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| Autor |
 Geradengleichung im Komplexen |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2019-04-06
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Im $\displaystyle R^2$ gegeben ist eine Geradengleichung $\displaystyle f(x,y):y=mx+b$.
Diese moechte ich auf die Komplexe Ebene uebertragen.
Also wenn man so will: Finde einen Isomorphismus linearer Funktionen in komplexe Gleichungen $\displaystyle f \in R \times R \Leftrightarrow\mathbb g(z)$.
Irgendwas mit $\displaystyle f:y=mx+b, z=x+iy \mapsto g(z)=z\overline z=..$ oder so?
Also ohne $\displaystyle im|z|$ oder $\displaystyle Re|z|$.
Dass $\displaystyle R^2 \cong \mathbb C$ ist, zeigt ImHo die Bijektion $\displaystyle f:(a,b) \Leftrightarrow a+bi,a,b \in \mathbb R$.
Konkret wie sieht $\displaystyle f:y=3x+5$ mit komplexen zahlen aus?
Merci Boku
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-06
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(1) Die Parameterform stellt man analog zu der aus Vektorrechnung bekannten Form auf.
Also sowas wie: z(t) = s + r·t mit komplexen s,r und reellem t.
(2) Dann gibt es noch die sogen. Allgemeine komplexe Kreisgleichung, die auch alle Geraden abdeckt. Diese benutzt man m.W. eher um allgemeine Sätze zu beweisen usw.
Für konkrete Zeichenaufgaben eher (1).
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-06
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,
sind $n,p\in \IC, n\not=0$, dann liegen alle $z\in \IC$ für die $\operatorname{Re}(\overline n(z-p))=0$ gilt auf einer Gerade und umgekehrt lässt sich auch jede Gerade so darstellen.
Die Idee dahinter ist, dass $p$ einem Punkt auf der Gerade entspricht und $n$ orthogonal zu der Gerade ist.\(\endgroup\)
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-06
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\quoteon(2019-04-06 20:25 - Newbert in Beitrag No. 1)
(1) Die Parameterform stellt man analog zu der aus Vektorrechnung bekannten Form auf.
Also sowas wie: z(t) = s + r·t mit komplexen s,r und reellem t.
\quoteoff
Das waere für $\displaystyle y=3x+5 : z=5+t(1+3i)$?
Dann $\displaystyle z=5+t(1+3i)$ oder $\displaystyle z=5+t+3ti$. oder
$\displaystyle z=a+bi,a=5+t,b=3t,a,b,t \in R$
Worauf ich hinaus wollte: Man mag sich fragen:
Wie ist das Bild einer beliebigen Gerade $\displaystyle y=mx+b$ aus $\displaystyle R^2$ mittels der cayley Transformation?
Es sei wie oben $\displaystyle z=a+bi$.
$\displaystyle g:C\mapsto C:a+bi \mapsto \frac{a+bi-1}{a+bi+1}$ wird dann durch Erweiterung mit
$\displaystyle a-bi+1$ zu $\displaystyle z=a+bi\mapsto \frac{a+bi-1}{a+bi+1}=\frac{a^2+b^2-1}{a^2+b^2+2abi+1}$.
Dies wird für kein t <>0 zu 0.
Jemand sagte doch er könne in Sage programmieren :-D
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-07
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\quoteon(2019-04-06 21:09 - Nuramon in Beitrag No. 2)
Hallo,
sind $n,p\in \IC, n\not=0$, dann liegen alle $z\in \IC$ für die $\operatorname{Re}(\overline n(z-p))=0$ gilt auf einer Gerade und umgekehrt lässt sich auch jede Gerade so darstellen.
Die Idee dahinter ist, dass $p$ einem Punkt auf der Gerade entspricht und $n$ orthogonal zu der Gerade ist.
\quoteoff
Das gefällt mir direkt, da es ganz meinem Gusto entspricht, auf jedwede komplexe Parameterdarstellungen zu verzichten.
Willst Du die Formel vll. ein wenig genauer herleiten?
(Falls nicht muss ich das morgen mal genauer anschauen. (Das dürfte einfach die 2D Hessische Normalform für Geraden sein.)
