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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Durchschnitt und Vereinigung von Mengensystemen
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Kein bestimmter Bereich Durchschnitt und Vereinigung von Mengensystemen
paul188
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-24


Hallo zusammen. Ich brüte schon seit ein paar Monaten über verschiedenen Mathebüchern (einfach weils Spass macht smile und weil ich überlege das evtl nach dem Abi zu studieren) und hänge nun aber seit ein paar Tagen an einer Definition fest, die ich nicht verstehe, wär super wenn ihr mir da aushelfen könntet.

Durchschnitt eines Mengensystems:
∩M ∶= {x|∀X(X∈M ⇒ x∈X)}

Vereinigung eines Mengensystems:
∪M ∶= {x|∃X(X∈M ⇒ x∈X)}

Also ich verstehe, dass ein Mengensystem eine Menge v. Mengen ist, und dass in den Definitionen von dem Mengensystem auf die einzelnen Elemente der Mengen geschlossen wird. Auch kapiere Ich generelle die Basics der Mengenalgebra. Aber so ganz verstehe ich hier besonders die Rolle der Quantoren nicht.

Dankbar für jede Hilfe. Paul



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-24


Hallo,


Aber so ganz verstehe ich hier besonders die Rolle der Quantoren nicht.

Kannst du denn ohne diese mathematische Zeichen ausdrücken, was hier gemeint ist?
Was bedeutet es also, wenn $x\in\bigcap M$ bzw. $x\in\bigcup M$.



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-03-24


Hallo und Willkommen auf dem Matheplaneten!

Durchschnitt: die Menge aller x, die in allen Elementen von M enthalten sind
Vereinigung: die Menge aller x, die in mindestens einem Element von M enthalten sind

Da hab ich eigentlich nur die Definitionen vorgelesen. Wo genau hängst du denn dabei fest?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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⊗ ⊗ ⊗



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xiao_shi_tou_
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Aus: Ständig auf Reisen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-24

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\(\forall\) bedeutet "für alle"
\(\exists\) bedeutet "es gibt ein"

Ein Element \(x\) ist genau dann in der Vereinigung \(\bigcup_i X_i\) des Mengensystems \(\mathcal{X}=(X_i)_{i\in I}\) wenn es in (mindestens) einer der Mengen \(X_i\) ist. Mit anderen Worten, \(x\in \bigcup_i X_i\) genau dann wenn es ein \(i\in I\) gibt mit \(x\in X_i\).
Ob das Element auch noch in anderen Mengen des Mengensystems enthalten ist spielt keine Rolle. Es genuegt, wenn es in einer der Mengen enthalten ist.

Demnach gilt zum Beispiel \(1/2\in \bigcup_{n\in\mathbb{N}}[n,n+1/2]\) denn es ist \(1/2\in[0,1/2]=X_0\).

Ein Element \(x\) ist genau dann im Schnitt \(\bigcap_i X_i\) wenn es in jeder der Mengen \(X_i\) enthalten ist, also wenn für alle \(i\in I\) gilt \(x\in X_i\).

Zum Beispiel ist \(0\in \bigcap_n (-1/n,+1/n)\), denn \(-1/n<0<+1/n\) für alle \(n\in \mathbb{N}\).
In Wirklichkeit gilt \(\bigcap_n (-1/n,1/n)=\{0\}\).
Versuche das doch mal selbst zu beweisen. Es ist nicht schwer und falls es nicht klappt kannst du hier gerne fragen.

Mit \(0\in \bigcap_n (-1/n,1/n)\) hast du schon bewiesen, dass \(\{0\}\) in \(\bigcap_n (-1/n,+1/n)\) enthalten ist. Um zu zeigen, dass die beiden Mengen gleich sind musst du nun noch zeigen, dass auch die Menge \(\bigcap_n (-1/n,+1/n)\) in der Menge \(\{0\}\) enthalten ist.



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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paul188
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-24


Erst einmal vielen Dank für die ganzen Antworten, hätte nie erwartet, das da so schnell was kommt ! Sehr hilfsbereite Community hier !

