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 Alte Olympiadeaufgaben |
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Ex_Senior
 |  Beitrag No.1280, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-16
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@Hyperplot: Danke, ich sehe mir es genauer an.
LG Steffen
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OlgaBarati
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Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 247
 | Beitrag No.1281, eingetragen 2019-07-16
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\quoteon(2019-07-15 21:41 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1278)
...aber von der Musterlösung unterscheidet, wäre es trotzdem gut, Deine Lösung mit ins Lösungsbuch aufzunehmen....
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1275 begonnen.]
\quoteoff
Aufgabe 2 - 201222
Man ermittle alle diejenigen positiven reellen Zahlen k, fur die die Zahlen \(a =\frac{2k}{k + 1}\;\;\;\) \(b =\frac{k+1}{2 }\;\;\;\; \) \(c =\sqrt{k}\;\;\;\; \) die Maßzahlen der (mit gleicher Maßeinheit gemessenen) Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks sind.
\showon Lösung 2 (Alternative):
Das Verhältnis der Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck zueinander ist durch den Satz des Pythagoras definiert. Aus den im Aufgabentext gegebenen Formeln \(a(k),\; b(k),\; c(k),\;\) ergeben sich für \(a^2=\frac{4k^2}{k^2+2k+1}\) für \(b^2=\frac{k^2+2k+1}{4}\) und für \(c^2 =k\).
Nach Umformung folgt
\[\frac{1}{a^2}=\frac{k^2+2k+1}{4k^2}\]
und mit dem Verhältnis
\[\frac{1}{a^2}=\frac{b^2}{k^2}\]
die für \(k\) quadratische Gleichung
\[k^2-ka^2-a^4=0\]
\[k_{1,2}=\frac{a^2}{2}\pm \sqrt{(\frac{a^2}{2})^2+a^4}\]
\[k_{1,2}=\frac{a^2}{2}\pm \sqrt{\frac{a^4}{4}+a^4}\]
\[k_{1}=\frac{a^2}{2}(1+\sqrt{5})\]
\[k_{2}=\frac{a^2}{2}(1-\sqrt{5})\]
Da \(k_2<0\) ist, fällt diese Lösung heraus da sie die Bedingungen der Aufgabenstellung nicht erfüllt. Mit dem Einsetzen von \((k=k_1)\) folgt für
\[a^2=\frac{2k}{1+\sqrt{5}}=\frac{4k^2}{k^2+2k+1}\]
und nach weiterer Berechnung
\[k^2-2k\sqrt{5}+1=0\]
\[k_{3}=\sqrt{5}+2\]
\[k_{4}=\sqrt{5}-2\]
ergeben sich die beiden Zahlenwerte \(k_3,\; k_4\), die, zur Überprüfung eingesetzt, auch die Lösungswerte der Aufgabenstellung sind.
\showoff
...ggf. erforderliche Änderungen/Ergänzungen/Korrekturen pflege ich dann noch ein.
LG Olga
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MontyPythagoras
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 | Beitrag No.1282, eingetragen 2019-07-16
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Hier müsste ein Fehler in der Aufgabenstellung vorliegen:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39826_Aufgabe_331243.png
Das Ergebnis der Aufgabenstellung ist nicht plausibel. Wenn man davon ausgeht, dass die vier Punkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ reihum benannt wurden, dann liegen sich $A'$ und $C'$ diagonal gegenüber, und ebenso $B'$ und $D'$. Wenn man nun $B'$ und $D'$ an Ort und Stelle belässt, also $b$ und $d$ beibehält, und dann die Ebene diagonal um die Achse $B'D'$ kippt, verringert sich $a$, während sich $c$ vergrößert, oder andersherum. Die Formel in der Aufgabenstellung wäre dann nicht erfüllt. Auf jeden Fall macht es Sinn, dass die Summe der Abstandskehrwerte von sich diagonal gegenüberliegenden Punkten konstant bleibt. Hier meine Herleitung (es ist ein bisschen Brute-Force-Methode, aber ein eleganterer Weg ist mir bislang nicht eingefallen):
Die Größe der Pyramide ist für diese Aufgabe belanglos. Wir können die vier Kanten der Pyramide auch durch 4 Geraden darstellen, die durch den Ursprung gehen, wenn man die Spitze der Pyramide in selbigen legt. Denkt man sich die Grundfläche der Pyramide als senkrecht zur z-Achse, dann lauten die Koordinaten der Punkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$:
$$\vec a=\frac{a}{\sqrt{2q^2+h^2}}\left(\begin{array}{c}q\\q\\h\end{array}\right)$$$$\vec b=\frac{b}{\sqrt{2q^2+h^2}}\left(\begin{array}{c}q\\-q\\h\end{array}\right)$$$$\vec c=\frac{c}{\sqrt{2q^2+h^2}}\left(\begin{array}{c}-q\\-q\\h\end{array}\right)$$$$\vec d=\frac{d}{\sqrt{2q^2+h^2}}\left(\begin{array}{c}-q\\q\\h\end{array}\right)$$$q$ und $h$ sind Größen der gedachten Pyramide ($h$ die Höhe und $q$ eine halbe Grundflächenseite), aber sie sind für die Berechnung ohne Belang.
Die Punkte liegen in einer Ebene, wenn das Spatprodukt dreier Differenzen dieser Vektoren null ergibt, also z.B.:
$$(\vec b-\vec a,\vec c-\vec a,\vec d-\vec a)=0$$$$\left|\begin{matrix}q(b-a) & -q(c+a) & -q(d+a) \\-q(b+a) & -q(c+a) & q(d-a)\\h(b-a) & h(c-a) & h(d-a) \end{matrix}\right|=0$$Nun folgt eine reine Fleißaufgabe:
$$-(b-a)(c+a)(d-a)-(c+a)(d-a)(b-a)+(d+a)(b+a)(c-a)-(d+a)(c+a)(b-a)-(b-a)(d-a)(c-a)-(c+a)(b+a)(d-a)=0$$$$(b-a)(-cd+ac-ad+a^2-cd-ad+ac+a^2)+(d+a)(ac+bc-ab-a^2-bc-ab+ac+a^2)+(d-a)(-bc+ac+ab-a^2-bc-ab-ac-a^2)=0$$$$(b-a)(-2cd+2ac-2ad+2a^2)+(d+a)(2ac-2ab)+(d-a)(-2bc-2a^2)=0$$$$-bcd+abc-abd+a^2b+acd-a^2c+a^2d-a^3+acd-abd+a^2c-a^2b-bcd-a^2d+abc+a^3=0$$$$-2bcd+2abc-2abd+2acd=0$$$$-\frac1a+\frac1d-\frac1c+\frac1b=0$$$$\frac1a+\frac1c=\frac1b+\frac1d$$q.e.d.
Ciao,
Thomas
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Kuestenkind
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| Beitrag No.1283, eingetragen 2019-07-16
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\quoteon(2019-07-14 23:07 - OlgaBarati in Beitrag No. 1255)
Mit \(s=\frac{d^2}{2}=\sqrt{\frac{(\frac{2}{7})^2}{2}}=\sqrt{\frac{4}{98}} > \sqrt{\frac{4}{100}}=\frac{2}{10}=0,20 \)
wäre es - will man die Zwischenschritte aufschreiben - auf diesem Wege ohne TR jedoch auch leicht abzuschätzen.
\quoteoff
Huhu Olga,
ja - wunderbar! Ich hatte irgendwie nur meine Abschätzung im Kopf und total übersehen, wie man bei dir auch einfach abschätzen kann. Ich würde es schön finden, wenn Steffen dieses in der PDF ersetzen könnte. Was meinst du dazu?
Huhu Steffen,
hier dann noch eine Geometrie Aufgabe:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2019-07-16_um_11.25.02.png
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2019-07-16_um_11.23.56.png
Die Hauptüberlegung bei dieser Aufgabe ist, dass die gelben und roten Dreiecke (\(\triangle RPD \text{ und } \triangle QDX \text{ sowie } \triangle RPI \text{ und } \triangle YIQ\)) flächeninhaltsgleich sind. Das überlegt man sich wie folgt (ich zeige das einmal für die gelben): Das \(\triangle RPQ\) ist flächeninhaltsgleich zum \(\triangle RXQ\), da hier nur eine Scherung stattfindet (beide Dreiecke haben die gleiche Grundseite und Höhe). Diese beiden Dreiecke setzen sich jeweils nun aus dem Dreieck \(RDQ\) und einem gelben Dreieck zusammen, womit die Behauptung folgt. Für die roten Dreiecke läuft es analog.
Der Flächeninhalt des Vierecks OPSR setzt sich nun zusammen aus dem halben Parallelogramm und dem Dreieck \(RSP\). Die Fläche des Viereck \(SXQY\) berechnet sich als \(A=A_{\text{rot}}+A_{\text{gelb}}+(A_{\text{halbes Parallelogramm}}-A_{\text{rot}}-A_{\text{gelb}}+A_{\triangle RSP})\), womit die Behauptung folgt.
Gruß,
Küstenkind
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MontyPythagoras
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| Beitrag No.1284, eingetragen 2019-07-16
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https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39826_Aufgabe_331244.png
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39826_3_Aufgabe_331244_Skizze.png
Gemäß Aufgabenstellung muss gelten:
$$z=x+y$$Da es sich bei $D$ und $E$ um die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden mit den Dreiecksseiten handelt, sind die blau dargestellten Strecken $d$ gleichlang, und ebenso die rot dargestellten Strecken mit der Bezeichnung $e$. Sei nun $q$ das Verhältnis der Strecke $EP$ zur Strecke $ED$, also
$$q=\frac{\overline{EP}}{\overline{ED}}$$Offensichtlich gilt $0\leq q\leq1$.
Wir betrachten zunächst das Dreieck $EMD$. Laut Strahlensatz gilt:
$$\frac{z-d}{e-d}=1-q$$$$z=d+(e-d)(1-q)=dq+e(1-q)\qquad(1)$$Im Dreieck $EDF$ gilt auch wegen des Strahlensatzes:
$$\frac yd=q$$$$y=dq\qquad(2)$$Und letztlich im Dreieck $EDG$:
$$\frac xe=1-q$$$$x=e(1-q)\qquad(3)$$Addiert man nun (2) und (3), dann folgt:
$$x+y=dq+e(1-q)=z$$q.e.d.
Ciao,
Thomas
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OlgaBarati
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| Beitrag No.1285, eingetragen 2019-07-16
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\quoteon(2019-07-16 11:49 - Kuestenkind in Beitrag No. 1283)
\quoteon(2019-07-14 23:07 - OlgaBarati in Beitrag No. 1255)
Mit \(s=\frac{d^2}{2}=\sqrt{\frac{(\frac{2}{7})^2}{2}}=\sqrt{\frac{4}{98}} > \sqrt{\frac{4}{100}}=\frac{2}{10}=0,20 \)
wäre es - will man die Zwischenschritte aufschreiben - auf diesem Wege ohne TR jedoch auch leicht abzuschätzen.