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-07
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Vielleicht noch etwas einfacher:
Die Geradengleichung $ax+by=c$ sagt aus, dass $(x,y)$ auf der Geraden liegt, genau dann, wenn das Skalarprodukt $\langle \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\rangle$ gleich $c$ ist.
Eine kurze Rechnung zeigt, dass $\operatorname{Re}(\overline{a+bi}\cdot (x+iy))= ax+by = \langle \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\rangle$.
Also entspricht $\{(x,y)\in \IR^2\mid ax+by = c\}\subset \IR^2$ der Menge $\{z\in\IC\mid \operatorname{Re}(\overline n z)=c\}\subset \IC$, wobei $n:= a+bi$.
\(\endgroup\)
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-07
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\quoteon(2019-04-06 21:09 - Nuramon in Beitrag No. 2)
sind $n,p\in \IC, n\not=0$, dann liegen alle $z\in \IC$ für die $\operatorname{Re}(\overline n(z-p))=0$ gilt auf einer Gerade und umgekehrt lässt sich auch jede Gerade so darstellen.
Die Idee dahinter ist, dass $p$ einem Punkt auf der Gerade entspricht und $n$ orthogonal zu der Gerade ist.
\quoteoff
Ok, also das entspricht der (nicht-hessischen) Normalform der Geradengleichung.
Eine komplexe Darstellung $
\mathrm{Re}\bigl( (z-p)\cdot \overline{n} \bigr) = 0
$ der reellen Geraden $ax+by=c$ erhält man also durch die Wahl
$n = a+ib$ und
$p = \dfrac{c}{a} ~~~\big(=\dfrac{c}{a} + 0i \big)
$ oder $
p = \dfrac{c}{b}i ~~~\big(=0 + \dfrac{c}{b}i \big)$;
was man, für $z=x+iy$, durch Nachrechnen
$\begin{array}{l l }
\mathrm{Re}\bigl( (z-p)\cdot \overline{n} \bigr)
&=
\mathrm{Re}\biggl( \left((x+iy)- \dfrac{c}{a} \right)\cdot (a-ib) \biggr)
=
\mathrm{Re}\biggl( \left((x+iy)- \dfrac{c}{b}i \right)\cdot (a-ib) \biggr) \\%[1em]
&=
ax+by-c
=
0
\end{array}$
verifiziert.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-29
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| Weiteres Angebot $|z-a| = |z-b|$ (Bild und Beweis unten).
Oder gleich zur
\showon gebrochen-linearen Transformation
\quoteon(2019-08-29 20:18 - HyperPlot in Beitrag No. 19)
\quoteon(2019-03-27 20:33 - juergen007 in Beitrag No. 15)
Interessant wäre worauf ... beliege Geraden y=mx+b abgebildet werden.
\quoteoff
Betrachten wir das gleich für die allgemeinere Möbius-Transformation $
f(z) = \dfrac{az+b}{cz+d}$.
(1) Die Beziehung $
|z-\alpha| = s\cdot |z-\beta|
~~\text{ mit } s\in\mathbb{R},~ s>0,~ s\neq 1$ beschreibt für komplexe $\alpha, \beta\in\mathbb{C}$ einen Kreis mit Mittelpunkt $
m = \dfrac{\alpha - s^2 \beta}{1-s^2}$ und Radius $
r = \dfrac{s\cdot |\alpha-\beta|}{|1-s^2|}$
("Kreis des Apollonius", Darstellung als komplexe Funktion).
\showon Beweis.
· $|z-m| = r~ \text{ mit } m \in\mathbb{C},~ r\in\mathbb{R}_{> 0} $
beschreibt einen Kreis mit Mittelpunkt $m$ und Radius $r$.
· Auch $|z-\alpha| = s\cdot |z-\beta|~ \text{ mit } \alpha,\beta\in\mathbb{C} \text{ und } s\in\mathbb{R}, s>0, s\neq 1$
beschreibt einen Kreis in der komplexen Zahlenebene.
Das sieht man, wenn man $z -\alpha = w$ substituiert.
