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 Schnitt invarianter Unterräume/kleinster Unterraum |
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Mark0910
Junior 
Dabei seit: 20.11.2017
Mitteilungen: 9
 |  Themenstart: 2019-04-10
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Sei V ein K-Vektorraum, f : V → V ein Endomorphismus, und
U i ⊂ V , i ∈ I eine Familie von invarianten Unterräumen.
1) Verifizieren Sie,
dass dann auch der Durchschnitt
cut(U_i\subset\ V,i\el\ I)
ein invarianter Unterraum ist.
2) Folgern Sie daraus, dass es zu jeder Teilmenge X ⊂ V einen kleinsten invarianten Unterraum U ⊂ V gibt, der X enthält.
Zu 1)
Sei x \el\ cut(U_i,i\el\ I). Dann gilt:
f(x) \el\ U_i \forall\ i \el\ I, da U_i invariant \forall\ i \el\ I.
Daraus folgt bereits, dass f(x) \el\ cut(U_i,i\el\ I) \forall\ x \el\ X und damit ist der Durchschnitt ein invarianter Unterraum von V.
Frage: Reicht das schon aus oder habe ich es mir zu einfach gemacht?
Zu 2) Da komme ich nicht auf die richtige Idee. Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen.
Vielen Dank schonmal im Voraus :)
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Creasy
Senior 
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 585
Wohnort: Bonn
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-10
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Hey,
das würde ausreichen, wenn ihr gezeigt habt, dass der Schnitt von Unterräumen wieder ein Unterraum ist.
Beim zweiten Teil hilft der erste. Man muss nur die Familie der $U_i$ sinnvoll wählen.
Anmerkung:
\quoteon(2019-04-10 19:30 - Mark0910 im Themenstart)
Daraus folgt bereits, dass f(x) \el\ cut(U_i,i\el\ I) \forall\ x \el\ X und damit ist der Durchschnitt ein invarianter Unterraum von V.
\quoteoff
da meinst du nicht für alle $x\in X$.
Beste Grüße
Creasy
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Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
| Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
Hallo Mark0910,
1) ist richtig so.
2) "kleinster invarianter Unterraum der $X$ enthält" bedeutet, dass es einen invarianten Unterraum $U\supset X$ gibt, der in jedem anderen solchen invarianten Unterraum enthalten ist. Beachte hier, dass $\bigcap_k U_k\subset U_i$ für alle $i$ ist. Damit kannst du dir diesen kleinsten invarianten Unterraum direkt konstruieren, wenn du die $U_i$ geschickt wählst.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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Mark0910
Junior 
Dabei seit: 20.11.2017
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-10
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Danke für eure schnellen Antworten.
\quoteon(2019-04-10 19:52 - Creasy in Beitrag No. 1)
da meinst du nicht für alle $x\in X$.
\quoteoff
Ja stimmt das ist mir reingeraten.
Also ich könnte doch die Familie der \(U_i\) so wählen, dass die Vereinigung V ergibt.
Dann könnte ich für jedes \(X \subset V\) ein möglichst kleines k <= i finden so, dass \(X \subset \bigcup\limits_{k \in I} U_k \).
Und so finde ich in jedem Fall eine Vereinigung von invarianten Unterräumen in der X enthalten ist.
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Creasy
Senior 
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 585
Wohnort: Bonn
| Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-10
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Wie kommst du jetzt auf die Vereinigung?
In 1) hast du gezeigt, dass der Schnitt invarianter Unterräume wieder ein invarianter Unterraum ist. Für zwei invariante Unterräume $U_1$ und $U_2$ ist also $U_1\cap U_2$ ein invarianter Unterraum, und der ist kleiner als $U_1$ und als $U_2$.
Wie sieht dann der kleinste invariante Unterraum aus?
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