Ich habs jetzt verstanden, Ich denke was mich verwundert hat, war die Definition über diese Implikation, Ich muss mich vielleicht einfach noch ein bisschen an die strikt logische Ausdrucksweise gewöhnen. Vielen Dank auch xiao_shi_tou_, das Beispiel hat wirklich geholfen und ich setze mich morgen mal an den Beweis, wenns nicht klappt werde Ich dich noch ein bisschen mit PM's nerven biggrin



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-25


2019-03-24 22:20 - paul188 in Beitrag No. 4 schreibt:
Erst einmal vielen Dank für die ganzen Antworten, hätte nie erwartet, das da so schnell was kommt ! Sehr hilfsbereite Community hier !

Ich habs jetzt verstanden, Ich denke was mich verwundert hat, war die Definition über diese Implikation, Ich muss mich vielleicht einfach noch ein bisschen an die strikt logische Ausdrucksweise gewöhnen. Vielen Dank auch xiao_shi_tou_, das Beispiel hat wirklich geholfen und ich setze mich morgen mal an den Beweis, wenns nicht klappt werde Ich dich noch ein bisschen mit PM's nerven biggrin

Du bist herzlich willkommen im Forum. Du kannst mir gerne PMs schreiben, wenn du dich für ein Mathestudium interessierst, auch zu anderen Fragen.

Grüße



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-03-25


2019-03-24 21:53 - ligning in Beitrag No. 2 schreibt:

Durchschnitt: die Menge aller x, die in allen Elementen von M enthalten sind
Vereinigung: die Menge aller x, die in mindestens einem Element von M enthalten sind


Das sind allerdings nicht die oben genannten Definitionen.

Gerade bei der Vereinigung wäre es interessant zu erläutern, warum da die Implikation $\Rightarrow$ und kein logisches UND $\land$ steht.

Ich kann nachvollziehen, warum man speziell mit der zweiten Definition Probleme hat.


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-03-25


Moin, ich plädiere auch dafür, dass hier ein UND stehen sollte. Aber vielleicht ist das auch nur ein Flüchtigkeitsfehler (Copy, Paste, Edit) des TS oder des Autors.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-03-25


Hallo zusammen,

ich hatte das gestern gar nicht bemerkt.

2019-03-25 13:48 - helmetzer in Beitrag No. 7 schreibt:
Moin, ich plädiere auch dafür, dass hier ein UND stehen sollte.

Wir können ja abstimmen  wink

Im Ernst: \(\implies\) ist bei der Formel für die Vereinigung definitiv falsch, und es muss \(\wedge\) heißen.

Denn mit \(A=\{x:\exists X(X\in M\implies x\in X)\}\) ist A die Allklasse, also das Ding, das einfach alles enthält (und damit keine Menge mehr).

Beweis
Sei x beliebig.

Fall 1: M ist die Allklasse
Dann ist \(X:=\{x\}\in M\) und somit \((X\in M\implies x\in X)\) eine wahre Aussage. Also ist \(x\in A\).

Fall 2: Es gibt eine Menge \(X\not\in M\)
Dann ist \((X\in M\implies x\in X)\) eine wahre Aussage, also ebenfalls \(x\in A\).


2019-03-25 13:48 - helmetzer in Beitrag No. 7 schreibt:
Aber vielleicht ist das auch nur ein Flüchtigkeitsfehler (Copy, Paste, Edit) des TS oder des Autors.
Das vermute ich auch.



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-03-25

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2019-03-25 19:54 - StrgAltEntf in Beitrag No. 8 schreibt:
Hallo zusammen,

ich hatte das gestern gar nicht bemerkt.

2019-03-25 13:48 - helmetzer in Beitrag No. 7 schreibt:
Moin, ich plädiere auch dafür, dass hier ein UND stehen sollte.

Wir können ja abstimmen  wink

Im Ernst: \(\implies\) ist bei der Formel für die Vereinigung definitiv falsch, und es muss \(\wedge\) heißen.