\quoteoff
Huhu Olga,
.. wenn Steffen dieses in der PDF ersetzen könnte. Was meinst du dazu?
\quoteoff
Hallo Küstenkind,
ja, ich bin auch dafür eine offensichtlich nachvollziehbare Abschätzung einzufügen.
LG Olga
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Ex_Senior
| Beitrag No.1286, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-16
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Hallo,
ich habe wieder alles eingefügt und war auch so frei, ein paar Abbildungen mit tikz zu zeichnen.
Ich möchte gern die Dateigröße "klein" halten. Jetzt sind nur noch 7 Bilder als PNG eingefügt, die ich auch noch ersetzen möchte.
Insbesondere Küstenkind möchte ich bitten, mal zu kontrollieren, ob die Abbildung seinen Vorstellungen entspricht.
Stand: 1415 Lösungen, 138 offene Aufgaben, 1075 Seiten
LG Steffen
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MontyPythagoras
Senior 
Dabei seit: 13.05.2014
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Wohnort: Werne
| Beitrag No.1287, eingetragen 2019-07-16
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https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39826_Aufgabe_311236.png
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39826_1_Aufgabe_311236_Skizze.png
Da die Fläche $F$ des Dreiecks $ABC$ konstant gleich eins sein soll, gilt
$$V=\tfrac13Fh=\tfrac13h$$Das Volumen ist somit maximal, wenn die Höhe $h$ maximal ist. $D$ sei der Mittelpunkt der Strecke $BC$. Dann gilt:
$$F=\tfrac12bc=1$$$$c=\frac2b$$Betrachten wir nun das gleichschenklige Dreieck $ADS$. Seine Fläche ist
$$\tfrac12bh'=\tfrac12ch$$wobei
$$h'=\sqrt{c^2-\tfrac14b^2}$$ist. Damit erhält man:
$$h=\frac bc\sqrt{c^2-\tfrac14b^2}$$Setzt man noch $c$ ein, folgt:
$$h=\frac {b^2}2\sqrt{\frac4{b^2}-\tfrac14b^2}$$$$h=\sqrt{b^2-\tfrac1{16}{b^6}}$$Soll $h$ und damit $V$ maximal werden, muss der Term unter der Wurzel maximal werden. Wir setzen daher die erste Ableitung gleich null:
$$2b-\tfrac38b^5=0$$$b=0$ stellt offenkundig kein Maximum dar, so dass die Lösung lautet:
$$b^4=\tfrac{16}3$$$$b=\frac2{\sqrt[4]3}$$Für den Winkel $\beta$ gilt dann:
$$\beta=2\arctan\frac b{2c}=2\arctan\frac{b^2}4=2\arctan\frac1{\sqrt3}$$$$\beta=2\cdot30°=60°$$Dann ist $b=a$. Das Volumen ist also maximal, wenn die Pyramide ein regelmäßiger Tetraeder ist.
Ciao,
Thomas
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mawi
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Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 17
 | Beitrag No.1288, eingetragen 2019-07-16
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Auf Wunsch eines einzelnen Herren(?) hier die offizielle Lösung für 321236; ich hoffe, ihr könnt das lesen:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/702_321236l_k.jpg
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MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3417
Wohnort: Werne
| Beitrag No.1289, eingetragen 2019-07-16
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Tja, ähh..., häh?
Interessant, aber sehr falsch, wie ein Blick auf meine einfache Überlegung in #1217 beweist...
Ciao,
Thomas
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Kornkreis
Senior 
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 903
Wohnort: Chemnitz
 | Beitrag No.1290, eingetragen 2019-07-16
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Einer der Radii (MB) ist $3 \cdot \sqrt{2}$, das dürfte der Unterschied sein.
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Ex_Senior
| Beitrag No.1291, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-16
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Da meine Quellen nun ausgegangen sind, werde ich nun etwas machen, was seit längerer Zeit notwendig ist.
Ich werde den ganzen Text durchgehen, u.a. die Tippfehler suchen, die Formelnummerierung ordentlich gestalten, alle Bilder kontrollieren (im Laufe der Zeit habe ich eine Menge gelernt und wenn ich mir die ersten Bilder ansehe, kann ich nur den Kopf schütteln ...), und vieles andere mehr.
In diesem Zusammenhang frage ich höflich an:
Möchte jemand von euch, dass ich seinen Matheplaneten-Nickname in den richtigen Namen ändere?
Immerhin habt ihr eine hervorragende Leistung erbracht und ihr könnt darauf stolz sein.
Wenn ja, sendet mir einfach eine PN.
Das gilt auch für diejenigen, die bisher als "Anonym" gekennzeichnet sind.
Wenn keine PN kommt, lasse ich natürlich alle wie es ist.
LG Steffen
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1288 begonnen.]
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Ex_Senior
| Beitrag No.1292, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-16
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\quoteon(2019-07-16 20:13 - Kornkreis in Beitrag No. 1290)
Einer der Radii (MB) ist $3 \cdot \sqrt{2}$, das dürfte der Unterschied sein.
\quoteoff
Tut mir leid, aber in meiner Quelle steht tatsächlich 3, statt $3 \cdot \sqrt{2}$ und die $alpha$ hat diese Aufgaben nicht mehr veröffentlicht.
Vielleicht hat mawi auch die originale Aufgabenstellung?
LG Steffen
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2591
| Beitrag No.1293, eingetragen 2019-07-16
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Huhu Steffen,
\quoteon(2019-07-16 16:06 - stpolster in Beitrag No. 1286)
Insbesondere Küstenkind möchte ich bitten, mal zu kontrollieren, ob die Abbildung seinen Vorstellungen entspricht.
\quoteoff
habe gerade geschaut - sehr schön! Vielen Dank für deine Mühen!
Viele Grüße,
Küstenkind
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MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3417
Wohnort: Werne
| Beitrag No.1294, eingetragen 2019-07-16
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\quoteon(2019-07-16 20:13 - Kornkreis in Beitrag No. 1290)
Einer der Radii (MB) ist $3 \cdot \sqrt{2}$, das dürfte der Unterschied sein.
\quoteoff
Ja, stimmt.
\quoteon(2019-07-16 20:19 - stpolster in Beitrag No. 1292)
Tut mir leid, aber in meiner Quelle steht tatsächlich 3, statt $3 \cdot \sqrt{2}$ und die $alpha$ hat diese Aufgaben nicht mehr veröffentlicht.
Vielleicht hat mawi auch die originale Aufgabenstellung?
LG Steffen
\quoteoff
Ja, es ist zu vermuten, dass die originale Aufgabenstellung tatsächlich $3\sqrt2$ vorsah. Dann ist meine Lösung zwar nicht falsch, weil sie eine allgemeine Herleitung zeigt, allerdings greift sie auf die Cardanischen Formeln zurück. In der Musterlösung läuft es auch auf eine kubische Gleichung hinaus, aber hier sind die Zahlen so, dass man mittels dem Satz von Vieta die Lösung $x=3$ erraten kann/muss. Wie möchtest Du damit verfahren?
Ciao,
Thomas
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mawi
Junior
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.1295, eingetragen 2019-07-16
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In der Aufgabe (habe das Foto gerade an Steffen geschickt) steht auch die Wurzel...
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1293 begonnen.]
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mawi
Junior
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.1296, eingetragen 2019-07-16
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Ein Wunsch noch für die tollen Zeichnungen: geht eine generelle Kennzeichnung der Punkte in tikzpicture durch
\foreach \P in {A,B,C,Ma,Mb,Mc,S} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
?
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.1297, eingetragen 2019-07-16
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\quoteon(2019-07-16 23:09 - mawi in Beitrag No. 1296)
Ein Wunsch noch für die tollen Zeichnungen: geht eine generelle Kennzeichnung der Punkte in tikzpicture durch
\foreach \P in {A,B,C,Ma,Mb,Mc,S} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\quoteoff
Inwiefern?
Die Bezeichnung $A,B,C,M_a\dots$ werden üblicherweise durch label in
\coordinate[label=:$$] () at (,);
Mit = above (default), below, left, right, ...
oder "34.5" = "Winkel".
\sourceon (latex)
\coordinate[label=-87:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B_1$] (B1) at (6,0);
\coordinate[label=$M_a$] (Ma) at (1.48,3.3);
% ...
\sourceoff
festgelegt.
Wenn das in der Schleife, die die Kreise mit Radius 1.5pt, zeichnet geschehen soll, sind im allgemeinen zwei weitere Platzhalter nötig:
\sourceon latex
\foreach \Name/\Anker/\Anzeige in {A/north/A, B1/33.5/B_1, Ma/{south west}/M_a}
\draw[fill=black!1] (\Name) circle (1.75pt) node[anchor=\Anker]{$\Anzeige$};
\sourceoff
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MontyPythagoras
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Dabei seit: 13.05.2014
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Wohnort: Werne
| Beitrag No.1298, eingetragen 2019-07-16
|
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39826_Aufgabe_311232.png
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39826_Aufgabe_311232_Skizze.png
Die Fläche des Vierecks $ABCD$ ist gleich der Fläche des Dreiecks $AED$ minus die Fläche des Dreiecks $BEC$:
$$F=\tfrac12(f+a)(g+c)\sin\alpha-\tfrac12fg\sin\alpha$$$$F=\tfrac12ag\sin\alpha+\tfrac12cf\sin\alpha+\tfrac12ac\sin\alpha\qquad(1)$$Aufgrund der Innenwinkelsumme des Dreiecks $BEC$ gilt:
$$\alpha=\pi-(\pi-\beta)-(\pi-\gamma)=\beta+\gamma-\pi$$$$\sin\alpha=\sin(\beta+\gamma-\pi)=-\sin(\beta+\gamma)\qquad(2)$$Außerdem ist, wenn man die gestrichelten Linien betrachtet, die senkrecht auf die Strecken $AE$ bzw. $DE$ stehen:
$$g\sin\alpha=b\sin(\pi-\beta)=b\sin\beta\qquad(3)$$und
$$f\sin\alpha=b\sin\gamma\qquad(4)$$Wir setzen nun die Gleichungen (2) bis (4) in (1) ein, und erhalten direkt:
$$F=\tfrac12ab\sin\beta+\tfrac12bc\sin\gamma-\tfrac12ac\sin(\beta+\gamma)$$q.e.d.
