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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Beweis zu Projektionen
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Universität/Hochschule Beweis zu Projektionen
Lea5619
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-19


Hallo,

es geht um folgenden Beweis:



Wie folgen die orange-unterstrichenen aus den blau umrahmten Stellen?
Und folgt das erste grün-unterstrichene, weil wir folgern konnten, dass 1 ein Eigenwert ist oder woraus sonst?
Und woraus folgt das zweite grün-unterstrichene?

Wünsche einen schönen Abend!



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TomTom314
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-19


Hallo Lea,

Aus der Definition von $P$ folgt $y\in V\Rightarrow Py=0$. Wie genau $P$ definiert ist, sollte sich irgendwo weiter oben in Deinen Unterlagen finden lassen. So wie ich es verstehe, ist $P$ eine Projektion auf den Unterraum $W^\perp$, wobei $V$ auf $0$ abgebildet wird.

0 und 1 sind Eigenwerte zu verschiedenen Abbildungen $CP$ und $CP+I-P$.

Und woraus folgt das zweite grün-unterstrichene?
$V$ liegt in den jeweiligen Eigenräumen. Da die alg. Vielfachheit mindestens so groß wie die Dimension des Eigenraums ist, gilt die entsprechende Abschätzung.



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Lea5619
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-25


Dankesehr!!
Wieso gilt, dass V auf 0 abbildet?



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TomTom314
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1483
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-25


Wieso gilt, dass V auf 0 abbildet?

Das liegt schon an der Definition von P, die ich nicht kenne - aber eine recht gute Vermutung dazu habe. Also wir haben $\IC^n=W^\perp\oplus V$, d.h. für jedes $x\in\IC^n$ haben wir eine eindeutige Darstellung $x=w+v$ mit $w\in W^\perp, v\in V$. Dann definieren wir $Px:= w$. Damit gilt dann $Pv=0$ für $v\in V$.

Ob meine Definition - und die Überlegungen dazu- stimmt, mußt Du in Deinen Unterlagen nachschlagen. Bei einer Folgefrage bräuchte ich diese Definition wahrscheinlich auch.



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