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 Alte Olympiadeaufgaben |
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Kitaktus
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 |  Beitrag No.1400, eingetragen 2019-07-24
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\quoteon
Aufgabe 3B - 311233B
Es sei $n \geq 2$ die Anzahl der Teilnehmer an einer Feier. Für je zwei Teilnehmer A, B seien die folgenden
beiden Aussagen wahr:
(1) Ist A mit B bekannt, so gibt es keinen von A und B verschiedenen Teilnehmer, der sowohl mit
A als auch mit B bekannt wäre.
(2) Ist A nicht mit B bekannt, so gibt es genau zwei von A und B verschiedene Teilnehmer, die
sowohl mit A als auch mit B bekannt sind.
Man beweise, dass unter diesen Voraussetzungen stets gilt:
Alle Teilnehmer haben auf dieser Feier dieselbe Zahl von Bekannten.
Hinweis: Für je zwei Teilnehmer A,B gelte:
Ist A mit B bekannt, so auch B mit A. Kein Teilnehmer gelte als mit sich selbst bekannt.
\quoteoff
Es liegt nahe, die Fragestellung in ein Problem der Graphentheorie zu übertragen. Ich versuche hier die Begriffe der Aufgabenstellung zu verwenden, damit die Lösung auch für diejenigen verständlich bleibt, die nicht mit der Graphentheorie vertraut sind.
(a) Wir betrachten die Anzahl der Bekannten zweier miteinander bekannter Teilnehmer u und v.
Sei U die Menge der von v verschiedenen Teilnehmer, die mit u bekannt sind und V die Menge der von u verschiedenen Teilnehmer, die mit v bekannt sind.
Für miteinander bekannte Teilnehmer u und v gibt es nach (1) keinen Teilnehmer w, der sowohl mit u, als auch mit v bekannt ist. U und V sind also disjunkt.
Sei w ein beliebiger Teilnehmer aus U. Da w nicht mit v bekannt ist, gibt es nach (2) genau zwei Teilnehmer, die sowohl mit w als auch mit v bekannt sind. Einer dieser beiden Teilnehmer ist u, da u sowohl mit w als auch mit v bekannt ist.
Der andere Teilnehmer muss in V liegen, da er ein Bekannter von v und von u verschieden ist. Wir bezeichnen diesen Teilnehmer mit f(w).
Umgekehrt kann w auch keinen weiteren Bekannten f'(w) in V haben, weil es dann mehr als zwei Teilnehmer gäbe, die mit w und v bekannt sind, nämlich u, f(w) und f'(w).
Für jeden Teilnehmer w aus U gibt es also genau einen Bekannten f(w) in V.
Das Argument gilt symmetrisch auch genau andersherum, für jeden Teilnehmer w aus V gibt es also genau einen Bekannten g(w) in U.
Zwischen U und V besteht also eine Bijektion mittels der Abbildungen f <-> g.
U und V sind daher gleichmächtig, u und v haben also gleichviele Bekannte.
(b) Seien nun u und v beliebige Teilnehmer. Entweder sind sie miteinander bekannt und haben nach (a) gleichviele Bekannte.
Oder sie sind nicht miteinander bekannt, dann gibt es nach (2) einen Teilnehmer w, der mit u und v bekannt ist.
Nach (a) haben u und w gleichviele Bekannte, aber auch v und w und somit auch u und v.
Insgesamt haben also beliebige Teilnehmer u und v jeweils gleichviele Bekannte. q.e.d.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.1401, eingetragen 2019-07-24
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\quoteon(2019-07-24 14:36 - stpolster in Beitrag No. 1397)
Wir sind nun bei 1463 Lösungen. 90 Probleme sind noch offen.
\quoteoff
Übernimm auch noch die Vereinfachungslösung.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=241352&post_id=1768311
Die bisherige Lösung ist ja fürchterlich kompliziert, auch wenn es gut war, weil das Bild zwang, sich einmal mit tikz-3dplot auseinanderzusetzen.
Gibt es keine Aufgaben zur stereographischen Projektion?
Z.B.: "Zeige die stereographische Projektion ist kreistreu."
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weird
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 | Beitrag No.1402, eingetragen 2019-07-24
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Bei der folgenden Aufgabe schien mir der Nachweis der Assoziativität der Gruppenoperation zunächst undurchführbar, wie wohl manchen anderen hier auch, dabei ist dieser letztlich sogar ziemlich einfach. ;-)
\quoteonAufgabe 6A - 131236A
Eine Menge $G$ von Elementen $u,v,w,...$ heißt genau dann eine Gruppe, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:
(1) In G ist eine Operation definiert, d.h., jedem Paar $(u,v)$ von Elementen $u$ und $v$ aus $G$ ist eindeutig ein Element $w$ aus $G$ zugeordnet, wofür man $u◦v = w$ schreibt.
(2) Diese Operation ist assoziativ, d.h., für alle Elemente $u,v,w$ aus $G$ gilt $(u◦v)◦w = u◦(v◦w)$.