Denn mit \(A=\{x:\exists X(X\in M\implies x\in X)\}\) ist A die Allklasse, also das Ding, das einfach alles enthält (und damit keine Menge mehr).

Beweis
Sei x beliebig.

Fall 1: M ist die Allklasse
Dann ist \(X:=\{x\}\in M\) und somit \((X\in M\implies x\in X)\) eine wahre Aussage. Also ist \(x\in A\).

Fall 2: Es gibt eine Menge \(X\not\in M\)
Dann ist \((X\in M\implies x\in X)\) eine wahre Aussage, also ebenfalls \(x\in A\).


2019-03-25 13:48 - helmetzer in Beitrag No. 7 schreibt:
Aber vielleicht ist das auch nur ein Flüchtigkeitsfehler (Copy, Paste, Edit) des TS oder des Autors.
Das vermute ich auch.

Ob es stimmt oder nicht kommt darauf an was $\exists X$ bedeutet.
Wenn das $\exists X\in\mathcal{M}$ bedeutet ist alles gut, nur umständlich formuliert. Wenn aber $\exists X\in\mathcal{P}(Y)$ mit $\mathcal{M}\sube \mathcal{P}(Y)$ gemeint ist, dann ist es falsch.

@Paul
Die Definition wie du sie hingeschrieben hast macht keinen Sinn und wird so auch nicht verwendet. Nimm lieber die Definition wie ich sie dir in Beitrag No.3 hingeschrieben habe, so macht man das normalerweise.

Viele Grüße
\(\endgroup\)


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Orthonom
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Hallo xiao_shi_tou_,

ich kann Deiner Argumentation bei Fall 1 nicht ganz folgen,
denn die Allklasse ist keine Menge. M ist aber eine Menge (oder?),
also kannst Du nicht annehmen, dass M die Allklasse wäre.

Gruß Orthonom




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StrgAltEntf
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2019-03-25 21:33 - Orthonom in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo xiao_shi_tou_,

ich kann Deiner Argumentation bei Fall 1 nicht ganz folgen,
denn die Allklasse ist keine Menge. M ist aber eine Menge (oder?),
also kannst Du nicht annehmen, dass M die Allklasse wäre.

Du hast recht, ein "Mengensystem" ist wohl eine Menge. Also vergiss Fall 1.

(Übrigens war das meine Argumentation und nicht die von xiao_shi_tou wink )



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tactac
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Man kann, ohne all zu viel anzunehmen (CZF reicht) und ohne irgendetwas über $M$ wissen zu müssen, auch explizit ein $X$ angeben, das nicht Element von $M$ ist.
\(\endgroup\)


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Orthonom
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@xiao_shi_tou_
Sorry, es war natürlich StrgAltEntf, der diese Fallunterscheidung
gemacht hat.

@StrgAltEntf
Nicht ich muß Fall 1 vergessen, sondern Du. :)

@tactac
Kannst Du das kurz hinschreiben, wie man so ein X
explizit bestimmt?

Gruß Orthonom




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tactac
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2019-03-26 08:44 - Orthonom in Beitrag No. 13 schreibt:
@tactac
Kannst Du das kurz hinschreiben, wie man so ein X
explizit bestimmt?
Großartig zu "bestimmen" ist da nichts. Man nimmt zum Beispiel einfach M. Mit Epsilon-Induktion lässt sich zeigen, dass für alle $M$ gilt: $M \notin M$.
\(\endgroup\)


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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-03-26


@tactac
Danke für Deine Antwort.
Du hattest geschrieben, es lässt sich explizit ein X angeben.
Du hast also gemeint, man kann etwa X=M wählen.
Hättest Du auch eine Idee, wie man in einer Mengenlehre, die die Existenz
von Mengen \(x\) mit  \(x\in x\) zuläßt, ein X finden könnte, welches nicht in
M liegt?
Gruß Orthonom