$\Rightarrow |w| = s\cdot|w + (\alpha-\beta)| =: s\cdot|w + D|
~~~\text{ mit } D = \alpha-\beta$
$\Rightarrow w^2 = s^2 \cdot (w+D)^2$
$\Leftrightarrow w^2 = s^2 \cdot (w^2 + D^2 +2wD)$
$\Leftrightarrow (1-s^2)w^2 - 2s^2 D \cdot w = s^2 D^2 $
$\Leftrightarrow w^2 -\dfrac{2s^2 D}{1-s^2} \cdot w = \dfrac{s^2 D^2}{1-s^2}$
$\Leftrightarrow w^2 -\dfrac{2s^2 D}{1-s^2} \cdot w + \left( \dfrac{s^2 D}{1-s^2} \right)^2
= \dfrac{s^2 D^2}{1-s^2} + \left( \dfrac{s^2 D}{1-s^2} \right)^2
\hspace{1.5em}\small\text{ (quadratische Ergänzung)}
$
$\Leftrightarrow
\left( w - \dfrac{s^2 D}{1-s^2} \right)^2
%= \dfrac{s^2 D^2}{1-s^2} + \left( \dfrac{s^2 D}{1-s^2} \right)^2
= \dfrac{s^2 D^2}{(1-s^2)^2}
$
$\Rightarrow \left| w - \dfrac{s^2 D}{1-s^2} \right| = \dfrac{s \cdot |D|}{|1-s^2|}$
Rücksubstituiert $(w = z-\alpha,~ D = \alpha-\beta)$:
$\left|z - \left(\alpha + \dfrac{s^2 (\alpha-\beta)}{1-s^2} \right)\right|
= \dfrac{s\cdot |\alpha-\beta|}{|1-s^2|}$
$\Leftrightarrow \left| z - \dfrac{\alpha - s^2 \beta}{1-s^2}\right| = \dfrac{s\cdot |\alpha-\beta|}{|1-s^2|} \hspace{2cm}\square$
\showoff
(2) Der Sonderfall $s=1$ in (1), das ist $
|z-\alpha| = |z-\beta|$, beschreibt eine im Allgemeinen schräge Nicht-Ursprungsgerade durch die Punkte $
x_0 = \dfrac{|\alpha|^2-|\beta|^2}{2 \bigl( \mathrm{Re}[\alpha] -\mathrm{Re}(\beta] \bigr)} + 0i,~
\text{ sofern } \mathrm{Re}[\alpha] \neq \mathrm{Re}[\beta]
$ und $
y_0 = 0+\dfrac{|\alpha|^2-|\beta|^2}{2 \bigl( \mathrm{Im}[\alpha] -\mathrm{Im}[\beta] \bigr)}\, i,~
\text{ sofern } \mathrm{Im}[\alpha] \neq \mathrm{Im}[\beta]
$.
\showon Beweis.
· Die Gleichung $|z-a| = |z-b|$ beschreibt eine Gerade in der komplexen Zahlenebene.
Beweis: $|z-a| = |z-b|$ beschreibt die Mittelsenkrechte der Strecke mit den Endpunkten $a$ und $b$.
$
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners},
show background rectangle,
]
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\Rea}{0}
\pgfmathsetmacro{\Ima}{0}
\pgfmathsetmacro{\Reb}{5}
\pgfmathsetmacro{\Imb}{1}
\pgfmathsetmacro{\Rez}{1}
\pgfmathsetmacro{\Imz}{4}
%% KoSy
%\begin{scope}[local bounding box=Graph]
%\draw[-latex] (\Xmin,0) -- (\Xmax,0) node[below]{Re};
%\draw[-latex] (0,\Ymin) -- (0,\Ymax) node[left]{Im};
%
%\end{scope}
% Gerade
\coordinate[label=below:$a$] (A) at (\Rea,\Ima);
\coordinate[label=right:$b$] (B) at (\Reb,\Imb);
\coordinate[label=] (M) at ($(A)!0.5!(B)$);
\draw[shorten >=-0 cm, shorten <=-0 cm] (A) -- (B);
\draw[shorten >=-2 cm, shorten <=-2 cm] (M) -- ($(M)!2cm!90:(B)$) coordinate[label=45:$z$](Z);
\draw[densely dashed] (A) -- (Z) node[midway, sloped, above]{\rotatebox{0}{$|z-a|$}};
\draw[densely dashed] (B) -- (Z) node[midway, sloped, above]{$|z-b|$};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =B--M--Z};
%% Punkte
\foreach \P in {A,B,Z} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
$
· Die durch $|z-a| = |z-b|$ beschriebene Gerade hat die Achsenabschnitte
$
x_0 = \dfrac{|a|^2-|b|^2}{2 \bigl( \mathrm{Re}[a] -\mathrm{Re}[b] \bigr)} + 0i,~
\text{ sofern } \mathrm{Re}[a] \neq \mathrm{Re}[b]
$ und $
y_0 = 0+\dfrac{|a|^2-|b|^2}{2 \bigl( \mathrm{Im}[a] -\mathrm{Im}[b] \bigr)}\, i,~
\text{ sofern } \mathrm{Im}[a] \neq \mathrm{Im}[b]
$.