Ciao,
Thomas
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weird
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Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5301
 | Beitrag No.1299, eingetragen 2019-07-17
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Und zur Abwechslung wieder mal eine sommerlich leichte Kost - zumindest, wenn die Aufgabe wirklich so gemeint ist, wie ich sie nachfolgend sehe. ;-)
\quoteonAufgabe 2 - 321232
Man beweise: Zu jeder Primzahl $p$ gibt es eine reelle Zahl $c$, mit der Zahlenfolge $(a_k)_{k=1,2,3,...}$, die durch
\[a_1 = c, \quad a_{k+1} = a_k^2 +c\quad (k =1,2,3,...)\]
definiert wird, periodisch ist und die Zahl $p$ als kleinste Periodenlänge hat.
Hinweis: Eine Zahlenfolge $(a_k)_{k=1,2,3,...}$ heißt genau dann periodisch, wenn es eine positive ganze Zahl $n$ gibt, mit der für alle $k =1,2,3,...$ die Gleichung $a_k = a_{k+n}$ gilt. Ist das der Fall, so heißt jede positive ganze Zahl $n$, mit der das zutrifft, eine Periodenlänge der Zahlenfolge $(a_k)_{k=1,2,3,...}$.
\quoteoff
\showon
Wir ergänzen zunächst die Folge durch das Folgenglied $a_0=0$, da dies mit obiger Rekursionsvorschrift offensichtlich kompatibel ist und einige der folgenden Überlegungen etwas einfacher macht. Rechnet man nun für ein fest vorgebenes $c\in\mathbb R$ die ersten paar Folgenglieder $a_n$ für $n>0$ als Funktionen von $c$ einmal konkret aus, nämlich
\[a_1(c)=c\]
\[a_2(c)=c^2+c\]
\[a_3(c)=c^4+2c^3+c^2+c\]
\[a_4(c)=c^8+4c^7+6c^6+6c^5+5c^4+2c^3+c^2+c\]
\[...\]
so führt dies als unmittelbare Konsequenz aus der obigen Rekursionsvorschrift dann auf eine Folge von Polynomfunktionen in $c$ vom jeweiligen Grad $2^{n-1}$, wobei der konstante Term stets fehlt. Damit eine Folge die Periodenlänge $p\in\mathbb N^*$ hat, reicht es offenbar
\[a_p(c)=0\quad (*)\]
zu fordern, weil damit dann auch
\[a_p=a_0,\ a_{p+1}=a_1,\ a_{p+2}=a_2,...\]
gilt. (Man beachte aber, dass (*) nur dann für eine periodische Folge $(a_n)$ mit Periodenlänge $p$ auch notwendig ist, wenn sie die Null mehrfach enthält, was aber nicht notwendigerweise der Fall sein muss!)
Soll $p$ sogar die minimale, also dann kleinstmögliche Periodenlänge sein, wie dies in der Aufgabe gefordert wird, so darf $c$ dann jedenfalls nicht auch Nullstelle der Polynomfunktionen $a_k(c)$ sein, wobei $k$ ein "echter" (also von $n$ verschiedener) Teiler von $n$ ist. Ist daher $p$ sogar eine Primzahl, wie dies hier in der Aufgabe noch vorausgesetzt wird, so müssen wir also dann nur den einzigen Fall ausschließen, dass $c$ auch Nullstelle von $a_1(c)=c$ ist, was somit auf die Bedingung $c\ne 0$ hinausläuft. Und ja, so eine reelle und von Null verschieden Nullstelle von $a_p(c)$ muss es hier immer geben, da nach Abspaltung des Linearfaktors $c$ aus $a_p(c)$ ja eine Polynomfunktion von ungeradem Grad mit konstantem Term $\ne 0$ verbleibt, für welche das bekanntermaßen sicher zutrifft, womit auch diese letzte Frage dann hier noch geklärt ist.
\showoff
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1296 begonnen.]
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Ex_Senior
| Beitrag No.1300, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-17
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\quoteon(2019-07-16 23:02 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1294)
Wie möchtest Du damit verfahren?
\quoteoff
Deine Lösung finde ich sehr schön. Könntest du diese einfach auf den geänderten Wert mit der Wurzel anpassen?
LG Steffen
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mawi
Junior
Dabei seit: 15.10.2002
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| Beitrag No.1301, eingetragen 2019-07-17
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@HyperPlot: wegen der Punkte in den Zeichnungen: ja, es geht mir explizit um die kleinen Kreise, die Punkte markieren. Ich hatte das neulich in euren tikzpicture Zeichnungen gesehen. Das entspricht etwa dem, was ich bisher mit xfig auch genutzt hatte und finde es ansprechender, in dieser Weise "Punkte" zu zeichnen, auch wenn das dann schon ein geometrischer Ort als kleiner Kreis und kein Punkt mehr ist. Da bin ich dann aber nicht spitzfindig genug sondern eher Ästhet - oder jemand, der auch genau zeigen will: Achtung, da ist was Wichtiges.
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MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3417
Wohnort: Werne
| Beitrag No.1302, eingetragen 2019-07-17
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Hallo zusammen,
ich möchte noch einmal meine evtl. unvollständige Lösung zu 321233A (Beitrag #1258) in Erinnerung rufen. Hat sich da noch jemand Gedanken gemacht? Ich habe das ungute Bauchgefühl, dass eine solche allgemeine Lösung meistens nicht das Gesuchte darstellt und dass da noch was gehen muss.
\quoteon(2019-07-17 07:56 - stpolster in Beitrag No. 1300)
Deine Lösung finde ich sehr schön. Könntest du diese einfach auf den geänderten Wert mit der Wurzel anpassen?
LG Steffen
\quoteoff
... werde ich machen.
Bitte korrigiere auch noch zu 331243 die Aufgabenstellung (siehe meinen Beitrag #1282).
Ciao,
Thomas
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Nuramon
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Mitteilungen: 3782
| Beitrag No.1303, eingetragen 2019-07-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
\quoteon(2019-07-17 11:38 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1302)
Hallo zusammen,
ich möchte noch einmal meine evtl. unvollständige Lösung zu 321233A (Beitrag #1258) in Erinnerung rufen. Hat sich da noch jemand Gedanken gemacht? Ich habe das ungute Bauchgefühl, dass eine solche allgemeine Lösung meistens nicht das Gesuchte darstellt und dass da noch was gehen muss.
\quoteoff
Ich habe (noch?) keine schöne Darstellung aller Lösungen der Funktionalgleichung. Ich kann aber auf jeden Fall zeigen, dass $f$ eine ungerade Funktion sein muss.
Nicht alle von dir angegebenen Funktionen sind auch Lösungen der Funktionalgleichungen. Ich vermute du hast noch irgendeine Symmetriebedingung übersehen, die die Funktion $g$ erfüllen muss. (Ich habe mit Geogebra ein paar Funktionen $g$ ausprobiert.)\(\endgroup\)
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Kuestenkind
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| Beitrag No.1304, eingetragen 2019-07-17
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Huhu,
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2019-07-16_um_21.54.22.png
ich arbeite noch an einem geometrischen Beweis, aber damit die Aufgabe schon mal gelöst ist, habe ich es aus Spaß mal durchgerechnet:
Also sei \(A(0,0)\), \(B(a,0)\), \(C\left(\frac{a}{2},b\right)\) und \(D\left(\frac{a}{2},0\right)\) mit \(a,b\in\mathbb{R}^+\). Die Gerade durch \(C\) und \(B\) hat die Funktionsgleichung \(f_1(x)=\frac{-2b}{a}x+2b\). Die Lotgerade durch \(D\) berechnet sich zu \(f_2(x)=\frac{a}{2b}x-\frac{a^2}{4b}\). Durch gleichsetzen erhalten wir dann den Schnittpunkt \(D'\left(\frac{8ab^2+a^3}{2a^2+8b^2},\frac{a^2b}{a^2+4b^2}\right)\). Die Steigung der proportionalen Funktion durch \(A\) und \(D'\) lässt sich leicht berechnen zu \(m_3=\frac{2a^3b+8ab^3}{a^4+12a^2b^2+32b^4}\). Der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{DD'}\) berechnet sich zu \(H\left(\frac{6ab^2+a^3}{2a^2+8b^3},\frac{a^2b}{2a^2+8b^2}\right)\). Die Steigung der Geraden durch \(C\) und \(H\) ermittelt sich nach etwas Algebra dann zu \(m_4=-\frac{a^4+12a^2b^2+32b^4}{2a^3b+8ab^3}\), womit die Behauptung folgt.
Sicherlich im Sinne des Aufgabenstellers (denke ich) - aber immerhin gelöst. Mal schauen ob mir noch was geometrisches einfällt.
Gruß,
Küstenkind
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weird
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| Beitrag No.1305, eingetragen 2019-07-18
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\quoteon(2019-07-17 11:38 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1302)
Hallo zusammen,
ich möchte noch einmal meine evtl. unvollständige Lösung zu 321233A (Beitrag #1258) in Erinnerung rufen. Hat sich da noch jemand Gedanken gemacht? Ich habe das ungute Bauchgefühl, dass eine solche allgemeine Lösung meistens nicht das Gesuchte darstellt und dass da noch was gehen muss.
\quoteoff
Obwohl du jetzt schon mit bewunderswertem Fleiß einige grundlegende Eigenschaften von $f$ zusammengetragen hast, fehlt bei dir doch, wie bereits von Nuramon erwähnt, die Herleitung der weiteren wichtigen Eigenschaft von $f$ ungerade zu sein. Diese Bedingung ist zusammen mit der weiteren von dir ebenfalls nicht erwähnten Eigenschaft
\[f\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=f(x)\]
für alle $x\in\mathbb R$, für welche die Ausgangsgleichung (1) Sinn macht, dann schon hinreichend dafür, dass diese erfüllt ist, wie man leicht zeigen kann. Ob man diese Funktionen $f$ noch konketer angeben kann, ja ob es überhaupt welche gibt, welche diese beiden Bedingungen erfüllen, sehe ich im Moment aber leider auch nicht.
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Ex_Senior
| Beitrag No.1306, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-18
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Ich habe noch einmal ein paar Lösungen erhalten und mache damit die Aufgaben 151032, 151041, 151042, 151045, 101235 und 101236 fertig; die letzten 3 wahrscheinlich heute Abend.
Stand: 1423 Lösungen
LG Steffen
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MontyPythagoras
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| Beitrag No.1307, eingetragen 2019-07-18
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Hallo zusammen,
\quoteon(2019-07-18 17:18 - weird in Beitrag No. 1305)
(...) von dir ebenfalls nicht erwähnten Eigenschaft
\[f\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=f(x)\]
\quoteoff
Mit der Eigenschaft der Funktion, ungerade zu sein, folgt diese Gleichung auch unmittelbar aus meinen Gleichungen (7) und (8). Die Ungeradheit ist daher der Knackpunkt.