(3) Zu jedem Paar von Elementen $u$ und $v$ aus $G$ existiert mindestens ein Element $x$ aus $G$, so dass $u◦x = v$ gilt, und mindestens ein Element $y$ aus $G$, so dass $y◦u = v$ gilt.
Es sei $P$ die Menge aller reeller Zahlen. Für je zwei Elemente $a,b$ aus $P$ ist durch $a◦b = a\sqrt{b^2 +1} +b\sqrt{a^2 +1}$ eine Operation definiert. Man beweise, dass die Menge $P$ mit dieser Operation eine Gruppe ist.
\quoteoff
\showon
Da die oben definierte Operation $\circ$ offenbar die Gruppeneigenschaft erfüllt, wenden wir uns nun dem Nachweis von (2) zu, indem wir $(u\circ v)\circ w$ für drei beliebige Elemente $u,v,w\in P$ explizit berechnen. Zunächst ist
\[(u\circ v)\circ w=(u\sqrt{v^2+1}+v\sqrt{u^2+1})\sqrt{w^2+1}+w\sqrt{(u\sqrt{v^2+1}+v\sqrt{u^2+1})^2+1}\]
und indem man hier die Identität
\[\sqrt{(u\sqrt{v^2+1}+v\sqrt{u^2+1})^2+1}=\sqrt{(u^2+1)(v^2+1)}+uv\]
verwendet, welche man etwa durch Quadrieren und Ausmultiplizieren leicht bestätigen kann, folgt daraus weiter
\[(u\circ v)\circ w=u\sqrt{(v^2+1)(w^2+1)}+v\sqrt{(u^2+1)(w^2+1)}+w\sqrt{(u^2+1)(v^2+1)}+uvw\quad (*)\]
Hier fällt sofort auf, dass der rechtsstehende Ausdruck in (*) gegenüber einer beliebigen Vertauschung von $u,v,w$ invariant ist, sodass wir also auch für $(v\circ w)\circ u$ das gleiche Ergebnis erhalten würden. Da aber $\circ$ offensichtlich kommutativ ist, folgt daraus schließlich
\[(u\circ v)\circ w=(v\circ w)\circ u=u\circ (v\circ w)\]
also die zu beweisende Assoziativität.
Für den Nachweis von (3) zeigen wir schließlich wegen der Kommutativität von $\circ$ nur die Lösbarkeit der Gleichung $u\circ x=v$, indem wir einfach eine Lösung, nämlich
\[x=(-u)\circ v\quad \]
explizit angeben, was äquivalent ist zum Bestehen der Gleichung
\[u\circ (-u) \circ v=v\]
ist, welche man mithilfe von (*) sofort wie folgt nachrechnen kann
\[u\sqrt{((-u)^2+1)(v^2+1)}+(-u)\sqrt{(u^2+1)(v^2+1)}+v\sqrt{(u^2+1)^2}+u(-u)v=v\]
womit dann auch (3) bewiesen ist.
\showoff
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1398 begonnen.]
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Kitaktus
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| Beitrag No.1403, eingetragen 2019-07-24
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\quoteon Aufgabe 2 - 301242
Zu einem würfelförmigen Kasten der Kantenlänge 10 cm seien alle diejenigen Geraden betrachtet und als markiert bezeichnet, die durch das Innere des Würfels gehen, parallel zu einer Würfelkante verlaufen und von den beiden Seitenflächen, die diese Kante enthalten, ganzzahlige (in cm gemessene) Abstände haben.
Man beweise:
Wie man auch den Kasten mit 250 quaderförmigen Bausteinen der Abmessungen 2 cm × 2 cm × 1 cm vollständig ausfüllt, stets gibt es wenigstens 100 markierte Geraden, die keinen der Bausteine durchstechen.
Dabei gilt ein Baustein genau dann als durchstochen, wenn die Gerade innere Punkte des Bausteins enthält.
\quoteoff
Wir zerlegen den Würfel in Elementarwürfel der Größe 1cm x 1cm x 1cm. Ist der Kasten lückenlos mit Bausteinen gefüllt, so entspricht jeder Baustein vier im Quadrat liegenden Elementarwürfeln.
Wir stellen fest, dass jeder Baustein nur von einer einzigen markierten Geraden durchstochen wird, nämlich von der, die durch die Mittelpunkte der beiden 2cm x 2cm - Seitenflächen verläuft. (1)
Wir betrachten nun eine beliebige markierte g Gerade, die o.B.d.A. senkrecht zur Grundfläche steht.
Wir führen zwei Schitte aus, die jeweils parallel zu den beiden Paaren von Seitenflächen verlaufen und g vollständig enthalten. Dabei zerfällt der Kasten in vier Teile.
Jedes Teil enthält eine gerade Anzahl an Einheitswürfeln, da es eine ganzzahlige Länge und Breite sowie die Höhe 10cm hat. (2)
Durch die beiden Schnitte werden auch einige Bausteine zerteilt. Die Einheitswürfel, aus denen die Bauteile bestehen bleiben dabei aber stets erhalten.