Beweis: $|z-a| =|z-b| ~\Rightarrow~ |z-a|^2 =|z-b|^2$
$\Leftrightarrow~ (z-a)(z-a)^* = (z-b)(z-b)^*$
$\Leftrightarrow~ (z-a)(z^*-a^*) = (z-b)(z^*-b^*)$
$\Leftrightarrow~ zz^* -za^* -z^*a +aa^* = zz^* -zb^* -z^*b +bb^*$
$\Leftrightarrow~ |a|^2 -(za^* +z^*a) = |b|^2 -(zb^* +z^*b)$
$\Leftrightarrow~ |a|^2 -(za^* +(za^*)^*) = |b|^2 -(zb^* +(zb^*)^*)$
$\Leftrightarrow~
|a|^2 -2\,\mathrm{Re}\left[z\cdot a^* \right]
= |b|^2 -2\,\mathrm{Re}\left[zb^* \right]$
$\Leftrightarrow~
|a|^2 - |b|^2 = 2\,\mathrm{Re}\left[za^* \right]
-2\,\mathrm{Re}\left[zb^* \right]$
$\Leftrightarrow~ |a|^2 - |b|^2 = 2\,\mathrm{Re}\left[z\cdot (a^* -b^*) \right]$
Für $\mathrm{Im}[z]=0$ wird $z=\mathrm{Re}[z]=: x_0$
$\begin{array}{l l l}
\Rightarrow & |a|^2 - |b|^2 & = 2\,\mathrm{Re}\left[x_0 \cdot (a^* -b^*) \right] \\
& & = x_0\cdot 2\,\bigl( \mathrm{Re}\left[a^*\right] -\mathrm{Re}\left[b^*\right] \bigr) \\
& & = x_0\cdot 2\,\bigl( \mathrm{Re}\left[a\right] -\mathrm{Re}\left[b\right] \bigr)
\hspace{4em} \square
\end{array}$
Für $\mathrm{Re}[z]=0$ wird $z=i\, \mathrm{Im}[z]=: i\, y_0$
$\begin{array}{l l l}
\Rightarrow & |a|^2 - |b|^2 & = 2\,\mathrm{Re}\left[i\, y_0 \cdot (a^* -b^*) \right] \\
& & = y_0\cdot 2\,\bigl( \mathrm{Re}\left[i\, a^*\right] -\mathrm{Re}\left[i\, b^*\right] \bigr) \\
& & = y_0\cdot 2\,\bigl( \mathrm{Im}\left[a\right] -\mathrm{Im}\left[b\right] \bigr)
\hspace{4em} \square
\end{array}$
(da $\mathrm{Re}[i\, z]=-\mathrm{Im}[z]$ bzw. $\mathrm{Re}[i\, z^*]=\mathrm{Im}[z]$)
\showoff
(3) Die Möbiustransformation $
f(z) = w = \dfrac{az+b}{cz+d},~
\text{ mit }~ ad-bc \neq 0$ bildet schräge Geraden $
|z-\alpha| = |z-\beta|$ auf Kreise $|w-A| = S\cdot |w-B|$ ab, mit Mittelpunkt $
m = \dfrac{A - S^2 B}{1-S^2}$ und Radius $
r = \dfrac{S\cdot |A-B|}{|1-S^2|}$,
wobei $
A = \dfrac{\alpha a+b}{\alpha c+d},~~~
B = \dfrac{\beta a+b}{\beta c+d}$ und $
S = \left| \dfrac{\beta c+d}{\alpha a+b} \right|
$.