Ich bin aber gerade dabei, mein Auto vollzuladen, da ich morgen früh in Richtung Fronkreisch in den Urlaub aufbreche und dann für den Matheplaneten in einen zweiwöchigen Funkschatten eintrete. Insofern habe ich auch kein Problem damit, wenn Ihr, Du oder Nuramon oder auch jemand anderes, meine Teil-Lösung komplettiert.
Ich werde nachher nur noch die "Eckpunkte-auf-konzentrischen-Kreisen"-Aufgabe aufhübschen und komplettieren und dann erst wieder in 2 Wochen weitermachen können. Wenn dann noch was übrig ist... :-D
Ciao,
Thomas
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MontyPythagoras
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| Beitrag No.1308, eingetragen 2019-07-18
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Hier noch mal die Aufhabe mit den Dreieckspunkten auf konzentrischen Kreisen.
Steffen, bitte korrigiere die Aufgabenstellung noch dahingehend, dass $r_2=3\sqrt2$ ist.
Für die Skizze kann man hier das Geogebra-Applet ansehen und auch "herumspielen" und sehen, wie sich die Fläche verändert, wenn man die Punkte auf den Kreisen verschiebt:
https://www.geogebra.org/classic/rznmvdjw
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39826_Aufgabe_321236.png
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39826_1_Aufgabe_321236_Skizze_neu.png
Der Punkt $D$ sei der Mittelpunkt der konzentrischen Kreise. Es ist gleichzeitig der Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks $ABC$. Das heißt, dass wenn man Geraden durch den Mittelpunkt $D$ und die Eckpunkte legt, diese Geraden die Dreiecksseiten unter einem rechten Winkel schneiden. Warum das so sein muss, kann man sich relativ leicht klar machen:
Betrachtet man zwei Punkte als fix, z.B. $A$ und $B$, dann ist die Fläche des Dreiecks gleich die Grundseite $AB$ mal den Abstand des Punktes $C$ von der Seite $AB$. Wenn der Punkt $C$ nur um $D$ im Abstand $r_3$ rotieren kann, ist der Abstand des Punktes $C$ von $AB$ genau dann maximal (und damit auch die Fläche), wenn die Verbindungslinie $CD$ senkrecht steht auf $AB$. Das gleiche gilt sinngemäß auch für die anderen Punkte.
Sei nun $x_3$ die Verlängerung der Strecke $CD$ bis zur Strecke $AB$. Dann gilt:
$$(1)\qquad x_3^2+p_3^2=r_1^2$$$$(2)\qquad x_3^2+q_3^2=r_2^2$$Die zu maximierende Fläche des Dreiecks ist
$$(3)\qquad A=\tfrac12(x_3+r_3)(p_3+q_3)$$Löst man (1) und (2) nach $p_3$ und $q_3$ auf und setzt in (3) ein, dann folgt:
$$(4)\qquad A(x)=\tfrac12(x_3+r_3)\left(\sqrt{r_1^2-x_3^2}+\sqrt{r_2^2-x_3^2}\right)$$Nach $x_3$ ableiten und null setzen, um das Maximum zu bestimmen (den Faktor $\tfrac12$ können wir gleich eliminieren durch das Nullsetzen):
$$0=\left(\sqrt{r_1^2-x_3^2}+\sqrt{r_2^2-x_3^2}\right)+(x_3+r_3)\left(\frac{-x_3}{\sqrt{r_1^2-x_3^2}}+\frac{-x_3}{\sqrt{r_2^2-x_3^2}}\right)$$$$0=\left(\sqrt{r_1^2-x_3^2}+\sqrt{r_2^2-x_3^2}\right)-x_3(x_3+r_3)\frac{\sqrt{r_1^2-x_3^2}+\sqrt{r_2^2-x_3^2}}{\sqrt{r_1^2-x_3^2}\cdot\sqrt{r_2^2-x_3^2}}$$$$0=1-\frac{x_3(x_3+r_3)}{\sqrt{r_1^2-x_3^2}\cdot\sqrt{r_2^2-x_3^2}}$$$$x_3(x_3+r_3)=\sqrt{r_1^2-x_3^2}\cdot\sqrt{r_2^2-x_3^2}$$$$x_3^4+2r_3x_3^3+r_3^2x_3^2=(r_1^2-x_3^2)(r_2^2-x_3^2)$$$$x_3^4+2r_3x_3^3+r_3^2x_3^2=x_3^4-(r_1^2+r_2^2)x_3^2+r_1^2r_2^2$$$$2r_3x_3^3+(r_1^2+r_2^2+r_3^2)x_3^2-r_1^2r_2^2=0$$
Damit wären wir bei einer kubischen Gleichung für $x_3$. Wir setzen an dieser Stelle die Zahlenwerte ein, und erhalten:
$$2x_3^3+44x_3^2-450=0$$$$x_3^3+22x_3^2-225=0$$Man kann und muss die Lösung $x_3=3$ erraten und kann die Gleichung dann faktorisieren:
$$(x_3-3)(x_3^2+25x_3+75)=0$$Die weiteren Lösungen des quadratischen Terms kommen nicht in Frage, weil sie beide negativ sind. Mit $x_3=3$ erhalten wir außerdem
$$p_3=\sqrt{25-9}=4$$und
$$q_3=\sqrt{18-9}=3$$Damit erhalten wir als maximale Dreiecksfläche
$$A_{max}=\tfrac12(3+1)(3+4)=14$$
Zusatz zur allgemeinen Lösung:
Multipliziert man obige allgemeine kubische Gleichung mit $r_3^2$, erhält man:
$$2r_3^3x_3^3+(r_1^2+r_2^2+r_3^2)r_3^2x_3^2-r_1^2r_2^2r_3^2=0$$Setzt man nun $x_3r_3=c$, dann folgt:
$$2c^3+(r_1^2+r_2^2+r_3^2)c^2-r_1^2r_2^2r_3^2=0$$Wie man erkennt, ist diese Gleichung symmetrisch bezüglich $r_1$, $r_2$ und $r_3$. Daher ist $c$ eine Invariante, und es gilt
$$x_1r_1=x_2r_2=x_3r_3=c$$Die Lösung der kubischen Gleichung führt auf den Casus irreducibilis, so dass man $c$ nicht als Summe von Wurzeln und dritten Wurzeln darstellen kann, sondern nur mit dem Kosinus von Winkeldritteln. Aufgrund der bekannten Tatsache, dass die Dreiteilung eines Winkels nicht mit elementaren Konstruktionsmitteln durchführbar ist, ist auch das Dreieck mit maximalem Flächeninhalt nicht elementar konstruierbar. Setzt man
$$r_q=\sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2+r_3^2}3}$$$$r_m=(r_1r_2r_3)^\tfrac13$$als quadratischen und geometrischen Mittelwert der Radien, dann lautet die kubischen Gleichung für die Invariante $c$:
$$2c^3+3r_q^2c^2-r_m^6=0$$Die Lösung der kubischen Gleichung lautet dann (vollständiger Rechenweg wird hier nicht gezeigt):
$$c=r_q^2\left[\cos\left(\tfrac13\arccos\left(2\left(\frac{r_m}{r_q}\right)^6-1\right)\right)-\tfrac12\right]$$Um eine symmetrische Formel für die Dreiecksfläche zu finden, benutzen wir folgenden Zusammenhang:
$$A_{ABC}=\tfrac12(A_{BDCA}+A_{CDAB}+A_{ADBC})$$$$A_{ABC}=\tfrac14\left(r_1(p_1+q_1)+r_2(p_2+q_2)+r_3(p_3+q_3)\right)$$$$A_{ABC}=\tfrac14\left(r_1\sqrt{r_2^2-x_1^2}+r_1\sqrt{r_3^2-x_1^2}+r_2\sqrt{r_1^2-x_2^2}+r_2\sqrt{r_3^2-x_2^2}+r_3\sqrt{r_1^2-x_3^2}+r_3\sqrt{r_2^2-x_3^2}\right)$$$$A_{ABC}=\tfrac14\left(\sqrt{r_1^2r_2^2-c^2}+\sqrt{r_1^2r_3^2-c^2}+\sqrt{r_1^2r_2^2-c^2}+\sqrt{r_2^2r_3^2-c^2}+\sqrt{r_1^2r_3^2-c^2}+\sqrt{r_2^2r_3^2-c^2}\right)$$$$A_{ABC}=\tfrac12\left(\sqrt{r_1^2r_2^2-c^2}+\sqrt{r_1^2r_3^2-c^2}+\sqrt{r_2^2r_3^2-c^2}\right)$$$$A_{ABC}=\tfrac12\sum_{i=1}^3\sqrt{\left(\frac{r_m^3}{r_i}\right)^2-c^2}$$
Ciao,
Thomas
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Nuramon
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Mitteilungen: 3782
| Beitrag No.1309, eingetragen 2019-07-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Zu 321233A:
\quoteon(2019-07-15 09:10 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1258)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39826_Aufgabe_321233A.png
\quoteoff
Kann es sein, dass $-1$ auch nicht im Definitionsbereich von $f$ liegen soll? Die Funktionalgleichung (1) macht nämlich überhaupt keine Aussage über $f(-1)$: $x-\frac 1x = -1$ ist ausgeschlossen, da dann $x^2+x-1 = 0$ wäre. Wenn $\frac{x^2+x-1}{x^2-x-1} = -1$ oder $\frac{x^2-x-1}{x^2+x-1} = -1$ wäre, dann wäre $x= \pm 1$, was man auch nicht einsetzen darf, weil dann $x-\frac 1x=0$ ist, aber $0$ nicht im Definitionsbereich von $f$ liegt.
Hier meine Lösung. Da ich mich unzählige Male bei irgendwelchen Vorzeichen vertan habe, habe ich es etwas gruppentheoretisch aufgeschrieben. Im Wesentlich geht es darum ein $8\times 8$- lineares Gleichungssystem zu lösen. Wer will kann es auch wieder in einen ähnlichen Beweis wie bei MontyPythagoras übersetzen. Ich habe zwar glaube ich alle Fälle beachtet, aber so wirklich schön ist das Endergebnis trotzdem nicht. Eine Verbesserung wäre es die Menge $H$ expliziter anzugeben.
Man zeigt leicht, dass die Abbildung $\IR_{>0}\to \IR, x\mapsto x-\frac 1x$ surjektiv ist.
Es gibt daher für jedes $z\in \IR\setminus\{0,\pm 1\}$ ein $x\not= 0$ mit $z= x-\frac 1x$. Es ist dann auch $x^2-x-1 = x(z-1) \not= 0$ und $x^2+x-1 = x(z+1) \not = 0$.
