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Lineare Algebra » Eigenwerte » Eigenwerte
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Universität/Hochschule J Eigenwerte
lisalu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-26 14:54


Hallo,
ich habe folgende Matrix A gegeben:
-4   a   b
-9  11   c
-12  d  -5


außerdem habe ich 2 Eigenvektoren gegeben:
1
1
0

und
0
1
2

Nun soll ich a,b,c,d bestimmen.

Meine Idee: Ich rechne A * Eigenvektor (EV) = Eigenwert (EW) * EV
Das habe ich nun mit dem ersten Eigenvektor gemacht und bekomme dann als Eigenwert 2 raus.
Damit ergibt sich, dass a= 6 und d= 12 ist.

Dann habe ich dasselbe mit dem zweiten EV gemacht und dabei schonmal a und d in die Matrix eingesetzt.
Da bekomme ich dann als Eigenwert 1 und c= -5, b= -3.


Also habe ich a,b,c,d bestimmt.

Allerdings habe ich nun mal a,b,c,d in A eingesetzt und die Eigenwerte erneut berechnet. Da bekomme ich auf einmal -1, 1 und 2?!


Als ich dann damit die EIgenvektoren berechnet habe, kommen auch nicht mehr die beiden oben angegebenen raus, sondern
1
1
0

und 2 komplett andere.

Was habe ich falsch gemacht?

LG



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-26 15:04


2019-03-26 14:54 - lisalu im Themenstart schreibt:
und 2 komplett andere.

Welche denn?


-----------------
Smile (:



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lisalu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-26 15:17


2019-03-26 15:04 - Creasy in Beitrag No. 1 schreibt:
2019-03-26 14:54 - lisalu im Themenstart schreibt:
und 2 komplett andere.

Welche denn?

EV zu EW -1 ist
1/3
2/3
1

EV zu EW 1 ist
0
1/2
1

EV zu EW 2 ist
1
1
0



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-26 15:38


Na das ist ja nicht komplett verschieden. Wenn du benutzt, dass jedes (von Null verschiedene) Vielfache eines Eigenvektors wieder ein Eigenvektor (zum gleichen Eigenwert) ist, dann findest du $ \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix}=2\cdot \begin{pmatrix}0 \\\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}$

Du hast dich nirgendwo verrechnet, aber es scheint als ob dir noch nicht ganz klar ist, dass es nicht $\textbf{den}$ Eigenvektor gibt, sondern dass der Raum der Eigenvektoren zu einem gewissen Eigenwert ein Untervektorraum ist. Davon gibt man dann meist eine Basis an. Hier z.b. den Vektor $\begin{pmatrix}0 \\\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}$. Aber auch $\begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix}$ wäre eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert 1.



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lisalu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-26 15:40


2019-03-26 15:38 - Creasy in Beitrag No. 3 schreibt:
Na das ist ja nicht komplett verschieden. Wenn du benutzt, dass jedes (von Null verschiedene) Vielfache eines Eigenvektors wieder ein Eigenvektor (zum gleichen Eigenwert) ist, dann findest du $ \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix}=2\cdot \begin{pmatrix}0 \\\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}$

Du hast dich nirgendwo verrechnet, aber es scheint als ob dir noch nicht ganz klar ist, dass es nicht $\textbf{den}$ Eigenvektor gibt, sondern dass der Raum der Eigenvektoren zu einem gewissen Eigenwert ein Untervektorraum ist. Davon gibt man dann meist eine Basis an. Hier z.b. den Vektor $\begin{pmatrix}0 \\\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}$. Aber auch $\begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix}$ wäre eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert 1.

Ich verstehe, denke ich. Dann müsste mein Ergebnis ja stimmen. Und stimmt, es gibt ja immer mehrere Möglichkeiten für die Eigenvektoren.

Danke!



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