\showon Beweis.
Aus $f(z) =w =\dfrac{az+b}{cz+d}$ erhält man durch Auflösen nach $z$ die Umkehrabbildung $
f^{-1}(w) =z =\dfrac{dw-b}{-cw+d}$.
Einsetzen in die in (2) beschriebene Gerade $|z-\alpha| = |z-\beta|$ liefert
$\left| \dfrac{dw-b}{-cw+d}-\alpha \right|
= \left| \dfrac{dw-b}{-cw+d}-\beta \right|
~~\Leftrightarrow~~ \left| \dfrac{(\alpha c + d)w - (\alpha a +b)}{-cw+d} \right|
= \left| \dfrac{(\beta c + d)w - (\beta a +b)}{-cw+d} \right|$
$\Leftrightarrow~ \left| (\alpha c + d)w - (\alpha a +b) \right|
= \left| (\beta c + d)w - (\beta a +b) \right|$
$\Leftrightarrow~ \Biggl| w -\underbrace{\dfrac{\alpha a+b}{\alpha c +d}}_{A} \Biggl|
= \underbrace{ \Biggl| \dfrac{\beta c+d}{\alpha c+d} \Biggl| }_{S} \cdot
\Biggl| w -\underbrace{\dfrac{\beta a+b}{\beta c+d}}_{B} \Biggl|$, womit gemäß (1) ein Apollonius-Kreis erklärt ist.
\showoff
Beispiel:
$
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\Realpha}{-1}
\pgfmathsetmacro{\Imalpha}{-1}
\pgfmathsetmacro{\Rebeta}{3}
\pgfmathsetmacro{\Imbeta}{4}
\pgfmathsetmacro{\Rea}{0}
\pgfmathsetmacro{\Ima}{1}
\pgfmathsetmacro{\Reb}{-1}
\pgfmathsetmacro{\Imb}{6}
\pgfmathsetmacro{\Rec}{1}
\pgfmathsetmacro{\Imc}{0}
\pgfmathsetmacro{\Red}{-1}
\pgfmathsetmacro{\Imd}{0}
%\pgfmathsetmacro{\s}{6}
\pgfmathsetmacro{\v}{3} % Verlängerungsfaktor Gerade
\pgfmathsetmacro{\Xmin}{-3}
\pgfmathsetmacro{\Xmax}{8}
\pgfmathsetmacro{\Ymin}{-2}
\pgfmathsetmacro{\Ymax}{7}
% Berechnete Größen
% A:
\pgfmathsetmacro{\ReAz}{\Realpha*\Rea-\Imalpha*\Ima+\Reb}% alp*a+b
\pgfmathsetmacro{\ImAz}{\Realpha*\Ima+\Imalpha*\Rea+\Imb}
\pgfmathsetmacro{\ReAn}{\Realpha*\Rec-\Imalpha*\Imc+\Red}% alp*c+d
\pgfmathsetmacro{\ImAn}{\Realpha*\Imc+\Imalpha*\Rec+\Imd}
\pgfmathsetmacro{\An}{\ReAn*\ReAn+\ImAn*\ImAn}
\pgfmathsetmacro{\ReA}{(\ReAz*\ReAn+\ImAz*\ImAn)/\An}
\pgfmathsetmacro{\ImA}{(\ImAz*\ReAn-\ReAz*\ImAn)/\An}
% B:
\pgfmathsetmacro{\ReBz}{\Rebeta*\Rea-\Imbeta*\Ima+\Reb}%beta*a+b
\pgfmathsetmacro{\ImBz}{\Rebeta*\Ima+\Imbeta*\Rea+\Imb}
\pgfmathsetmacro{\ReBn}{\Rebeta*\Rec-\Imbeta*\Imc+\Red}%beta*c+d
\pgfmathsetmacro{\ImBn}{\Rebeta*\Imc+\Imbeta*\Rec+\Imd}
\pgfmathsetmacro{\Bn}{\ReBn*\ReBn+\ImBn*\ImBn}
\pgfmathsetmacro{\ReB}{(\ReBz*\ReBn+\ImBz*\ImBn)/\Bn}
\pgfmathsetmacro{\ImB}{(\ImBz*\ReBn-\ReBz*\ImBn)/\Bn}
% S:
\pgfmathsetmacro{\ReSz}{\Rebeta*\Rec-\Imbeta*\Imc+\Red}%beta*c+d
\pgfmathsetmacro{\ImSz}{\Rebeta*\Imc+\Imbeta*\Rec+\Imd}
