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Lineare Algebra » Vektorräume » Basis eines Vektorraums
Autor
Universität/Hochschule Basis eines Vektorraums
ekkonly
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  Themenstart: 2019-03-31

Guten Tag, ich habe bei folgendem Beispiel so gar keine Ahnung was ich genau machen soll, bitte um HILFE! Gegeben sei für n \(\in \mathbb{N}\) der Vektorraum \(P_n \le C^\infty (D)\) der reelen Polynomfunktionen vom Grad höchstens n auf unendlichem \(D \subseteq \mathbb{R}\). Begründen sie, dass {\(f_0,...,f_n \)} eine Basis des Vektorraums bildet, wobei: \(f_k:D → \mathbb{R}\); \(x ⟼ x^k\) für \(0\le k\le n\) die n+1 Monomfunktionen sind. Als Hinweise hatten wir dann noch: Benutzen sie dabei nicht, dass die Dimension von \(P_n\) gleich n+1 ist, sondern greifen sie auf die Definition des Basisbegriffs zurück. Vergleichen sie die Anzahl der Nullstellen der Nullfunktion mit der Anzahl der Nullstellen von Polynomfunktionen verschiedener Grade.

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Nadine21
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Mitteilungen: 28
  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-31

Hallo, also so wie ich das verstehe sollst du zeigen, dass deine Menge der Monome 1)linear unabhängig ist und 2)sie ein erzeugendensystem bilden. Zu 1) ist der hinweis mit der Nullfunktion. Deine Monome sind l.u falls es keine linearkomb der polynome gibt (außer alle koeffiziten sind 0) sodass sie die Nullfunktion ergeben. 2) ist einfach

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ekkonly
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Mitteilungen: 67
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-01

Oh vielen Dank, das klingt ja dann nicht mehr so kompliziert als die Angabe! Nochmal vielen Dank für die Hilfe!

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ekkonly hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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