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tactac
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2019-03-26 09:55 - Orthonom in Beitrag No. 15 schreibt:
Du hattest geschrieben, es lässt sich explizit ein X angeben.
Du hast also gemeint, man kann etwa X=M wählen.
Hättest Du auch eine Idee, wie man in einer Mengenlehre, die die Existenz
von Mengen \(x\) mit  \(x\in x\) zuläßt, ein X finden könnte, welches nicht in M liegt?
Nein.
Aber es war ja zu zeigen:
StrgAltEntf schreibt:
Denn mit \(A=\{x:\exists X(X\in M\implies x\in X)\}\) ist A die Allklasse
Statt ein $X$ zu wählen, das nicht in $M$ liegt, kann man auch ein $X$ wählen, das $x$ als Element hat. $\{x\}$ ginge.
\(\endgroup\)


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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-03-26


@tactac
Danke für Deine Antwort.
2019-03-26 11:08 - tactac in Beitrag No. 16 schreibt:
2019-03-26 09:55 - Orthonom in Beitrag No. 15 schreibt:
Du hattest geschrieben, es lässt sich explizit ein X angeben.
Du hast also gemeint, man kann etwa X=M wählen.
Hättest Du auch eine Idee, wie man in einer Mengenlehre, die die Existenz
von Mengen \(x\) mit  \(x\in x\) zuläßt, ein X finden könnte, welches nicht in M liegt?
Nein.
Aber es war ja zu zeigen:
StrgAltEntf schreibt:
Denn mit \(A=\{x:\exists X(X\in M\implies x\in X)\}\) ist A die Allklasse
Statt ein $X$ zu wählen, das nicht in $M$ liegt, kann man auch ein $X$ wählen, das $x$ als Element hat. $\{x\}$ ginge.
Es ist mir klar, dass man für den Nachweis "A ist die Allklasse" nicht
unbedingt ein X angeben muß, welches nicht in M enthalten ist. Diese Frage
interessiert mich aber davon unabhängig.
Dein angebener Beweis für "A ist die Allklasse" lautet:
Sei \(x\) irgend eine Menge. Setze \(X=\{x\}\) und damit ist \(\exists X(X\in M \Rightarrow x\in X)\)
eine wahre Aussage und deshalb gilt \(x\in A\) und damit ist A die Allklasse.

In der ZF-Mengenlehre wird das Konstrukt \(\{x:\exists X(X\in M \Rightarrow x\in X)\}\)
für eine Menge durch das Axiomensystem nicht ermöglicht und so
ist es kein Wunder, dass man keine Menge erhält.
Die Definition für den Durchschnitt des Mengensystems, wie oben gegeben,
ist in der ZF-Mengenlehre so auch nicht möglich.



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tactac
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2019-03-26 11:43 - Orthonom in Beitrag No. 17 schreibt:
Hättest Du auch eine Idee, wie man in einer Mengenlehre, die die Existenz
von Mengen \(x\) mit  \(x\in x\) zuläßt, ein X finden könnte, welches nicht in M liegt?
Hier eine Idee, die lediglich die eingeschränkte Comprehension benötigt: Sei $M$ eine beliebige Menge. Setze $X := \{ x \in M \mid x \notin x \}$.
Es ist dann $X \notin M$, denn wenn $X \in M$, dann ist $X \in X$ äquivalent zu $X \notin X$.
\(\endgroup\)


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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2019-03-26


@tactac
Danke und Deine Idee ist gut und gefällt mir.
In der CZF Mengenlehre wird Dein X dann wieder zu M,
wie oben.