Aus (1) folgt daher, dass für alle $z\in \IR\setminus\{0,\pm 1\}$ gilt:
\[5f(z) = 2 f\left(\frac{z+1}{z-1}\right) - 3f\left(\frac{z-1}{z+1}\right).\]
Wir betrachten die Abbildungen $\varepsilon: \IR\setminus\{0,\pm 1\} \to \IR\setminus\{0,\pm 1\}, z\mapsto -z$ und $h: \IR\setminus\{0,\pm 1\}\to \IR\setminus\{0,\pm 1\}, z\mapsto \frac{z-1}{z+1}$.
Es gilt dann $h\circ \varepsilon (z) = \frac{z+1}{z-1}$.
Es gilt $h\circ h(z) = -\frac 1z$. Damit prüft man leicht die folgenden Rechenregeln:
\[h\circ h\circ h\circ h = \id_{\IR\setminus\{0,\pm 1\}}, \quad
\varepsilon \circ \varepsilon = \id_{\IR\setminus\{0,\pm 1\}}, \quad \varepsilon \circ h = h\circ h \circ h \circ \varepsilon.
\]
Im Folgenden schreiben wir für Abbildungen $u,v$, die sich miteinander verknüpfen lassen, kurz $uv$ anstatt $u\circ v$. (Mit $uv$ ist also niemals die Produktabbildung $u\cdot v$ gemeint.) Außerdem soll $u^n$ für $n\in \IN$ definiert sein als die $n$-fache Hintereinanderausführung $u\circ u \circ \ldots \circ u$.
Es sei $H:= \{h, h^2, h^3, h^4= \id\}$, $\varepsilon H := \{h\varepsilon, h^2\varepsilon, h^3\varepsilon, \varepsilon\} = \{\varepsilon h^3, \varepsilon h^2, \varepsilon h, \varepsilon\}$ und $G:= H\cup \varepsilon H$.
Wir haben oben gezeigt, dass
\[5f =2 fh\varepsilon - 3fh.\]
Daher gilt auch für jedes $g\in G$:
\[5fg + 3fhg=2 fh\varepsilon g . \quad (E(g))\]
Behauptung 1 : Es gilt $f+fh+fh^2+fh^3 = 0$.
Beweis: Indem wir für jedes $g\in H$ die Gleichungen $E(g)$ addieren, erhalten wir
\[ 5(f+fh+fh^2+fh^3)+3(fh+ fh^2+fh^3+f) = 2 (f\varepsilon h^3 + f\varepsilon + f\varepsilon h +f\varepsilon h^2).\]
Wenn wir andererseits die Gleichung $E(g)$ für alle $g\in \varepsilon H$ aufaddieren, erhalten wir
\[2(fh+fh^2+fh^3+f) = 5(f\varepsilon + f\varepsilon h +f \varepsilon h^2 + f\varepsilon h^3) + 3(f\varepsilon h^3 + f\varepsilon + f\varepsilon h + f\varepsilon h^2).\]
Setzen wir diese Gleichungen zusammen, bekommen wir
\[f+fh+fh^2+fh^3 = \frac 14 (f\varepsilon +f\varepsilon h+ f\varepsilon h^2 + f\varepsilon h^3) = \frac 14\cdot \frac 14 (f+fh+fh^2+fh^3 ),\]
woraus Behauptung 1 folgt.
Behauptung 2 : Es gilt $f+fh^2 = f\varepsilon h^3 + f\varepsilon h$.
Beweis: Addition von $E(\id)$ und $E(h^2)$ liefert
\[5(f+fh^2) + 3(fh+fh^3) = 2(f\varepsilon h^3 + f\varepsilon h).\]
Nach Behauptung 1 ist die linke Seite gleich $2(f+fh^2)$ und es folgt Behauptung 2.
Behauptung 3 : Es gilt $f-fh^2 = f\varepsilon h^3 - f\varepsilon h$.
Beweis: Betrachtung von $E(\id) - E(h) - E(h^2) + E(h^3)$ liefert:
\[8f-2fh-8fh^2+2fh^3 = 2(f\varepsilon h^3-f\varepsilon -f\varepsilon h + f\varepsilon h^2 ).\]
Betrachtung von $E(\varepsilon) -E(\varepsilon h) - E(\varepsilon h^2) + E(\varepsilon h^3)$ liefert
\[2(f+fh-fh^2-fh^3) = 8f\varepsilon h^3 + 2 f\varepsilon - 8 f\varepsilon h -2f \varepsilon h^2.\]
Addition dieser Gleichungen und anschließende Division durch 10 liefert
\[f-fh^2 = f\varepsilon h^3 - f\varepsilon h,\]
also Behauptung 3.
Behauptung 4 : Es gilt $f=f\varepsilon h^3 = -fh$.
Beweis: Addiert man die Gleichungen aus Behauptung 2 und Behauptung 3, erhält man $f = f\varepsilon h^3 = fh\varepsilon$.
Damit vereinfacht sich $E(\id)$ zu $f= -fh$.
Mit Behauptung 4 können wir für jedes $g\in G$ und jedes $z\in\IR\setminus\{0,\pm 1\}$ den Funktionswert $f(g(z))$ berechnen, sofern wir $f(z)$ kennen:
\[\begin{align*}
f(z)&= -fh(z) = fh^2(z) = -fh^3(z)\\
&= f\varepsilon h^3 (z) = -f\varepsilon(z) = f\varepsilon h(z) =-f\varepsilon h^2(z)
\end{align*}\]
Für $z\in \IR\setminus\{0,\pm 1\}$ definieren wir die Bahn $Gz$ als die Menge $Gz:= \{g(z)\mid g\in G\}$.
Behauptung 5 : Für $z_1,z_2\in \IR\setminus\{0,\pm 1\}$ gilt entweder $Gz_1 = Gz_2$ oder es gilt $Gz_1 \cap Gz_2 = \emptyset$.
Beweis: Angenommen es ist $z_3 \in Gz_1 \cap Gz_2$. Dann gibt es $g_1, g_2\in G$ mit $g_1(z_1) =z_3 = g_2(z_2)$. Damit folgt für jedes $g\in G$, dass $g(z_1) = (gg_1^{-1})g_1( z_1) = (gg_1^{-1}g_2)(z_2) \in Gz_2$. Also ist $Gz_1 \subseteq Gz_2$. Die andere Inklusion folgt analog.
Behauptung 6 : Für $z \in \IR\setminus\{0,\pm 1, \pm 1 \pm \sqrt 2\}$ hat die Bahn $Gz$ genau $|G|= 8$ Elemente. Für $z \in \{\pm 1\pm \sqrt 2\}$ gilt
\[Gz = \{\pm 1\pm \sqrt 2\} = \{1+\sqrt 2,~ h(1+\sqrt 2),~ h^2(1+\sqrt 2) ,~ h^3(1+\sqrt 2)\}.\]
Beweis: Wir berechnen zunächst alle Fixpunkte von Elementen von $g$.
Sei dazu $z\in \IR\setminus\{0,\pm 1\}$.
- Wäre $h(z) = z$, so wäre $\frac{z-1}{z+1}= z$, also $z^2= -1$. Also hat $h$ keine Fixpunkte.
- Wegen $h^2(z)= -\frac 1z \not= z$ hat auch $h^2$ keine Fixpunkte.
- Wäre $h^3(z) = z$, so wäre auch $z = h^4(z) = h(z)$, was wie gerade gezeigt, unmöglich ist.
- $\varepsilon(z) = -z$ hat offenbar keine Fixpunkte.
- Es gilt $h\varepsilon(z) = z$, genau dann, wenn $z= \frac{-z-1}{-z+1}$, also $z^2-2z-1=0$, also $z = 1\pm \sqrt 2$.
- Wegen $h^2\varepsilon (z) = \frac 1z \not= z$, hat $h^2\varepsilon$ keine Fixpunkte.
- Es gilt $h^3\varepsilon(z)=z$ genau dann, wenn $\varepsilon(z) = h^4\varepsilon(z) = h(z) = h\varepsilon (\varepsilon(z))$, also genau dann, wenn $\varepsilon(z)$ ein Fixpunkt von $h\varepsilon $ ist. Das ist genau dann der Fall, wenn $z = -1 \pm \sqrt 2$ ist.
Sei nun $z\in \IR\setminus\{0,\pm 1, \pm 1 \pm \sqrt 2\}$. Dann ist $z$ ein Fixpunkt von $g\in G$ genau dann, wenn $g=\id_{\IR\setminus\{0,\pm 1\}}$ ist.
Angenommen es gäbe $g_1, g_2\in G$ mit $g_1(z) = g_2(z)$. Dann wäre $z$ ein Fixpunkt von $g_1^{-1}g_2 \in G$, also $g_1 = g_2$. Daraus folgt der erste Teil der Behauptung.
Der andere Teil ist leicht nachzurechnen.
Wir haben gezeigt, dass $\IR\setminus \{0,\pm 1, \pm 1\pm \sqrt 2\}$ die disjunkte Vereinigung von Bahnen der Form $Gz$ mit $z\in \IR\setminus \{0,\pm 1, \pm 1\pm \sqrt 2\}$ ist.
Indem wir aus jeder dieser Bahnen einen Repräsentanten wählen, erhalten wir wegen Behauptung 6 eine Menge $M \subset \IR\setminus \{0,\pm 1, \pm 1\pm \sqrt 2\}$ mit der Eigenschaft, dass
\[\IR\setminus \{0,\pm 1, \pm 1\pm \sqrt 2\} = \bigcup_{g\in G}g(M)\]
und $\forall g_1,g_2\in G: g_1(M) \cap g_2(M) \not= \emptyset \iff g_1 = g_2$.
Es sei $p: M\cup\{1+\sqrt 2\} \to \IR$ eine beliebige Funktion. Falls dann $f(m) = p(m)$ für alle $m \in M\cup\{1+\sqrt 2\}$ gilt, so muss wegen Behauptung 4 gelten:
\[f(z) = \begin{cases} p(g^{-1}z), &\text{falls es ein } g\in \{ \id, h\varepsilon, h^2, h^3\varepsilon\} \text{ gibt mit } z \in g(M) , \\
-p(g^{-1}z), &\text{falls es ein } g\in \{ \varepsilon, h, h^2\varepsilon, h^3\} \text{ gibt mit } z \in g(M),\\
p(1+\sqrt 2), &\text{falls } z \in \{1+\sqrt 2,~ h^2(1+\sqrt 2)\}\\
-p(1+\sqrt 2), &\text{falls } z \in \{h(1+\sqrt 2),~ h^3(1+\sqrt 2)\}
\end{cases}\]
Wenn wir umgekehrt $p$ gegeben haben und $f$ durch obige Gleichung definieren, dann behaupten wir, dass $f$ die geforderte Funktionalgleichung (1) erfüllt. Zunächst sei dazu angemerkt, dass ein so definiertes $f$ wegen Behauptung 6 wohldefiniert ist.