\pgfmathsetmacro{\ReSn}{\Realpha*\Rec-\Imalpha*\Imc+\Red}% alp*c+d
\pgfmathsetmacro{\ImSn}{\Realpha*\Imc+\Imalpha*\Rec+\Imd}
\pgfmathsetmacro{\Sn}{\ReSn*\ReSn+\ImSn*\ImSn}
\pgfmathsetmacro{\ReS}{(\ReSz*\ReSn+\ImSz*\ImSn)/\Sn}
\pgfmathsetmacro{\ImS}{(\ImSz*\ReSn-\ReSz*\ImSn)/\Sn}
\pgfmathsetmacro{\S}{sqrt(\ReS*\ReS+\ImS*\ImS)}
% Kreis
% Mittelpunkt:
\pgfmathsetmacro{\Rem}{(\ReA-\S^2*\ReB)/(1-\S^2)}
\pgfmathsetmacro{\Imm}{{(\ImA-\S^2*\ImB)/(1-\S^2)} }
% Radius:
\pgfmathsetmacro{\r}{(\S*sqrt((\ReA-\ReB)^2+(\ImA-\ImB)^2))/abs(1-\S^2)}
% Gerade - Achsenabschnitte
%\pgfmathsetmacro{\yNull}{((\Realpha^2+\Imalpha^2)-(\Rebeta^2+\Imbeta^2))/(2*(\Imalpha-\Imbeta))} % Geht nicht richtig mit Potenzen!
\pgfmathsetmacro{\xNull}{((\Realpha*\Realpha+\Imalpha*\Imalpha)-(\Rebeta*\Rebeta+\Imbeta*\Imbeta))/(2*(\Realpha-\Rebeta))}
\pgfmathsetmacro{\yNull}{((\Realpha*\Realpha+\Imalpha*\Imalpha)-(\Rebeta*\Rebeta+\Imbeta*\Imbeta))/(2*(\Imalpha-\Imbeta))}
% Imaginärteil anzeigen
\newcommand\Show[1]{%
\pgfmathsetmacro{\temp}{#1<0 ? (#1==-1 ? "-" : "#1") : (#1==1 ? "+" : "+#1")}%
\temp\, i}
%\Show{5}
% Rechenterme
\def\ARechenterm{\dfrac{(\Realpha+\Imalpha\, i) (\Rea+\Ima\, i)+(\Reb+\Imb\, i)}{(\Realpha+\Imalpha\, i) (\Rec+\Imc\, i)+(\Red+\Imd\, i)} }
\def\BRechenterm{ \dfrac{(\Rebeta+\Imbeta\, i) (\Rea+\Ima\, i)+(\Reb+\Imb\, i)}{(\Rebeta+\Imbeta\, i) (\Rec+\Imc\, i)+(\Red+\Imd\, i)} }
\def\CRechenterm{\left| \dfrac{(\Rebeta+\Imbeta\, i) (\Rec+\Imc\, i)+(\Red+\Imd\, i)}{(\Realpha+\Imalpha\, i) (\Rec+\Imc\, i)+(\Red+\Imd\, i)} \right|}
% KoSy
\begin{scope}[local bounding box=Graph]
\draw[-latex] (\Xmin,0) -- (\Xmax,0) node[below]{Re};
\draw[-latex] (0,\Ymin) -- (0,\Ymax) node[left]{Im};
\foreach \x in {1} \draw[xshift=\x cm] (0,2pt) -- (0,-2pt) node[below]{\x};
\foreach \y in {1} \draw[yshift=\y cm] (2pt,0) -- (-2pt,0) node[left]{\y};
\end{scope}
% Annotationen - Rechnung
\begin{scope}[shift={(Graph.south west)}, anchor=north west, local bounding box=Annotation]
\node[]{
$\begin{array}{ l | l | l}
%a & baa & c \\
\multicolumn{1}{c|}{\textbf{Gerade}}
& \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Möbiustransformation}}
& \multicolumn{1}{c}{\textbf{Kreis}} \\
|z-\alpha|=|z-\beta|
& f(z)=w=\dfrac{az+b}{cz+d} & |w-A|=S\cdot |w-B| \\
\text{mit } \alpha,\beta \in\mathbb{C}
& \text{mit } ad-bc\neq 0
& \text{mit } A,B \in\mathbb{C},\\
%
& & S\in\mathbb{R}, S>0, S\neq 1 \\ \hline