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tactac
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2019-03-26 11:43 - Orthonom in Beitrag No. 17 schreibt:
In der ZF-Mengenlehre wird das Konstrukt \(\{x:\exists X(X\in M \Rightarrow x\in X)\}\)
für eine Menge durch das Axiomensystem nicht ermöglicht und so
ist es kein Wunder, dass man keine Menge erhält.
Die Definition für den Durchschnitt des Mengensystems, wie oben gegeben,
ist in der ZF-Mengenlehre so auch nicht möglich.
Man kann die Notation auch so sehen, dass sie zunächst nur Klassen bezeichnet. Und dann wird durch Axiome gefordert, dass gewisse Klassen, die man so (oder auch ganz anders) hinschreibt, Mengen zu "sein" haben, in dem Sinn, dass es Mengen mit exakt denselben Elementen geben muss.
2019-03-26 14:16 - Orthonom in Beitrag No. 19 schreibt:
In der CZF Mengenlehre wird Dein X dann wieder zu M, wie oben.
Hübsche Beobachtung, ist mir gar nicht aufgefallen. :)
\(\endgroup\)


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Orthonom
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@tactac
Ich fand diese Beobachtung auch sehr schön und sie zeigt,
dass die Menge X, die Du in beiden Fällen angegeben hast,
ein kanonisches Beispiel für eine Menge ist, die nicht in M
enthalten ist.



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2019-03-26

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2019-03-25 21:33 - Orthonom in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo xiao_shi_tou_,

ich kann Deiner Argumentation bei Fall 1 nicht ganz folgen,
denn die Allklasse ist keine Menge. M ist aber eine Menge (oder?),
also kannst Du nicht annehmen, dass M die Allklasse wäre.

Gruß Orthonom


Wenn \(X\) eine feste Menge ist und \(\mathcal{M}\sube \mathcal{P}(X)\) ein System von Teilmengen von \(X\), dann ist
\(\{x\in X\mid \exists X\in\mathcal{M}\colon (X\in\mathcal{M}\implies x\in X)\}\) die Vereinigung aller Mengen in \(\mathcal{M}\).
Diese Schreibweise ist aber sehr umständlich, weil \(\exists X\in\mathcal{M}\colon (X\in\mathcal{M}\implies x\in X)\) zu \(\exists X\in\mathcal{M}\colon x\in X\) äquivalent ist.

Das ist soweit ich es sehe die einzige Interpretation der Definition im Themenstart die funktionieren würde (auch wenn sie umständlich ist).
Anders weiß ich nicht, wie man die Definition im Themenstart auffassen sollte, damit es Sinn macht.

Viele Grüße

EDIT: Mit "falsch" meinte ich, dass dabei nicht die Vereinigung rauskommt.
Mengentheoretische Probleme habe ich erstmal mit der Grundannahme \(X\in \mathcal{P}(X)\) ignoriert, weil ich denke, dass das nicht die Frage des Themenstellerst war.

Der arme Themensteller versucht ja nur die Definition der Vereinigung zu verstehen, die ja wirklich nicht schwer zu verstehen ist xD.

Leider hat er in irgendeinem Buch diese "sinnlose/umstaendliche" Definition gefunden, und hier bekommt er eine Diskussion von "Klassen" und "Mengen" und "Zermelo-Fraenkel".

@Paul Die Frage die hier gerade heiß diskutiert wird, ist ob das Objekt welches du hingeschrieben hast in dem üblichen Axiomensystem eine Menge ist, oder nur eine Klasse.
Eine Menge ist nämlich ein restriktiverer Begriff.

Wenn man etwas hinschreibt, und erwartet, dass es eine Menge ist, dann kann es gut passieren, dass es keine Menge mehr ist, sondern nur noch eine Klasse, weil es sozusagen "zu groß" ist.

Zum Beispiel existiert die "Menge aller Mengen" nicht.
Siehe "Russel's Paradoxon".

Für die Vereinigung und den Schnitt kannst du einfach die Definition nehmen, die ich im ersten Beitrag hingeschrieben habe.

Liebe Grüße
\(\endgroup\)


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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2019-03-27


Hallo xiao_shi_tou_,

diesmal liegt keine Verwechslung vor :)

Vielleicht wäre es glücklicher gewesen, wenn Du
"Wenn Y eine feste Menge ist und M⊆P(Y) ein System von Teilmengen von Y, dann ist
{x∈Y∣∃X∈M:(X∈M⟹x∈X)} die Vereinigung aller Mengen in M."
geschrieben hättest.