Wir wollen zeigen, dass (1) erfüllt ist. Sei dazu $x\in \IR$, $x\not= 0$, $x\not= \pm 1$, $x^2-x-1\not= 0$ und $x^2+x-1 \not= 0$.
Wir definieren $z:= x-\frac 1x$. Es gilt dann $z\not= \pm 1$. Wir müssen prüfen, ob
\[5f(z) - 2fh\varepsilon(z) +3 fh(z) = 0\]
gilt.
1. Fall: Es gilt $z \in \{1+\sqrt 2,~ h^2(1+\sqrt 2)\}$.
Dann ist $z$ ein Fixpunkt von $h\varepsilon$, also gilt auch $h\varepsilon(z) =z\in \{1+\sqrt 2,~ h^2(1+\sqrt 2)\}$.
Außerdem ist $h(z) \in \{h(1+\sqrt 2),~ h^3(1+\sqrt 2)\}$.
Also gilt per Definition von $f$
\[5f(z) - 2fh\varepsilon(z) +3 fh(z) = 5p(1+\sqrt 2) - 2p(1+\sqrt 2) +(-3p(1+\sqrt 2)) = 0.\]
2. Fall: Es gilt $z \in \{h(1+\sqrt 2),~ h^3(1+\sqrt 2)\}$.
Dann ist $z$ ein Fixpunkt von $h^3\varepsilon = \varepsilon h$, d.h. $z= \varepsilon h(z)$. Somit ist $h\varepsilon(z) = h^2(z) \in \{h^3(1+\sqrt 2),~ h(1+\sqrt 2)\}$.
Außerdem ist $h(z) \in \{h^2(1+\sqrt 2),~ 1+\sqrt 2\}$. Daher gilt
\[5f(z) - 2fh\varepsilon(z) +3 fh(z) = (-5p(1+\sqrt 2) -2 (-p(1+\sqrt 2))+ 3 (p(1+\sqrt 2))= 0.\]
3. Fall: Es gibt ein $m\in M$ und ein $g\in \{ \id, h\varepsilon, h^2, h^3\varepsilon\}$ mit $z = g(m)$.
Dann ist
\[h\varepsilon (z) = h\varepsilon g (m)\in \{h\varepsilon(m),~ h\varepsilon h\varepsilon (m),~ h\varepsilon h^2(m),~ h\varepsilon h^3\varepsilon(m) \} = \{h\varepsilon(m),~ \id(m),~ h^3\varepsilon(m),~ h^2\varepsilon(m)\}.\]
Außerdem ist
\[h(z) = hg(m) \in \{h(m), h^2\varepsilon(m), h^3(m), \varepsilon(m)\}.\]
Also gilt
\[5f(z) - 2fh\varepsilon(z) +3 fh(z) = 5 p(m) -2 p(m) +3(-p(m)) = 0.\]
4. Fall: Es gibt ein $m\in M$ und ein $g\in \{ \varepsilon, h, h^2\varepsilon, h^3\}$ mit $z = g(m)$.
Dann ist
\[h\varepsilon (z) = h\varepsilon g(m) \in \{h(m), \varepsilon(m), h^3(m), h^2\varepsilon(m)\}\]
und
\[h(z) = hg(m)\in \{h\varepsilon(m), h^2(m), h^3(m), \id(m)\}.\]
Also gilt
\[5f(z) - 2fh\varepsilon(z) +3 fh(z) = 5(-p(m))-2(-p(m)) +3 p(m)=0.\]
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1304 begonnen.]\(\endgroup\)
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| Beitrag No.1310, eingetragen 2019-07-19
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Hallo
\quoteon
Aufgabe 6 - 151036
Vorbemerkungen: Ist $x$ eine reelle Zahl, so wird mit $[x]$ die größte ganze Zahl bezeichnet, die nicht größer als $x$ ist: $[x]\leq x <[x] + 1$.Beispielsweise ist $[\pi] = 3, [-4,2] =-5, [5] = 5$.
Eine Funktion $f$, die für alle reellen $x$ erklärt ist, heißt periodisch, wenn es eine Zahl $p >0$ gibt, so dass für alle $x$ gilt: $f(x+p) =f(x)$. Eine solche Zahl $p$ heißt eine positive Periode von $ f $. Gibt es eine kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft, so heißt sie die kleinste positive Periode von $f$. Beispielsweise ist $f(x) = 1$ eine periodische Funktion $f$, die keine kleinste positive Periode besitzt, während z.B. $f(x) = \sin x$ die kleinste positive Periode $2\pi$ besitzt.
a) Beweisen Sie, dass durch $y= (-1)^{[x]}$ eine für alle reellen Zahlen $x$ erklärte Funktion $f$ definiert ist!
b) Beweisen Sie, dass die unter a) erklärte Funktion $f$ periodisch ist!
c) Weisen Sie nach, dass diese Funktion $f$ eine kleinste positive Periode besitzt, und ermitteln Sie diese!
d) Stellen Sie $f$ graphisch dar!
\quoteoff
a) Die Funktion $g\colon \mathbb{Z}\to\{-1,1\},\ k\mapsto (-1)^k$ ist durch
\[g(k)=\begin{cases}1,&2\mid k\\-1,&2\nmid k\end{cases}\]
erklärt. Weiter ist die Funktion $h\colon \mathbb{R}\to\mathbb{Z},\ x\mapsto [x]$ wie in der Aufgabenstellung
erklärt. Da der Defintionsbereich von $g$ eine Teilmenge des Wertebereichs von $h$ ist, ist auch deren Komposition $f=g\circ h$ erklärt.
b) Offenbar gilt für jede reelle Zahl $x$ und jede ganze Zahl $k$
\[[x+k]=[x]+k,\]
da $[x]+k$ ganzzahlig ist und $[x]+k \leq x+k < [x]+k+1$ gilt.
Insofern folgt für alle reellen Zahlen $x$
\[f(x+2)=(-1)^{[x+2]}=f(x+2)=(-1)^{[x]+2}=(-1)^{[x]}\cdot (-1)^2=(-1)^{[x]}=f(x).\]
Somit ist $2$ eine Periode von $f$.
c) Angenommen, es gäbe eine reelle Zahl $p$ mit $0
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| Beitrag No.1311, eingetragen 2019-07-19
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\quoteon(2019-07-18 22:30 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1308)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39826_Aufgabe_321236.png
\showon
Hier noch mal die Aufhabe mit den Dreieckspunkten auf konzentrischen Kreisen.
Steffen, bitte korrigiere die Aufgabenstellung noch dahingehend, dass $r_2=3\sqrt2$ ist.
Für die Skizze kann man hier das Geogebra-Applet ansehen und auch "herumspielen" und sehen, wie sich die Fläche verändert, wenn man die Punkte auf den Kreisen verschiebt:
https://www.geogebra.org/classic/rznmvdjw
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39826_Aufgabe_321236.png
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39826_1_Aufgabe_321236_Skizze_neu.png
Der Punkt $D$ sei der Mittelpunkt der konzentrischen Kreise. Es ist gleichzeitig der Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks $ABC$. Das heißt, dass wenn man Geraden durch den Mittelpunkt $D$ und die Eckpunkte legt, diese Geraden die Dreiecksseiten unter einem rechten Winkel schneiden. Warum das so sein muss, kann man sich relativ leicht klar machen:
Betrachtet man zwei Punkte als fix, z.B. $A$ und $B$, dann ist die Fläche des Dreiecks gleich die Grundseite $AB$ mal den Abstand des Punktes $C$ von der Seite $AB$. Wenn der Punkt $C$ nur um $D$ im Abstand $r_3$ rotieren kann, ist der Abstand des Punktes $C$ von $AB$ genau dann maximal (und damit auch die Fläche), wenn die Verbindungslinie $CD$ senkrecht steht auf $AB$. Das gleiche gilt sinngemäß auch für die anderen Punkte.
