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 Vektorraum Notation |
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HDMIii
Aktiv 
Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 167
 |  Themenstart: 2019-03-30
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Hallo,
ich hätte mal eine grundlegende Frage zum Thema Vektorräume.
Wenn ich es richtig verstanden habe ist R^3 ein Vektorraum.
Nun besteht so ein Vektorraum ja immer aus einer Menge und 2 Verknüpfungen. Zusätzlich ist der Vektorraum immer über einem Körper K aufgespannt.
Der Körper ist hier ja K=R
Die Verknüpfungen sind * und +
Aber was ist die Menge. Ich hätte jetzt auf die Schnelle R^3 gesaft, aber R^3 kann ja nicht Menge und Vektorraum gleichzeitig sein, oder?
Danke im Voraus :)
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Vercassivelaunos
Senior 
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
| Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-30
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
Hallo HDMIii,
da bist du auf eine kleine Schlampigkeit in der Notation gestoßen, die man sich in der Mathematik erlaubt. Die Menge ist $\R^3$, der Vektorraum ist $(\R^3,\cdot,+)$. Weil man das aber nicht jedes mal ausschreiben möchte, schreibt man auch den Vektorraum nur als $\R^3$. Man weiß dann je nach Kontext, ob damit die Menge oder der Vektorraum gemeint ist.\(\endgroup\)
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.2, eingetragen 2019-03-30
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,
Mathematiker sind da ein bisschen schlampig:
Es gibt die Menge $\IR^3$.
Dann gibt es den $\IR$-Vektorraum $(\IR^3,+,\cdot)$. Da in den meisten Fällen klar ist, welche Vektorraumstruktur auf der Menge $\IR^3$ gemeint ist, sagt spricht man der Einfachheit halber nur vom "$\IR$-Vektorraum $\IR^3$", obwohl man damit eigentlich das Tripel $(\IR^3,+,\cdot)$ meint.
Es gibt durchaus auch noch andere $\IR$-Vektorraumstrukturen auf $\IR^3$ als die Standardvektorraumstruktur.
Nimmt man z.B. eine Bijektion $f:\IR^3\to \IR$, so kann man Verknüpfungen $\oplus: \IR^3\times\IR^3\to \IR^3, (x,y)\mapsto x\oplus y := f^{-1}(f(x)+f(y))$ und $\odot: \IR\times \IR^3\to \IR^3, (\lambda,x)\mapsto \lambda \odot x := f^{-1}(\lambda \cdot f(x))$ definieren.
Kannst du zeigen, dass $(\IR^3,\oplus, \odot)$ ein $\IR$-Vektorraum ist? Welche Dimension hat dieser $\IR$-Vektorraum?
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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darkhelmet
Senior 
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2685
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-30
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Hinter dieser Tripel-Schreibweise steckt natürlich keine tiefe mathematische Wahrheit. Es ist nur eine andere Formulierung für
\quoteon(2019-03-30 22:24 - HDMIii im Themenstart)
Nun besteht so ein Vektorraum ja immer aus einer Menge und 2 Verknüpfungen.
\quoteoff
Solange du das richtige meinst, wird dir keiner einen Strick draus drehen, wenn du sagst, dass $\mathbb{R}^3$ "gleichzeitig" eine Menge, ein Vektorraum, eine Gruppe, ein topologischer Raum, ein metrischer Raum,... ist.
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HDMIii
Aktiv
Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 167
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-31
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Hi, danke für eure Antworten (immer diese Mathematiker, die armen Studenten verwirren ;) ).
@ Nuramon:
Würde sagen die Dimension ist 3, da der Vektorraum ja die Menge R^3 hat.
Um zu prüfen ob es ein Vektorraum ist, müsste ich nun die Vektorraumaxiome testen (Assoziativität, Neutrales Element, ...).
Ich vermute, dass ich dazu die Rechenregeln für das Rechnen mit inversen Funktionen benötige (die mir momentan leider noch nicht bekannt sind), oder?
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-31
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
\quoteon(2019-03-31 11:53 - HDMIii in Beitrag No. 4)
Würde sagen die Dimension ist 3, da der Vektorraum ja die Menge R^3 hat.
\quoteoff
Das ist falsch.
\quoteon
Um zu prüfen ob es ein Vektorraum ist, müsste ich nun die Vektorraumaxiome testen (Assoziativität, Neutrales Element, ...).
Ich vermute, dass ich dazu die Rechenregeln für das Rechnen mit inversen Funktionen benötige (die mir momentan leider noch nicht bekannt sind), oder?
\quoteoff
Du brauchst außer den Rechenregeln für $+,\cdot$ nur, dass $f\circ f^{-1}= \id_{\IR}$ und $f^{-1}\circ f=\id_{\IR^3}$. (Vielleicht solltest du dir noch überlegen, warum es überhaupt eine Bijektion $f:\IR^3\to \IR$ gibt. Das war aber nicht als Teil der Aufgabe gedacht.)\(\endgroup\)
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HDMIii
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Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 167
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-31
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Ups, ok anderer Ansatz:
Wenn ich die Basis finde, dann kann ich die Dimension angeben. Denn die Anzahl der Basiselemente ist gleich der Dimension.
Zum 2.: Was bedeutet das idR^3?
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.7, eingetragen 2019-03-31
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Die Identitätsabbildung: Für eine Menge $X$ ist $\id_X:X\to X, x\mapsto x$.\(\endgroup\)
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HDMIii
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Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 167
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-01
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Hi, habe mich mal an dein Beispiel gewagt, allerding bin ich mir noch etwas unsicher ob der Ansatz so stimmt.
Unten mal ein Bild vom Überprüfen der 1. Bedingung. Wäre das so richtig?
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47643_20190401_114254.jpg
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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.9, eingetragen 2019-04-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
In deiner Rechnung kommt schon nach dem ersten Gleichheitszeichen kein $v_3$ mehr vor, also kann sie nicht stimmen.
Du kannst den Beweis übrigens etwas abkürzen, indem du zeigst, dass $f$ eine lineare Abbildung ist, d.h. $f(v_1\oplus v_2) = f(v_1)+f(v_2)$ und $f(\lambda \odot v)= \lambda f(v)$ für alle $v,v_1,v_2\in \IR^3, \lambda \in \IR$.
Daraus kannst du folgern, dass auch $f^{-1}$ linear ist.
Wenn du das bewiesen hast, dann kannst du die Vektorraumaxiome prüfen ohne erneut die Definition von $\oplus$ bzw. $\odot$ benutzen zu müssen.
Für jedes Vektorraumaxiom die entsprechenden Definitionen zu entpacken, so wie du es bisher versucht hast, geht aber auch.\(\endgroup\)
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HDMIii
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Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 167
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-02
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Hi, danke für deine Rückmeldung.
Ja, da hab ich einen Schreibfehler drin, tut mir Leid (das hinten müsste v_3 sein).
Ich werde dein Beispiel noch zu ende rechnen, allerding komme ich gerade zeitlich nicht dazu. Melde mich dann nochmal mit meinem Lösungsversuch :)
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