Das man den Kontext der Definition nicht kennt, macht es auch nicht
leicht, darüber zu sprechen.

@paul188
Vielleicht kannst Du ja noch angeben, woher die Definitionen stammen.

Und vielleicht ist hier auch jemand, der dem Themenstarter (interessierter
Schüler) ein geeignetes Buch über Mengenlehre oder die Grundlagen
der Mathematik empfehlen kann.

Gruß Orhonom



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paul188
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-29


Hey hi Orhonom.
Das Buch das Ich verwende, heißt: Mengen - Relationen - Funktionen: Eine anschauliche Einführung. Es ist tatsächlich für Mathelehrer/angehende Mathelehrer gedacht, was mir aber erst nach dem Kauf aufgefallen ist :D Ich komme aber soweit sonst ganz gut damit zurecht, manchmal werden Kenntnisse vorausgesetzt, die ich nicht habe, aber insgesamt zufriedenstellend. Ich hab mich schon ein bisschen mit xia_shi_tou ausgetauscht und er hat mir freundlicherweise ein paar Bücher empfohlen. Wäre aber natürlich trotzdem sehr dankbar für weitere Vorschläge ;) Ich hab mir jetzt ein Buch Analysis 1 und Lineare Algebra bestellt, aber noch ein Grundlagen-Buch zu Mengenalgebra könnte sicher nicht schaden.
MfG Paul

P.S. Die Definition/en steht/en relativ losgelöst am Anfang eines Kapitels über Eigenschaften von Mengensystemen, Zusammenhang ist hier leider auch für mich schwer auszumachen :(



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2019-03-30


Hallo paul188,

nett, dass Du Dich nochmal gemeldet hast.

Ich habe mir das von Dir erwähnte Lehrbuch
"Mengen - Relationen - Funktionen: Eine anschauliche Einführung"
von Ingmar Lehmann und Wolfgang Schulz angesehen.
Es ist in der 4. Auflage bei Springer Spektrum im Jahr 2016 erschienen.

Dort steht auf S. 12 unter
1.3 Zum Stufenaufbau der Mengenlehre

"Wie kann man den genannten und möglichen anderen Antinomien entgehen?
Es liegt auf der Hand, dass dies, wenn überhaupt, nur durch eine Einschränkung
der naiven Mengenbildung verhindert werden kann.
Hier gibt es nun durchaus unterschiedliche Wege. So hat Russell zu
Beginn des Jahrhunderts, wenn auch mit ursprünglich anderen
Zielsetzungen, den sogenannten stufentheoretischen Aufbau der
Mengenlehre entwickelt. Grundgedanke ist eine Unterscheidung
zwischen Urelementen, Mengen von Urelementen, (= Mengen 1. Stufe),
Mengen von Mengen 1. Stufe (= Mengen 2. Stufe), usw."

Das ist, was ich mit Kontext gemeint habe. Dein Lehrbuch vertritt
und ist gemäß diesem besagten Stufenaufbau der Mengenlehre.

Damit ist wohl die Argumentation, wie in Beitrag 16 und 17 nicht mehr möglich,
denn x ist ein Urelement und keine Menge mehr und damit sollte
sich nicht zeigen lassen, dass A die Allmenge ist.

Ich selber mag die Bücher von Kenneth Kunen über Mengenlehre
und die Grundlagen der Mathematik. Sie sind aber in Englischer Sprache
und für einen Schüler vielleicht noch zu abstrakt. Es gibt von
Oliver Deiser ein interessantes Buch "Einführung in die Mengenlehre"
mit viel Erläuterungen zur Geschichte und zu den an der Entwicklung
der Theorie(n) der Mengenlehre beteiligten Personen.
Auf der Homepage von Oliver Deiser findest Du unter
"Meine Lehrbücher im Überblick" sehr viel Interessantes auch zur
Analysis (ich bin weder verwandt noch bekannt mit Herrn Deiser :)).

Wünsche Dir ein schönes Wochenende,
Orthonom





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