| |
| Autor |
 Alte Olympiadeaufgaben |
|
MartinN
Aktiv 
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1417
Wohnort: Bayern
 |  Beitrag No.1960, eingetragen 2019-12-29
|
Sehr starke Leistung xD
Glückwunsch ^^ (hätte ich mich nur auch mal daran beteiligt :S)
|
 Profil
|
Ex_Senior
| Beitrag No.1961, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-14
|
Hallo,
heute Nacht wurde seit dem 1. Oktober 2019 zum 1000. Mal die Aufgaben+Lösungen-Datei heruntergeladen.
Das ist ein toller Erfolg für unsere Arbeit.
Der 1000. kam aus Österreich. Ein paar "Exoten" waren auch dabei, u.a. aus Bonaire (ich wusste gar nicht, wo das ist).
Gegenwärtig versuche ich ab und an etwas Zeit zu investieren. Es sind wohl noch einige Rechtschreibfehler drin und dann sind auch noch etwa 380 Bilder mit tikz zu zeichnen; 1210 sind es schon.
Sollten weiterhin Fehler auffallen, so teilt es mir bitte mit. Jede Kritik ist willkommen.
LG Steffen
|
Profil
|
Ex_Senior
| Beitrag No.1962, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-20
|
Hallo,
ich habe da noch etwas. :-D
Mathematik-Olympiaden gibt es nicht nur ab Klassenstufe 5, sondern auch für die Grundschule, die im April bis Juni stattfinden.
Und da es nicht vollständig wäre ohne deren Aufgaben, werde ich auch die "abtippen".
Im Moment enthält der Text ABC-Mathematikolympiade 170 Aufgaben für die Klasse 1. Klasse 2 bis 4 ergänze ich demnächst.
Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet. Das wäre sehr peinlich.
Auf der einen Seite ist das lustig zu sehen, mit welchen Olympiade(!)-Aufgaben sich die "Winzlinge" herumschlagen, auf der anderen Seite kann ich nur alle Grundschullehrerinnen (sind fast immer Frauen) bewundern, wie sie dies nach nur einem 3/4 Jahr Schule beigebracht haben. Die notwendige Geduld hätte ich nicht.
Mir reicht es schon, wenn ich in der Sekundarstufe II nach Klausuren die eine oder andere (sind auch fast immer junge Frauen) trösten muss.
Da ich seit über 30 Jahren nichts mehr mit den Kleinen zu tun habe, kann ich nicht einschätzen, ob die Aufgaben von 1965 bis 1987 heute zu einfach oder zu anspruchsvoll wären. Keine Ahnung. Interessant finde ich es trotzdem.
LG Steffen
|
Profil
|
pzktupel
Aktiv 
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 2457
Wohnort: Thüringen
 | Beitrag No.1963, eingetragen 2020-01-20
|
Dickes Lob an die viele Arbeit ! Sollte ich HIER noch was ergänzen, mache ich einen Strich.
2.1.1 1. Runde 1965
Aufgabe 2
Würde schreiben: {Frage war nur nach dem Getränk}
a) mit Malzbier
b) mit Brause
Es gibt 3 Gläser mit Malzbier mehr als mit Brause.
2.1.2 2. Runde 1965, Klasse 1
Aufgabe 2
m kann bis 6 sein.
2.2.2 2. Runde 1966, Klasse 1
Aufgabe 1
Es gibt kein Hinweis über s , kann das sein ? Ich sehe, es sollte a dort stehen.
Anmerkung
Man muß sich bei der Beantwortung auf ein Niveau der 1. Klasse usw versetzen. Die Antworten sollten einfacher ausfallen.
____________________________________-
Aufgabe 2
14 Pioniere waren im Puppentheater und fahren mit dem Bus nach Hause. Zuerst steigen 5 Pioniereaus und >>denn<< noch 4.Wieviel Pioniere sind noch im Bus?
>>denn<< -> dann ?
|
Profil
|
Ex_Senior
| Beitrag No.1964, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-20
|
@pzktupel:
Danke für die Hinweise. Da sind mir also doch einige Fehler "unterlaufen".
LG Steffen
|
Profil
|
pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 2457
Wohnort: Thüringen
| Beitrag No.1965, eingetragen 2020-01-20
|
2.22.1 1. Runde 1986, Klasse 1
Aufgabe 4: z+2=9 , nicht 5
2.22.2 2. Runde 1986, Klasse 1
Aufgabe 5
15 _ 4 = 18 <- echt jetzt , oder 19 ? Auch die Lösung drunter ist so nicht gewollt.
