe ist, hinreichend.

Und dann möchte ich nochmals darauf hinweisen: meine Antwort war nicht als vollständiger Beweis gedacht, sondern als Anregung, wie so ein Beweis aussehen könnte. Ich hielt dies für eine Selbstverständlichkeit, weil es das ehedem einmal war...

Wenn der Themenstarter das hätte weiterverfolgen wollen, dann hätte man das sicherlich präzisieren können. Aber das war eine erste Antwort auf die Frage nach einem möglichst eleganten Beweis.

Ich muss jetzt mal doch etwas in die Ironie-Kiste greifen: sollen wir in Zukunft bei jeder Bruchrechnung unsere Antworten mit den Körperaxiomen beginnen? ;-)

Gruß, Diophant



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-03-26


@Diophant

Dass die Höhe zugleich die Mittelsenkrechte ist, das wurde gerade nicht gezeigt.
Es wurde nur gezeigt, dass die Verlängerung der Strecke MC senkrecht
auf der Strecke AB steht.

Bezeichnen wir den Schnittpunkt der Verlängerung MC mit der Strecke AB mit D.
Dann entstehen zwei rechtwinkelige Dreicke, einmal mit Ecken D, A und M
und einmal mit Ecken D, B und M. Da beide Dreiecke die Seiten DM
gemeinsam haben und die Seiten MA und MB die selbe Länge des Radius haben,
folgert man mit dem Satz von Pythagoras, dass die Länge der Strecke AD
gleich der Länge der Strecke BD ist.
Nun ist gezeigt, dass die Höhe die Mittelsenkrechte ist.
Wiederum mit dem Satz des Pythagoras folgt dann die Gleichschenkeligkeit
des Dreiecks ABC.

Eine Möglichkeit wäre also gewesen, den Satz des Pythagoras anzuführen,
der die Symmetrie gewährleistet.
Alleine von Kreisgeometrie zu sprechen, ist vielleicht nicht spezifisch
und klar genug.

Wenn jemand die Riemannsche Vermutung zeigt und im Beweis eine
Bruchrechnung vorkommen sollte, dann wird er nicht auch noch
die Körperaxiome bemühen und die Regeln für das Bruchrechnen
zeigen. Je tiefer ein zu zeigendes Ergebnis ist, desto tiefer sollten/können
auch die Argumente sein, die man bei einem Beweis anführt und
man wird nicht bei den Grundlagen beginnen. Aber bei gewissen
elemantaren Aussagen, kann das durchaus angebracht sein.
Hier ging es um eine elementare Aussage.

Die Ironie in Deiner letzten Bemerkung ist mir entgangen.
Das Gute daran: Ich bitte Dich nicht, sie mir zu erläutern :)

Schönen Abend,
Orthonom












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