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  Beweis Lineares Gleichungssystem mit affinem UVR |
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Katharina98
Junior 
Dabei seit: 20.04.2019
Mitteilungen: 12
 |  Themenstart: 2019-04-20
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Hallo lieber Matheplanet,
ich habe auf meinem Übungsblatt von der Linearen Algebra 2 einen Beweis zu führen, bei dem ich mir nicht ganz sicher bin.
Könntet Ihr bitte kontrollieren und verbessern?
Vielen lieben Dank :)
Die Aufgabe:
Sei A= \(v_0 + V\) ein affiner K-Untervektorraum (UVR) von \(K^n\), wobei V ein K-UVR von \(K^n\) und \(v_0\) ein Vektor von \(K^n\) ist. Beweisen Sie, dass es ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten und Koeffizienten in K gibt, so dass seine Lösungsmenge gleich A ist.
Mein Ansatz:
in einer Übung wurde uns mal gesagt, dass gilt:
\(dim_K(A)=dim_K(V)=n\).
Im folgenden sind a \(\in \) A ein beliebiger Vektor; \(a_i\) Basisvektor von A; \(\lambda_i, \mu_i \in\) K und \(w_i\) Basisvektor von V
a= \(\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_ia_i\) = \(\sum \limits_{i=1}^{n}(\mu_i w_i) +v_0\)
=\(v_0\)+\(\sum \limits_{i=1}^{n}(\mu_iw_i)\)
= \(v_0 + \mu_1w_1+\mu_2w_2+...+\mu_n+w_n\)
Das sind n+1 viele Unbekannte
<=> a - \(v_0\) = \(\mu_1w_1+...+\mu_n+w_n\), wobei a - \(v_0 \in\) A
Dies zeige ich:
# a \(\in\) A und \(v_0 \in \) A, da \(v_0 = v_0 + 0\) und 0 \(\in\) V
# a - \(v_0 \in\) A
Abbildung: a= \(v_0\) + V
\(v_0 = v_0\)+V*
weil V ein UVR ist, gilt:
a - \(v_0 = v_0 + V -(v_0 + V*) = V-V* \in V\) [ Die Sternchen sollen eigentlich oberhalb von V stehen, wie oben auch ]
=> a-\(v_0 \in A\) lässt sich durch eine lineare Kombination von v_i darstellen mit n-vielen Unbekannten.
Ich hoffe, dass ich wenigstens Ansätze richtig habe.
Ich danke Euch im Voraus.
Schöne Ostertage :)
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Vercassivelaunos
Senior 
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
| Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
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\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo Katharina98,
mir wird nicht so ganz klar, was eigentlich deine Beweisidee ist. Du zeigst, dass $a-v_0$ (übrigens ein Element von $V$, nicht von $A$) als Linearkombination von $v_i$ (sind das die Basisvektoren von $V$? Die hattest du nämlich vorher mit $w_i$ bezeichnet) darstellbar ist. Das gilt ja trivialerweise, da jedes Element von $V$ eine Linearkombination dieser Basisvektoren ist. Was ist aber das LGS mit $A$ als Lösungsmenge?
Was du eigentlich zeigen sollst, ist, dass eine Matrix $M\in\mathbb K^{n\times n}$ und ein Vektor $y\in \mathbb K^n$ existieren, sodass die Lösung des Gleichungssystems $Mx=y$ der affine Raum $A=V+v_0$ ist. Es soll also $M(v+v_0)=y$ für alle $v\in V$ gelten (und auch nur für $v\in V$). Ich würde an deiner Stelle eher hier ansetzen: Warum muss es so ein $M$ und $y$ geben?\(\endgroup\)
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Katharina98
Junior
Dabei seit: 20.04.2019
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22
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Hallo Vercassivelaunos,
danke für Deine Antwort.
Ich weiß, ich habe Probleme mit dem Finden von guten Beweisen, ich suche teilweise ähnliche Beweise aus dem Internet und versuche die dann so umzuformen, dass es auf meine Aufgabe passt.
Ich werde es gleich nochmal versuchen, mein Ergebnis poste ich dann hier rein :)
Vielen Dank für Deine Hilfe
Liebe Grüße
Katharina
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Katharina98
Junior
Dabei seit: 20.04.2019
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22
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Hallo ich nochmal,
Meine Lerngruppe und ich haben die Aufgabe zusammen gelöst.
Dein Tipp hat uns enorm weitergebracht. Mit den anderen Ideen haben wir es endlich geschafft. War gar nicht so schwer wie gedacht.
Danke nochmal und einen schönen Abend
Katharina
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Katharina98 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Katharina98 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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