____
Nichts weiter aufgefallen.
|
Profil
|
Ex_Senior
| Beitrag No.1966, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-20
|
@pzktupel:
Danke. Ich habe es korrigiert.
LG Steffen
|
Profil
|
pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 2457
Wohnort: Thüringen
| Beitrag No.1967, eingetragen 2020-01-25
|
Tippfehler:
13ß + 360 + 210 + 180 + 120 = 1000 (13ß)
|
Profil
|
Ex_Senior
| Beitrag No.1968, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26
|
Hallo,
und Danke für die Hinweise. Alles korrigiert.
Ab heute enthält der Text ABC-Mathematikolympiade 440 Aufgaben für die Klassen 1 bis 4.
Die noch fehlenden Aufgaben habe ich im Moment noch nicht. Es ist auch nicht so ganz einfach, sie zu ermitteln.
Wahrscheinlich werde ich mich wohl mal ein paar Tage in eine größere Bibliothek setzen müssen und dort 25 Jahrgänge von drei verschiedenen Zeitschriften (ABC-Zeitung, Trommel, Die Unterstufe) durchsuchen müssen. Leider wurden die Aufgaben der einzelnen Klassenstufen und Olympiaderunden auf drei Zeitschriften ausgesplittet.
Aber ich schaffe das! :-P
LG Steffen
|
Profil
|
Ex_Senior
| Beitrag No.1969, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-03
|
Seit dem 1. Oktober sind die neuen Mathematik-Olympiadeaufgaben der Schulrunde freigeschaltet.
siehe: https://www.mathematik-olympiaden.de/moev/index.php/aufgaben
Unsere Mathematik-Olympiadeaufgaben-Datei hat mittlerweile über 4000 Downloads. Ich finde das toll.
LG Steffen
|
Profil
| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2591
| Beitrag No.1970, eingetragen 2022-05-07
|
\quoteon(2019-06-15 18:43 - Nuramon in Beitrag No. 721)
Aufgabe 280936 ist das Titelbild von Engel: Problem-Solving Strategies. Dort findet man auch den Teil der Lösung, der noch fehlt:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/21445_Engel_280936.png
\quoteoff
Dazu gibt es gerade auch eine Lösung von Tim Gowers, der seine '"problem-solving-skills" wiederholen möchte und per "live-thinking" sich etwas durch Engels Buch arbeitet. Dass \(n\) kein Vielfaches von 4 sein kann beweist er mit einer Vierfärbung. Zunächst wird analog festgestellt, dass \(n\) gerade sein muss und wird \(n=2m\) gesetzt (\(m\) gerade), so stellt man fest, dass man für eine Überdeckung bei Vielfachen von 4 nun eine ungerade Anzahl an Ls benötigt. Dann wird wie folgt gefärbt:
\sourceon nameDerSprache
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
\sourceoff
Für gerades \(n\) befinden sich also eine gleiche Anzahl von gefärbten Feldern auf dem Bord, wenn wir die 4 Ecken entfernen. Überdecken wir nun das Feld mit einem L so, dass wir zwei Einsen überdecken, dann überdecken wir keine 4. Analog folgt, wenn wir zwei Zweien überdecken, überdecken wir keine 3.
Dann betrachten wir die Summe (#2s - #3s) + (#1s - #4s). Durch legen eines Ls erhöhen oder vermindern wir also einen Summanden jeweils um 2. Somit ändert sich auch der Summenwert um 2, wenn ein L gelegt wird. Um wieder auf Null zu gelangen benötigen wir also eine gerade Anzahl von Ls. Somit ist dieses für Vielfache von 4 nicht möglich.
Quelle: Hier Nr. 6
Gruß,
Küstenkind
|
Profil
|
Ixx
Aktiv
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 382
| Beitrag No.1971, eingetragen 2022-07-31
|
Moin zusammen!
Vor drei Jahren hatte Steffen dieses Projekt, in welchem wir viele interessante Aufgaben und vor allem kreative Lösungen gesammelt haben, initiiert. Die Ergebnisse findet man auf seinen Internet-Seiten, wo man all diese guten Ideen -- nicht zuletzt inklusive der vielen Zeichnungen, die er selbst erstellt hat -- frei nachlesen kann. Auch floss sehr viel Arbeit überhaupt erst einmal in das Zusammensuchen und TeXen der Aufgaben sowie der Lösungen der Aufgaben-Kommission für viele Runden insbesondere in den unteren Klassenstufen.
Danke dafür!
