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  Abbildung Untervektorraum |
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idontknowhow10
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 130
 |  Themenstart: 2019-04-17
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Hallo,
Sei U := {f \el\ Abb(\IR,\IR) : f ist beschränkt} \subsetequal\ Abb(\IR,\IR).
Kann mir einer erklären wieso dies ein UVR ist? Evtl mit einem konkreten Beispiel?
Also die UVR-Kriterien sind ja:
1.) Menge darf nicht leer sein
2.) Abgeschlossen in Bezug auf die Addition
3.) Abgeschlossen in Bezug auf die Skalarmultiplikation
Das der obige UVR nicht leer ist, ist mir klar.
Aber wieso ist er abgeschlossen in Bezug auf die Mulitplikation und Addition?
Also für Multiplikation ist meine Idee:
Wenn wir eine Schranke S von f haben, dann ist x*S immernoch schranke von x*f.
Aber wie kann ich dies Analog auf die Addition anwenden?
Sei S meine Schranke von f, dann ist S+x immernoch Schranke von f+x.
Wäre das so richtig?
Ich meine wenn ich 2 Vektoren im \IR^1 habe z.b a_1 = (3) und a_2 = (4) und mein f sei mit 5 beschränkt.
Wenn ich nun a_1 + a_2 rechne, dann erhalte ich doch 7 und 7 wäre ja größer als meine Schranke.
Oder verstehe ich etwas grundlegendes falsch bzw. ist mein Ansatz falsch?
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10924
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,
es geht hier um Abbildungen von \(\IR\) nach \(\IR\), also ganz einfach um reellwertige Funktionen. Die Funktionen sind also die Elemente des Vektorraums, \((\IR,+,\cdot)\) ist der zugrunde liegende Körper.
Um nun zu zeigen, dass die beschränkten Funktionen einen UVR dieses Vektorraums bilden, musst du IMO nicht mehr tun als zu begründen, weshalb sowohl die Summe zweier beschränkter Funktionen als auch jedes Vielfache einer beschränkten Funktion ebenfalls wieder beschränkt sind. Das sollte nicht allzu schwierig sein...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Profil
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idontknowhow10
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 130
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-18
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Vielen Dank!
Damit hat es sich geklärt. Ich hatte es wohl grundlegend falsch verstanden.
Unter anderem habe ich nicht daran gedacht, dass wir Funktionen betrachten, sondern dachte, wenn ich den Vektor (4) und den Vektor (5) habe, aber die Funktion mit 6 beschränkt ist, dass ich mit der Addition der beiden Vektoren auf (9) komme und es somit nicht abgeschlossen ist.
Ich habe also versucht mit konkreten Zahlenwerten/(Vektoren), welche beschränkt sind, zu zeigen, dass die Abgeschlossenheit verletzt ist. Dies ist jedoch offensichtlich falsch.
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