Sei nun $x_3$ die Verlängerung der Strecke $CD$ bis zur Strecke $AB$. Dann gilt:
$$(1)\qquad x_3^2+p_3^2=r_1^2$$$$(2)\qquad x_3^2+q_3^2=r_2^2$$Die zu maximierende Fläche des Dreiecks ist
$$(3)\qquad A=\tfrac12(x_3+r_3)(p_3+q_3)$$Löst man (1) und (2) nach $p_3$ und $q_3$ auf und setzt in (3) ein, dann folgt:
$$(4)\qquad A(x)=\tfrac12(x_3+r_3)\left(\sqrt{r_1^2-x_3^2}+\sqrt{r_2^2-x_3^2}\right)$$Nach $x_3$ ableiten und null setzen, um das Maximum zu bestimmen (den Faktor $\tfrac12$ können wir gleich eliminieren durch das Nullsetzen):
$$0=\left(\sqrt{r_1^2-x_3^2}+\sqrt{r_2^2-x_3^2}\right)+(x_3+r_3)\left(\frac{-x_3}{\sqrt{r_1^2-x_3^2}}+\frac{-x_3}{\sqrt{r_2^2-x_3^2}}\right)$$$$0=\left(\sqrt{r_1^2-x_3^2}+\sqrt{r_2^2-x_3^2}\right)-x_3(x_3+r_3)\frac{\sqrt{r_1^2-x_3^2}+\sqrt{r_2^2-x_3^2}}{\sqrt{r_1^2-x_3^2}\cdot\sqrt{r_2^2-x_3^2}}$$$$0=1-\frac{x_3(x_3+r_3)}{\sqrt{r_1^2-x_3^2}\cdot\sqrt{r_2^2-x_3^2}}$$$$x_3(x_3+r_3)=\sqrt{r_1^2-x_3^2}\cdot\sqrt{r_2^2-x_3^2}$$$$x_3^4+2r_3x_3^3+r_3^2x_3^2=(r_1^2-x_3^2)(r_2^2-x_3^2)$$$$x_3^4+2r_3x_3^3+r_3^2x_3^2=x_3^4-(r_1^2+r_2^2)x_3^2+r_1^2r_2^2$$$$2r_3x_3^3+(r_1^2+r_2^2+r_3^2)x_3^2-r_1^2r_2^2=0$$
Damit wären wir bei einer kubischen Gleichung für $x_3$. Wir setzen an dieser Stelle die Zahlenwerte ein, und erhalten:
$$2x_3^3+44x_3^2-450=0$$$$x_3^3+22x_3^2-225=0$$Man kann und muss die Lösung $x_3=3$ erraten und kann die Gleichung dann faktorisieren:
$$(x_3-3)(x_3^2+25x_3+75)=0$$Die weiteren Lösungen des quadratischen Terms kommen nicht in Frage, weil sie beide negativ sind. Mit $x_3=3$ erhalten wir außerdem
$$p_3=\sqrt{25-9}=4$$und
$$q_3=\sqrt{18-9}=3$$Damit erhalten wir als maximale Dreiecksfläche
$$A_{max}=\tfrac12(3+1)(3+4)=14$$
Zusatz zur allgemeinen Lösung:
Multipliziert man obige allgemeine kubische Gleichung mit $r_3^2$, erhält man:
$$2r_3^3x_3^3+(r_1^2+r_2^2+r_3^2)r_3^2x_3^2-r_1^2r_2^2r_3^2=0$$Setzt man nun $x_3r_3=c$, dann folgt:
$$2c^3+(r_1^2+r_2^2+r_3^2)c^2-r_1^2r_2^2r_3^2=0$$Wie man erkennt, ist diese Gleichung symmetrisch bezüglich $r_1$, $r_2$ und $r_3$. Daher ist $c$ eine Invariante, und es gilt
$$x_1r_1=x_2r_2=x_3r_3=c$$Die Lösung der kubischen Gleichung führt auf den Casus irreducibilis, so dass man $c$ nicht als Summe von Wurzeln und dritten Wurzeln darstellen kann, sondern nur mit dem Kosinus von Winkeldritteln. Aufgrund der bekannten Tatsache, dass die Dreiteilung eines Winkels nicht mit elementaren Konstruktionsmitteln durchführbar ist, ist auch das Dreieck mit maximalem Flächeninhalt nicht elementar konstruierbar. Setzt man
$$r_q=\sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2+r_3^2}3}$$$$r_m=(r_1r_2r_3)^\tfrac13$$als quadratischen und geometrischen Mittelwert der Radien, dann lautet die kubischen Gleichung für die Invariante $c$:
$$2c^3+3r_q^2c^2-r_m^6=0$$Die Lösung der kubischen Gleichung lautet dann (vollständiger Rechenweg wird hier nicht gezeigt):
$$c=r_q^2\left[\cos\left(\tfrac13\arccos\left(2\left(\frac{r_m}{r_q}\right)^6-1\right)\right)-\tfrac12\right]$$Um eine symmetrische Formel für die Dreiecksfläche zu finden, benutzen wir folgenden Zusammenhang:
$$A_{ABC}=\tfrac12(A_{BDCA}+A_{CDAB}+A_{ADBC})$$$$A_{ABC}=\tfrac14\left(r_1(p_1+q_1)+r_2(p_2+q_2)+r_3(p_3+q_3)\right)$$$$A_{ABC}=\tfrac14\left(r_1\sqrt{r_2^2-x_1^2}+r_1\sqrt{r_3^2-x_1^2}+r_2\sqrt{r_1^2-x_2^2}+r_2\sqrt{r_3^2-x_2^2}+r_3\sqrt{r_1^2-x_3^2}+r_3\sqrt{r_2^2-x_3^2}\right)$$$$A_{ABC}=\tfrac14\left(\sqrt{r_1^2r_2^2-c^2}+\sqrt{r_1^2r_3^2-c^2}+\sqrt{r_1^2r_2^2-c^2}+\sqrt{r_2^2r_3^2-c^2}+\sqrt{r_1^2r_3^2-c^2}+\sqrt{r_2^2r_3^2-c^2}\right)$$$$A_{ABC}=\tfrac12\left(\sqrt{r_1^2r_2^2-c^2}+\sqrt{r_1^2r_3^2-c^2}+\sqrt{r_2^2r_3^2-c^2}\right)$$$$A_{ABC}=\tfrac12\sum_{i=1}^3\sqrt{\left(\frac{r_m^3}{r_i}\right)^2-c^2}$$
Ciao,
Thomas
\showoff
\quoteoff
Also was war jetzt da genau der große Unterschied, warum wir das alle falsch bzw. anders gemacht haben?
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Nuramon
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| Beitrag No.1312, eingetragen 2019-07-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
\quoteon(2019-07-19 11:30 - HyperPlot in Beitrag No. 1311)
Also was war jetzt da genau der große Unterschied, warum wir das alle falsch bzw. anders gemacht haben?
\quoteoff
Der Radius $r_2$ ist nicht $3$, sondern $3\sqrt 2$. Das führt zu einem Polynom, das eine ganzzahlige Nullstelle hat.\(\endgroup\)
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OlgaBarati
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| Beitrag No.1313, eingetragen 2019-07-19
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\quoteon
Aufgabe 3 - 231243
Vier Mathematiker \(T,\; D,\; S,\; P\) einigen sich auf ein Ratespiel nach folgenden Regeln:
\(T\) denkt sich ein Tripel \((x, y, z)\) ganzer Zahlen mit \(1\leq x\leq y\leq z\) und \(x+y+z\leq10\).
Dann soll er \(D\) die Zahl \(d = y -x\), \(S\) die Zahl \(s = x+y +z\) und \(P\) die Zahl \(p = xyz\) mitteilen, jeweils so, dass die beiden anderen den Wert der mitgeteilten Zahl nicht erfahren. Danach sollen sich \(D\), \(S\) und \(P\) über ihre Informationen unterhalten.
Untersuchen Sie, ob es ein Tripel \((x, y, z)\) gibt, mit dem bei einer Durchführung dieses Spiels (nach Mitteilung von \(d\), \(s\) und \(p\)) das folgende Gespräch stattfinden kann:
\(P\): ”Ich kann das Tripel \((x, y, z)\) nicht eindeutig ermitteln.”
\(S\): ”Das wusste ich schon, bevor Sie es ausgesprochen haben.”
\(P\): ”Jetzt kann ich das Tripel ermitteln.”
\(D\): ”Ich auch.”
\(S\): ”Ich jetzt auch.”
Wenn es ein solches Tripel gibt, stellen Sie fest, ob es durch dieses Gespräch eindeutig bestimmt ist! Ist dies der Fall, so geben Sie dieses Tripel an!
\quoteoff
\showon Lösungsversuch:
Aufgrund der Bedingungen \(x+y+z\leq10\) und \(1\leq x\leq y\leq z\) existiert für \(z_{max}=8\) nur das Tripel \((z=8: x=1,\; y=1)\). Mit abnehmenden \(z\) addieren sich die in der Tabelle gezeigten Kombinationen hinzu.
\showon Datentabelle
$
\begin{tabular}{d*{5}{|d}}
z & y & x & y-x & z+y+x & zyx \\
8 & 1 & 1 & 0 & 10 & 8 \\
7 & 1 & 1 & 0 & 9 & 7 \\
7 & 2 & 1 & 1 & 10 & 14 \\
6 & 1 & 1 & 0 & 8 & 6 \\
6 & 2 & 1 & 1 & 9 & 12 \\
6 & 2 & 2 & 0 & 10 & 24 \\
6 & 3 & 1 & 2 & 10 & 18 \\
5 & 1 & 1 & 0 & 7 & 5 \\
5 & 2 & 1 & 1 & 8 & 10 \\
5 & 2 & 2 & 0 & 9 & 20 \\
5 & 3 & 1 & 2 & 9 & 15 \\
5 & 3 & 2 & 1 & 10 & 30 \\
5 & 4 & 1 & 3 & 10 & 20 \\
4 & 1 & 1 & 0 & 6 & 4 \\
4 & 2 & 1 & 1 & 7 & 8 \\
4 & 2 & 2 & 0 & 8 & 16 \\
4 & 3 & 1 & 2 & 8 & 12 \\
4 & 3 & 2 & 1 & 9 & 24 \\
4 & 3 & 3 & 0 & 10 & 36 \\
4 & 4 & 1 & 3 & 9 & 16 \\
4 & 4 & 2 & 2 & 10 & 32 \\
3 & 1 & 1 & 0 & 5 & 3 \\
3 & 2 & 1 & 1 & 6 & 6 \\
3 & 2 & 2 & 0 & 7 & 12 \\
3 & 3 & 1 & 2 & 7 & 9 \\
3 & 3 & 2 & 1 & 8 & 18 \\
3 & 3 & 3 & 0 & 9 & 27 \\
2 & 1 & 1 & 0 & 4 & 2 \\
2 & 2 & 1 & 1 & 5 & 4 \\
2 & 2 & 2 & 0 & 6 & 8 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 3 & 1 \\
\end{tabular}
$
\showoff
Der Mathematiker \(D\) kann von Mathematiker \(T\) für \(d=y-x\) eine der Differenzen \(\lbrace0,1,2,3\rbrace\) genannt bekommen,
Mathematiker \(S\) mit \(s=x+y+z\) eine der Summen \(\lbrace 3,4,5,6,7,8,9,10\rbrace\)
und Mathematiker \(P\) mit \(p=xyz\) eins der Produkte \(\lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,15,16,18,20,24,27,30,32,36\rbrace\).
Wenn \(P\) das Tripel nicht eindeutig ermitteln kann, muss der Zahlenwert von \(p(xyz)\) mehrfach vorkommen und das gilt für die Produkte \(\lbrace 4,6,8,12,18,20,24\rbrace\). Wenn \(S\) das schon vor der 1. Aussage von \(P\) weiß, muss \(S\) dieses an \(s(xyz)\) erkannt haben können. Da \(s=5\) die einzige Zahl ist, die unter denen, die mehrfach vorhandene Produkte \(p(xyz)\) haben, nur einmal vorkommt und mit \(s=6\) gemeinsam ein \(p=4\) hat, hat \(S\) von \(T\) die Zahl \(s=6\) erhalten. So weiß \(S\) bereits vor der 1. Aussage von \(P\), dass \(P\) von \(T\) ein mehrmals vorhandenes Produkt \(p=4,\; 6,\;oder\; 8\) genannt bekommen hat und damit das Tripel \((x,\;y,\;z)\) nicht eindeutig bestimmen kann. Nach der 1. Aussage von \(S\) weiß \(P\) mit dem von \(T\) erhaltenen \(p=4\) dass \(S\) von \(T\) \(s=6\) erhalten haben muss da \(S\) mit \(s=5\) die Aussage nicht hätte treffen können (für \(s=5\) wäre auch ein für \(P\) eindeutiges \(p=3\) möglich gewesen). So ist das Tripel \((x,\;y,\;z)=(1,\;1,\;4)\) damit für \(P\) ermittelbar.