Nun sollen diese Ideen auch in einem weiteren Projekt genutzt werden: Für die Bundesrunde der Mathematik-Olympiade 2024, welche in Flensburg stattfinden wird, möchten wir den Teilnehmerinnen und Teilnehmern ein kleines Gastgeschenk zukommen lassen: Ein kleines Buch, in welchem die kreativen Überlegungen gerade bei den weniger bekannten älteren Aufgaben gesammelt und vorgestellt werden.
Insbesondere würden wir gern auch die vielen von den hier Aktiven beigetragenen Ideen in diesem (noch zu schreibenden) Büchlein vorstellen; natürlich unter Nennung der jeweiligen Autoren -- sofern gewünscht.
Bitte gebt mir also -- gern per Privater Nachricht -- Bescheid, ob ihr mit der ggf. erfolgenden Veröffentlichung eurer Lösungen im Rahmen des geschliderten Vorhabens einverstanden seid; und im Positiv-Fall, wie (d.h., unter welcher Bezeichnung, z.B. MP-Benutzername oder Klarname) ihr dort als Autor_in genannt werden wollt!
Vielen Dank für Euer Mitwirken!
Viele Grüße aus Flensburg
Ixx aka cyrix aka Christian
|
Profil
|
stpolster
Aktiv
Dabei seit: 30.03.2022
Mitteilungen: 174
| Beitrag No.1972, eingetragen 2022-07-31
|
Hallo Christian,
ich wünsche dir viel Erfolg mit diesem tollen Buch zur Bundesrunde 2022.
So etwas haben wir in Chemnitz 2019 zur Bundesrunde nicht hinbekommen, leider.
LG Steffen
Nachtrag: Mittlerweile wurde die große Aufgabendatei mit den 4400 Aufgaben und Lösungen über 10000 mal heruntergeladen.
|
Profil
|
stpolster
Aktiv
Dabei seit: 30.03.2022
Mitteilungen: 174
| Beitrag No.1973, eingetragen 2022-08-02
|
Hallo,
Ixx aka cyrix aka Christian hat sich die riesige Arbeit gemacht, die Aufgabentexte auseinander zu puzzeln, zu bearbeiten und zu erweitern.
Riesigen Dank dafür.
Als sehr schönes "Nebenprodukt" sind PDF-Dateien herausgekommen, die
zum einen klassenstufenweise, zum anderen klassenstufenübergreifend, die Aufgaben nach Themen (Algebra, Geometrie, Kombinatorik und Zahlentheorie) sortiert beinhalten.
Diese Dateien sind jetzt auch unter https://mathematikalpha.de/mathematikaufgaben verfügbar.
Nochmals Danke an Christian
und LG Steffen
Nebenbei: Es gibt auf meiner Seite das eine oder andere Neue. Etwas Werbung ist notwendig, da irgendwie eine Besucher-Sommerflaute herrscht.
|
Profil
|
Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2591
| Beitrag No.1974, eingetragen 2022-08-02
|
Huhu Steffen,
Danke für die Info! Falls noch Alternativen gesucht sind, könnte ich hierfür noch was bieten:
\quoteon(2019-04-28 12:37 - Nuramon in Beitrag No. 153)
Aufgabe 3 - 071223
Beweisen Sie, dass für alle nicht negativen reellen Zahlen $a,b,c$ gilt:
\[a^3+b^3+c^3 \geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\]
Anmerkung: Ich gehe davon aus, dass es $\geq$ und nicht $>$ heißen soll (Tippfehler in der Aufgabensammlung?).
\showon Beweis
Die Umordnungsungleichung besagt insbesondere, dass für beliebige reelle Zahlen $x_1\geq x_2 \geq x_3$ und $y_1\geq y_2\geq y_3$ gilt:
\[x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 \geq x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1 \]
und
\[x_1y_1+x_2y_3+x_3y_2\geq x_1y_3+x_2y_2+x_3y_1.\]
Falls eine der Zahlen $a,b,c$ Null ist, dann ist
\[a^3+b^3+c^3 \geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\]
erfüllt, denn es steht auf der linken Seite eine nichtnegative Zahl und auf der rechten Seite $0$.
Seien also $a,b,c$ positiv. Da die zu beweisende Ungleichung symmetrisch in $a,b,c$ ist, können wir o.B.d.A. annehmen, dass $a\geq b\geq c$.
Nach Division durch $\sqrt{abc}$ auf beiden Seiten bleibt zu zeigen, dass
\[\frac{a^{2,5}}{\sqrt{bc}}+\frac{b^{2.5}}{\sqrt{ac}}+\frac{c^{2.5}}{\sqrt{ab}} \geq a^{1.5}+b^{1.5}+c^{1.5}\]
gilt.
