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Strukturen und Algebra » Ringe » Bijektion zwischen zwei Mengen von Idealen
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Universität/Hochschule J Bijektion zwischen zwei Mengen von Idealen
Ralip
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  Themenstart: 2019-04-15

Hey! Ich würde gerne wissen, wieso folgende Abbildung bijektiv ist? Surjektivität habe ich bereits gezeigt, aber die Injektivität ergibt sich mir nicht. R Ring und m Ideal pi sei die kanonische Projektion R -> R/m "Man prüft leicht nach, dass die Zuordnung" a |--> pi(a) "eine Bijektion definiert zwischen Idealen a von R mit a Inklusion m Inklusion R und den Idealen b Inklusion R/m." Das bedeutet, dass aus pi(a) = pi(b) folgen soll, dass a = b ist. (Wenn ich es nicht falsch verstehe) Also: {r+m : r Element a} = {r+m : r Element b} Soll a = b implizieren? Wobei natürlich m Inklusion a,b Inklusion R gilt. Das erschließt sich mir auch intuitiv nicht, denn wenn zB die Elemente von b genau die Elemente von a sind, jedoch mit einem Element von m verschoben (additiv), dann wären die obigen Mengen natürlich gleich, aber nicht a und b (zummindest nicht notwendigerweise). Wie gelingt es also? PS: Für die Surjektivität habe ich übrigens (zu einem gegebenen b Ideal von R/m) die Menge, die alle Repräsentanten der Elemente von b enthält genommen und gezeigt, dass das Bild unter der gegebenen Abbildung gleich b ist. Das müsste gehen oder? Vielen vielen Dank für eure Hilfe! Ralip


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Creasy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-15

\quoteon(2019-04-15 11:43 - Ralip im Themenstart) R Ring und m Ideal pi sei die kanonische Projektion R -> R/m "Man prüft leicht nach, dass die Zuordnung" a |--> pi(a) "eine Bijektion definiert zwischen Idealen a von R mit a Inklusion m Inklusion R und den Idealen b Inklusion R/m." \quoteoff Ich vermute, man meint $\mathfrak{m}\subseteq \mathfrak{a}\subseteq R$, anstatt $\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{m}\subseteq R$, denn in diesem Fall würde $\pi(\mathfrak{a})=0$ sein, da $\pi(\mathfrak{m})=0$. \quoteon Das bedeutet, dass aus $pi(a) = pi(b)$ folgen soll, dass a = b ist. (Wenn ich es nicht falsch verstehe) \quoteoff Richtig verstanden. \quoteon Das erschließt sich mir auch intuitiv nicht, denn wenn zB die Elemente von b genau die Elemente von a sind, jedoch mit einem Element von m verschoben (additiv), dann wären die obigen Mengen natürlich gleich, aber nicht a und b (zummindest nicht notwendigerweise). \quoteoff Diese Intuition erübrigt sich also, wenn $\mathfrak{m}\subseteq \mathfrak{a},\mathfrak{b}$ ist, denn diese Verschiebungen liegen dann also auch in den jeweiligen Idealen. Das benötigt man auch im Beweis. \quoteon Wie gelingt es also? \quoteoff Starte mit einem Element $x\in\mathfrak{a}$. z.z. $x\in\mathfrak{b}$. Nun ist $\pi(x)\in\pi(\mathfrak{b})$, also ex. $y\in\mathfrak{b}$ mit $\pi(x)=\pi(y)$. Was weißt du dann über $x-y$? \quoteon PS: Für die Surjektivität habe ich übrigens (zu einem gegebenen b Ideal von R/m) die Menge, die alle Repräsentanten der Elemente von b enthält genommen und gezeigt, dass das Bild unter der gegebenen Abbildung gleich b ist. Das müsste gehen oder? \quoteoff Wenn ich dich richtig verstehe, dann schreib besser: Zu einem Ideal $\overline{I}\subseteq R/\mathfrak{m}$ wählen wir das Ideal $I=\pi^{-1}(\overline{I})$. (Warum ist das ein Ideal? Warum ist überhaupt $\pi(I)$ ein Ideal?) Dann ist $\pi(I)=\pi(\pi^{-1}(\overline{I}))=\overline{I}$, da $\pi\colon R\to R/\mathfrak{m}$ surjektiv ist. Beste Grüße Creasy


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Ralip
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-15

Hey Creasy! Danke für deine Antwort! Ja, ich habe mich vertippt, es ist deine vermutete Inkl. gemeint. :) Ich vermute mein Problem hat sich geklärt dank deiner Hilfe. ich habe mir jetzt nämlich noch mal die Konstruktion angesehen und ich denke ich habe eine Lösung: Sei also pi(A) = pi(B). Sei nun außerdem: a Element A und nicht Element B. Man hat in pi(A) also ein Element das a enthält (nämlich a+m). Gäbe es nun ein Element b+m von B, das a auch enthalte, sagen wir b+m' = a, dann wäre a ja in B enthalten, denn b, m' Element B. Falsum! Analog erhält man, dass jedes Element von B auch in A ist, hat also beide Inklusion und somit: A = B. Korrekt? Danke Ralip


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Creasy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-15

Hey, Ja das ist im Grunde korrekt. Die Annahme "und nicht Element B" ist allerdings nicht notwendig. Du zeigst hier ja direkt $A\subseteq B$. Gruß Creasy


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Ralip hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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