\alpha = \Realpha \Show{\Imalpha}
& a = \Rea \Show{\Ima}
& A = \dfrac{\alpha a+b}{\alpha c+d} = \ReA \Show{\ImA} \\
\beta = \Rebeta \Show{\Imbeta}
& b = \Reb \Show{\Imb}
& B = \dfrac{\beta a+b}{\beta c+d} = \ReB \Show{\ImB} \\ \cline{1-1}
x_0 = \xNull + 0\,i
& c = \Rec \Show{\Imc}
& S=\left| \dfrac{\beta c+d}{\alpha c+d} \right| = \left| \ReS \Show{\ImS} \right| \\
y_0 = 0 \Show{\yNull}
& d = \Red \Show{\Imd} & \phantom{S=\left| \dfrac{\beta c+d}{\alpha c+d} \right|} = \S \\[1em] \cline{2-2}
|z-(\Realpha \Show{\Imalpha} )|=|z-(\Rebeta \Show{\Imbeta})|
& w=\dfrac{(\Rea \Show{\Ima})\cdot z+(\Reb \Show{\Imb})}{(\Rec \Show{\Imc})\cdot z+(\Red \Show{\Imd})} \rule{0em}{2em}
& \\
&
& m = \Rem \Show{\Imm} \\
&
& r = \r \\
&
&|w-(\Rem \Show{\Imm})| = \r
%A=\dfrac{\alpha a+b}{\alpha c+d}
%%= \ARechenterm
%= \ReA + \ImA\, i \\
%B=\dfrac{\beta a+b}{\beta c+d}
%%= \BRechenterm
%= \ReB + \ImB\, i \\
%S=\left| \dfrac{\beta c+d}{\alpha c+d} \right|
%%= \CRechenterm
%=\left| \ReS + \ImS\, i \right|
%= \S \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
\end{array}$
};
\end{scope}
%\draw[red] (Graph.north west) rectangle (Annotation.south east);
\clip[] (Graph.north west) rectangle (Annotation.south east);
% Gerade
\coordinate[label=below:$x_0$] (X0) at (\xNull,0);
\coordinate[label=left:$y_0$] (Y0) at (0,\yNull);
\draw[shorten >=-\v cm, shorten <=-\v cm] (X0) -- (Y0);
% Konstruktionspunkte
\coordinate[label=below:$\alpha$] (Alpha) at (\Realpha,\Imalpha);
\coordinate[label=above:$\beta$] (Beta) at (\Rebeta,\Imbeta);
\draw[] (Alpha) -- (Beta);
\foreach \P in {Alpha,Beta} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
% Kreis
\coordinate[label={[text=red,below]:$m$}] (M) at (\Rem,\Imm);
\draw[red] (M) circle[radius=\r];
\draw[red, -latex] (M) -- +(144:\r) node[midway, above, sloped]{$r$};
%% Punkte
\draw[red, fill=black!1] (M) circle (1.75pt);
\foreach \P in {X0,Y0} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
$
\quoteoff
\showoff
um die es eigentlich geht.
Ich habe das auch irgendwann einmal über Parameterdarstellungen gelöst, weil mir die Information $|z-a| = |z-b|$ fehlte.
Das gibt maximal unübersichtliche Terme, die sich sowieso nicht interpretieren lassen.
Es lohnt sich also grundsätzlich mit allgemeinen Beziehungen zwischen komplexen Zahlen zu arbeiten.
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