Wegen $a^{2.5} \geq b^{2.5}\geq c^{2.5}$ und $\frac 1{\sqrt{bc}}\geq \frac 1{\sqrt{ac}}\geq \frac 1{\sqrt{ab}}$ gilt also nach Umordnungsungleichung
\[\begin{align*}
\frac{a^{2,5}}{\sqrt{bc}}+\frac{b^{2.5}}{\sqrt{ac}}+\frac{c^{2.5}}{\sqrt{ab}}
&\geq \frac{a^{2,5}}{\sqrt{ac}}+\frac{b^{2.5}}{\sqrt{ab}}+\frac{c^{2.5}}{\sqrt{bc}} \\
&= \frac{a^2}{\sqrt c}+\frac{b^2}{\sqrt a}+\frac{c^2}{\sqrt b}
\end{align*}\]
Wegen $a^2\geq b^2\geq c^2$ und $\frac1{\sqrt c}\geq \frac1{\sqrt b}\geq \frac1{\sqrt a}$ gilt nach Umordnungsungleichung
\[\begin{align*}
\frac{a^2}{\sqrt c}+\frac{b^2}{\sqrt a}+\frac{c^2}{\sqrt b}
&\geq \frac{a^2}{\sqrt a}+\frac{b^2}{\sqrt b}+\frac{c^2}{\sqrt c}\\
&=a^{1.5}+b^{1.5}+c^{1.5},
\end{align*}\]
woraus die Behauptung folgt.
\showoff
\quoteoff
Die Kurzvariante: Es gilt \((3,0,0) \succ \left(2,\frac 12, \frac 12\right) \). Somit folgt die Behauptung einfach durch Muirhead. (Diese Ungleichung habe ich meine ich noch nicht gelesen bei Christians Sortierung).
Wie unten steht, kann aber dann auch immer ein AM-GM Beweis gefunden werden. Hier:
\(\displaystyle \frac{a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3}{6}\geq \sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=a^2\sqrt{bc}\).
Analog dann die anderen beiden Summen.
Sind dann sogar zwei Alternativen.
Viele Grüße,
Küstenkind
|
Profil
|
stpolster
Aktiv
Dabei seit: 30.03.2022
Mitteilungen: 174
| Beitrag No.1975, eingetragen 2022-08-02
|
Hallo Küstenkind,
ich habe es bei meinen Texten eingebaut. Vielen Dank.
LG Steffen
|
Profil
|
Ixx
Aktiv
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 382
| Beitrag No.1976, eingetragen 2022-08-02
|
Ich habe diese nette Variante (mit AM-GM) auch übernommen. Auf den ersten Blick hat sie keine schlechte Chancen im Ungleichungs-Abschnitt aufzutauchen. :)
|
Profil
|
Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2591
| Beitrag No.1977, eingetragen 2022-08-07
|
Ich habe zu dieser Lösung ein paar Fragen und Anmerkungen:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2022-08-07_um_15.27.06.png
Was ist \(\ltimes\) für eine Menge? Also die Notation \(k \in \ltimes\) verstehe/kenne ich nicht.
Bei der 90 soll es wohl \(9^0\) lauten. Macht es aber überhaupt Sinn das Definitionszeichen in einer Ungleichungskette zu nutzen? Das, was Manuela Induktionsschritt nennt, ist doch der Induktionsanfang (es sollte denn auch \(k=1\) eingesetzt werden). Einfacher wäre es wohl \(9^k+63\) modulo 8 (und 9) zu berechnen. Und man sollte in \(\LaTeX\) wirklich \mid bei Teilbarkeitsaussagen verwenden. Das Wort "Primfaktorenzerlegung" habe ich auch noch nie gelesen.
Gruß,
Küstenkind
|
Profil
|
Ixx
Aktiv
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 382
| Beitrag No.1978, eingetragen 2022-08-07
|
Danke für den Hinweis! Ich habe die Sachen entsprechend angepasst.
Die .-tex-Quellen sind teils sehr heterogen, sodass ich es noch nicht geschafft habe, alle > 3700 Aufgaben entsprechend im gleichen Stil zu setzen. (Priorität haben dann auch erst einmal die Aufgaben, die im Buch landen werden.)
Insofern: Wenn ihr Fehler, falsche Darstellungen u.Ä. findet: Immer her damit! Die Aufgaben-Datenbank wird gepflegt und von Zeit zu Zeit neue Versionen mit dann korrigierten Versionen veröffentlicht.
btw: Das fehlerhafte Symbol entstand durch ein \mathbb{n} anstatt \mathbb{N}...
|
Profil
|
Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2591
| Beitrag No.1979, eingetragen 2022-08-07
|
Aha - daher also das Symbol. Hatte mich schon etwas gewundert.