Für Mathematiker \(D\) ergibt sich daraus, von \(T\) ein \(d=0\) erhalten zu haben. Nun weiß \(D\) bedingt durch die drei Aussagen von \(P\) und \(S\) dass die Häufigkeit \(n\) der gesuchten Summe \(2\leq n(s)\leq 3\) sein muss, denn unter abweichenden Bedingungen wären die drei Aussagen so nicht richtig. Es bleiben damit für \(D\) nur die Summen \(s=5,\;s=6\) und mit \(d=0\) ist \(s=6\) bestimmt. Mit \(s=6\) sind jedoch zwei Tripel \((x,\;y,\;z)=(1,\;1,\;4)\) mit \(p=4\) und \((x,\;y,\;z)=(2,\;2,\;2)\) mit \(p=8\) möglich. Da die Häufigkeit von \(p=8\) größer zwei ist und somit das Tripel für \(P\) nicht ermittelbar wäre kann \(D\) das ausschließen und das Tripel ermitteln. Auch Mathematiker \(S\) kann von seinen drei Möglichkeiten \(p=4,\; 6,\; 8,\) das Produkt \(p=8\) mit der gleichen Überlegung ausschließen. Und \(D\) muss ein \(d=0\) erhalten haben, denn mit einem \(d=1\) kann \(D\) unter Erfüllung der o.g. Bedingungen / Erläuterungen kein Tripel bestimmen. Damit kann nun auch \(S\) das Tripel ermitteln.
\showoff
Kann das stimmen ?
LG Olga
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Nuramon
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| Beitrag No.1314, eingetragen 2019-07-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
321235:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/21445_321235.png
\showon Lösung
Es sei $k\in \IN$ mit $1\leq k \leq 2n$. Wenn $a\geq 1$ ist, dann gilt $a^k\leq a^{2n+1}$ und $1\geq a^{-k}$. Wenn $a\leq 1$ ist, dann gilt $a^k \geq a^{2n+1}$ und $1\leq a^{-k}$.
In jedem Fall sind die Folgen $a^k, a^{2n+1}$ bzw. $1, a^{-k}$ also unterschiedlich geordnet. Demnach gilt nach Umordnungsungleichung
\[\begin{align*}
a^k + a^{2n+1-k} &= a^k\cdot 1 + a^{2n+1}\cdot a^{-k} \\
&\leq a^k\cdot a^{-k}+ a^{2n+1}\cdot 1 \\
&= 1+a^{2n+1}.
\end{align*}\]
Also gilt
\[\begin{align*}
a+a^2+\ldots + a^{2n} &= (a+a^{2n}) + (a^2+a^{2n-1}) +\ldots + (a^n+a^{n+1})\\
&\leq n\cdot(1+a^{2n+1}).
\end{align*}\]
Wir können also $c=n$ wählen. Für $a=1$ gilt sogar Gleichheit. Daher ist $c=n$ auch das gesuchte Minimum.
\showoff
\(\endgroup\)
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ochen
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| Beitrag No.1315, eingetragen 2019-07-19
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Hallo
\quoteon
Aufgabe 3 - 311023
Man beweise, dass sich in einer Ebene 100 verschiedene Geraden so legen lassen, dass die Anzahl aller derjenigen Punkte, die Schnittpunkt von je mindestens zwei der 100 Geraden sind, genau 1991 beträgt.
\quoteoff
Seien $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$ beliebige Punkte in einer Ebene.
Wir legen 3 Geraden durch $P_1$, 3 Geraden durch $P_2$, 3 Geraden durch $P_3$, 15 Geraden durch $P_4$ und 76 Geraden durch $P_5$.
Weiter fordern wir, dass
-jede Gerade sich mit jeder anderen schneidet.
-keine der Geraden durch zwei der Punkte $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$ verläuft.
-in allen Punkte mit Ausnahme von $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$ sich höchstens zwei Geraden schneiden.
Um dies zu gewährleisten, fügen wir die Geraden nacheinander in den Punkten $P_i$ hinzu und achten darauf, dass die hinzugefügte Gerade nicht parallel zu einer der vorherigen ist und dass sie durch keinen der Schnittpunkte der vorigen Geraden (bis auf $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$) geht.
Wir zählen nun die Geraden und die Anzahl der Schnittpunkte.
Es sind insgesamt $3+3+3+15+76=100$ Geraden. Wir zählen nun die Punkte, in denen sich genau zwei Geraden schneiden.
Das sind
\[\frac{1}{2}((3+3+3+15+76)^2-(3^2+3^2+3^2+15^2+76^2))=1986.\]
Zusätzlich schneiden sich noch Geraden in den Punkten $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$.
Die Anzahl aller Punkte, in denen sich mindestens zwei Geraden schneiden, beträgt also 1991.
Wir nutzen hier, dass
\[\sum_{1\leq i
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Nuramon
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| Beitrag No.1316, eingetragen 2019-07-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
321243:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/21445_321243.png
In der Aufgabenstellung ist ein Tippfehler. Es müsste $1\leq i < j \leq 1993$ heißen.
\showon Lösung
Wir zeigen eine allgemeinere Aussage:
Es seien $k,m$ positive natürliche Zahlen. Gegeben seien $n:= km+1$ Punkte in der Ebene, von denen keine drei auf einer Geraden liegen. Von jedem dieser Punkte seien die Verbindungsstrecken zu mindestens $d:=(k-1)m+1$ anderen dieser Punkte eingezeichnet. Dann gibt es $k+1$ Punkte, von denen jeder mit allen anderen der $k+1$ Punkte verbunden ist.
Beweis durch Induktion nach $k$:
Induktionsanfang:
Für $k=1$ ist die Aussage wahr, denn es ist dann $d=(k-1)m+1= 1$, also gibt es mindestens $2=k+1$ Punkte, die miteinander verbunden sind.
Induktionsschluss:
Sei nun $k\geq 2$ und sei $A$ irgendeiner der $n= km+1$ Punkte. Es sei $N_A$ die Menge aller Punkte, mit denen $A$ verbunden ist. Nach Voraussetzung gilt $|N_A|\geq d$. Es gibt daher eine Teilmenge $N\subseteq N_A$ mit genau $d=(k-1)m+1$ Elementen.
Es gibt genau $n-d = m$ Punkte, die nicht in $N$ enthalten sind. Daher muss jeder Punkt aus $N$ mit mindestens $d - m = (k-2)m+1$ anderen Punkten aus $N$ verbunden sein.
Nach Induktionsannahme gibt es somit $k$ Punkte aus $N$, die alle paarweise miteinander verbunden sind. Da jeder dieser Punkte auch mit $A$ verbunden ist, folgt die Behauptung.
Lösung der Aufgabe:
Wegen $1993 = 6\cdot 332+1$ und $1661 = 5\cdot 332 +1$ können wir mit $k= 6$ und $m=332$ die Behauptung folgern.
Bemerkung:
Wir haben sogar stärker gezeigt, dass es zu jedem der 1993 Punkte sechs andere Punkte gibt, so dass jeder dieser 7 Punkte mit jedem anderen der 7 Punkte verbunden ist.
\showoff
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Nuramon
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| Beitrag No.1317, eingetragen 2019-07-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
321246B:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/21445_321246B.png
\showon Lösung
Wenn $x,y$ reelle Zahlen sind mit $f(x) = f(y)$, dann folgt $x= f(f(f(x))) = f(f(f(y))) = y$. Also ist $f$ injektiv.
Eine stetige Funktion $f:\IR \to \IR$, die injektiv ist, muss nach Zwischenwertsatz notwendig streng monoton sein.
Angenommen $f$ wäre streng monoton fallend. Aus $0<1$ folgte dann $f(0)>f(1)$ und somit $f(f(0)) f(f(f(1))) = 1$, was offenbar falsch ist.
Daher muss $f$ streng monoton wachsend sein. Sei $x\in \IR$ beliebig.
Wäre $x < f(x)$, so wäre auch $f(x) < f(f(x))$ und damit $f(f(x)) < f(f(f(x)))=x$. Das führt zum Widerspruch $x < f(x) < f(f(x)) < x$.
Analog kann auch nicht $x> f(x)$ gelten.
Damit folgt $f(x)=x$, also die Behauptung.
\showoff
\(\endgroup\)
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Nuramon
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| Beitrag No.1318, eingetragen 2019-07-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
321246A:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/21445_321246A.png
\showon Lösung
Wir beweisen die Aussage per Induktion nach $n$. Für $n=3$ ist die Aussage klar.
Betrachten wir also $n+1$ Städte $S_1,\ldots, S_{n+1}$, so dass zwischen je zweien dieser Städte jeweils entweder eine Bus- oder eine Bahnverbindung besteht.
Per Induktionsannahme gibt es eine Bus-Bahn-Rundreise durch die Städte $S_1,\ldots, S_n$, bei der man höchstens einmal das Verkehrsmittel wechseln muss. O.B.d.A. sei diese dadurch gegeben, dass man bei $S_1$ startet und die Städte $S_2,S_3, \dots, S_k$ in dieser Reihenfolge mit dem Bus (rot) besucht und anschließend von $S_k$ mit der Bahn (blau) über $S_{k+1}, S_{k+2}, \ldots, S_{n}$ zurück nach $S_1$ fährt.
Wir nehmen außerdem o.B.d.A. an, dass zwischen $S_1$ und $S_{n+1}$ eine Busverbindung besteht. (Falls zwischen $S_1$ und $S_{n+1}$ eine Bahnverbindung besteht, so vertausche man im Beweis die Rollen von $S_n$ und $S_2$.)
$
\begin{tikzpicture}
\draw[thick, red] (0,0) coordinate(Sa) arc (0:30:1) coordinate (Sb) arc (30:180:1) coordinate (Sk);
\draw[thick,blue] (0,0) arc (0:-30:1) coordinate (Sn) arc (-30:-180:1);
\draw[thick, red] (1,0) coordinate (Sz) -- (A);
\draw[thick, dashed] (Sn)--(Sz);
\foreach \P/\L/\p in {Sa/S_1/left, Sb/S_2/left, Sk/S_k/right,Sn/S_n/left, Sz/S_{n+1}/right}
{
\fill (\P) circle (2pt);
\node at (\P)[\p] {$\L$};
}
\end{tikzpicture}
$
Falls zwischen $S_n$ und $S_{n+1}$ ein Bus fährt, so ist $S_n \to S_{n+1} \to S_1 \to S_2 \to \ldots \to S_k \to \ldots \to S_n$ eine geeignete Bus-Bahn-Rundreise.
Falls zwischen $S_n$ und $S_{n+1}$ die Bahn fährt, so ist $S_{n+1} \to S_1 \to S_2 \to \ldots \to S_k \to \ldots \to S_n \to S_{n+1}$ eine geeignete Bus-Bahn-Rundreise.
\showoff\(\endgroup\)
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Ex_Senior
| Beitrag No.1319, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-19
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Danke für die vielen, neuen Lösungen, womit wir 1433 haben, d.h. nur noch 120 fehlen.
LG Steffen
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