@Steffen:
Ich hatte dort mal einen Beweis ohne Worte verfasst, der es verständlicherweise dann auch nicht in die Datei geschafft hat:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=241352&start=1160#p1766710
Falls also noch eine Alternative zu dem Beweis von Thomas gewünscht ist, die etwas mehr Elementargeometrie nutzt, wäre hier noch ein kurzer Text:
Zeichnet man durch \(P\) jeweils eine Parallele zu jeder Dreiecksseite, so wird das Dreieck in drei Parallelogramme und drei kleine Dreiecke zerlegt. Da jeweils zwei Winkel von den kleinen Dreiecken Stufenwinkel sind und somit ebenso \(60°\) betragen, sind die Dreiecke damit gleichseitig. Die Dreiecke aus der Aufgabenstellung setzen sich nun jeweils aus einem halben Parallelogramm und einem halben gleichseitigen Dreieck zusammen. So gilt beispielsweise \([BXP]=\frac{1}{2}[PKJ]+\frac{1}{2}[IBKP]\). Somit sind die drei Dreiecke zusammen halb so groß wie das Dreieck \(ABC\).
Du müsstest dann nur noch das Bild tikzen - und müsstest den inneren Punkt \(D\) der Aufgabenstellung entsprechend \(P\) und die Punkte \(E\), \(F\) und \(G\), dann (wie bei Thomas) eben \(X\), \(Y\) und \(Z\) nennen.
Gruß,
Küstenkind
|
Profil
|
Ixx
Aktiv
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 382
| Beitrag No.1980, eingetragen 2022-08-07
|
Moin,
also die halben Parallelogramme in deiner Zerlegung sehe ich noch, da die Parallelogramme hier durch Diagonalen geteilt werden. Aber warum sollten die kleinen gleichseitigen Dreiecke halbiert werden? Das erkenne ich noch nicht...
|
Profil
|
Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2591
| Beitrag No.1981, eingetragen 2022-08-07
|
\(PX\) ist doch laut Aufgabenstellung das Lot auf die Seite \(BC\), steht also senkrecht. Somit ist \(PX\) auch Höhe im Dreieck. Und die Höhe auf die Basis im gleichschenkligen Dreieck halbiert doch die Fläche. Übersehe ich etwas? Mag auch sein - Corona hat mich gerade etwas umgehauen...
Gruß,
Küstenkind
|
Profil
|
Ixx
Aktiv
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 382
| Beitrag No.1982, eingetragen 2022-08-07
|
Ah, ich hatte die Bedingung an X vergessen/ übersehen. Dann passt alles, Danke für den Hinweis. :)
|
Profil
|
stpolster
Aktiv
Dabei seit: 30.03.2022
Mitteilungen: 174
| Beitrag No.1983, eingetragen 2023-04-19
|
Vorgestern erreichte unsere Datei mit den Olympiadeaufgaben und Lösungen mehr als 25000(!) Downloads.
siehe https://mathematikalpha.de/mathematikaufgaben
Ein schöner Erfolg.
Nach der Erwähnung der Internetseite bei Prof. Krötz sind die Download-Zahlen "explodiert".
Ich bin mal so unverschämt, auf das Buch "Die schönsten Aufgaben der Mathematik-Olympiade in Deutschland" hinzuweisen.
Das ist zwar schon 2 Jahre alt und nicht ganz billig, aber es ist für Olympiade-Aufgaben im Moment das Beste.
Die Autoren Prof. Andreas Felgenhauer, Prof. Hans-Dietrich Gronau, Prof. Roger Labahn, Dr. Wolfgang Ludwicki, Dr. Wolfgang Moldenhauer, Prof. Jürgen Prestin, StD Michael Rüsing, Prof. Elias Wegert und Dr. Martin Welk garantieren Qualität.
LG Steffen
|
Profil
|
stpolster
Aktiv
Dabei seit: 30.03.2022
Mitteilungen: 174
| Beitrag No.1984, eingetragen 2023-09-06
|
Durch Zufall habe ich heute, also erst nach beschämenden 4 Jahren, entdeckt, dass die Aufgaben der VIII. Olympiade der Klassenstufe 10 1. Stufe falsch waren. 😖
Tut mir leid.
Ich habe diese und deren Lösungen korrigiert. Aufgabenseite.
Der Fehler betrifft natürlich auch die reine Aufgabendatei und die Datei der Klassenstufe 10.
Außerdem gibt es weitere 30 Lösungen in der Klassen 9 und 10.
LG Steffen
|
Profil
|
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