Ein Baustein, der nicht von g durchstochen wird, liegt entweder komplett in einem der vier Kastenteile, oder er wird durch einen Schnitt halbiert.
Ein Baustein hingegen, der von g durchstochen wird (und nur solche), wird durch die Schnitte in seine vier Einheitswürfel zerlegt.
Angenommen, die Gerade g durchstößt genau einen Baustein B. Dann befänden sich in jedem Kastenteil einige ganze Bausteine, einige halbe Bausteine, sowie genau ein Einheitswürfel von B. Das kann aber nicht sein, weil das zusammen eine ungerade Anzahl von Einheitswürfeln ergibt, im Widerspruch zu (2).
Jede markierte Gerade durchstößt also keinen Baustein, oder mindestens zwei. (3)
Insgesamt gibt es 3 x 9 x 9 = 243 markierte Geraden -- drei Richtungen und jeweils neun ganzzahlige Abstände von den beiden Kanten (1cm, ..., 9cm).
Da es nur 250 Bausteine sind und wegen (1) jeder Baustein nur von einer Geraden durchstochen wird, kann es wegen (3) nicht mehr als 125 Geraden geben, die überhaupt einen Baustein durchstechen. Es gibt demnach mindestens 243 - 125 = 118 >100 Geraden, die keinen Baustein durchstechen. q.e.d.
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Nuramon
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| Beitrag No.1404, eingetragen 2019-07-24
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
\quoteon(2019-07-24 16:58 - weird in Beitrag No. 1402)
Bei der folgenden Aufgabe schien mir der Nachweis der Assoziativität der Gruppenoperation zunächst undurchführbar, wie wohl manchen anderen hier auch, dabei ist dieser letztlich sogar ziemlich einfach. ;-)
\quoteonAufgabe 6A - 131236A
Eine Menge $G$ von Elementen $u,v,w,...$ heißt genau dann eine Gruppe, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:
(1) In G ist eine Operation definiert, d.h., jedem Paar $(u,v)$ von Elementen $u$ und $v$ aus $G$ ist eindeutig ein Element $w$ aus $G$ zugeordnet, wofür man $u◦v = w$ schreibt.
(2) Diese Operation ist assoziativ, d.h., für alle Elemente $u,v,w$ aus $G$ gilt $(u◦v)◦w = u◦(v◦w)$.
(3) Zu jedem Paar von Elementen $u$ und $v$ aus $G$ existiert mindestens ein Element $x$ aus $G$, so dass $u◦x = v$ gilt, und mindestens ein Element $y$ aus $G$, so dass $y◦u = v$ gilt.
Es sei $P$ die Menge aller reeller Zahlen. Für je zwei Elemente $a,b$ aus $P$ ist durch $a◦b = a\sqrt{b^2 +1} +b\sqrt{a^2 +1}$ eine Operation definiert. Man beweise, dass die Menge $P$ mit dieser Operation eine Gruppe ist.
\quoteoff
\quoteoff
Alternativlösung:
\showon
Seien $u,v\in \IR$. Dann gibt es eindeutig bestimmte $a,b\in \IR$ mit $u=\sinh(a)$ und $v=\sinh(b)$. Es gilt
\[u\circ v = \sinh(a)\cosh(b) +\sinh(b)\cosh(a) = \sinh(a+b).\]
Damit kann man die Gruppenaxiome leicht nachrechnen:
(1) ist sowieso klar.
(2) Für $w=\sinh(c)$ gilt
\[\begin{align*}
(u\circ v)\circ w &= \sinh(a+b)\circ \sinh(c) \\
&= \sinh((a+b)+c) \\
&= \sinh(a+(b+c)) \\
&=\sinh(a)\circ \sinh(b+c) \\
&= u\circ (v\circ w).
\end{align*} \]
(3) Für $x:= \sinh(b-a)$ gilt
\[u\circ x = \sinh(a+(b-a)) = \sinh(b) = v.\]
Analog gilt für $y:=\sinh(b-a)$, dass $y\circ u = v$.
\showoff
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1402 begonnen.]\(\endgroup\)
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Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
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Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.1405, eingetragen 2019-07-24
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\quoteon Aufgabe 3 - 191223
100 Touristen sind in 100 verschiedenen Städten beheimatet, in jeder dieser Städte genau einer der Touristen.
Keine zwei von ihnen sind miteinander bekannt. Sie unternehmen durch genau diese Städte Rundreisen, und zwar
a) als Touristengruppe (alle 100 Touristen machen gemeinsam ein und dieselben Reisen),
b) als Einzelreisende (jeder legt die Reihenfolge und die jeweilige Aufenthaltsdauer für die einzelnen Städte selbst fest, die Reisen erfolgen unabhängig voneinander).
Ferner treffen sie die folgende sonderbare Vereinbarung:
Je zwei dieser Touristen machen sich genau dann miteinander bekannt, wenn sie sich zum ersten Mal gemeinsam in einer Stadt befinden, in der keiner dieser beiden Touristen beheimatet ist.
Ermitteln Sie im Fall a) und im Fall b) jeweils die kleinste natürliche Zahl n > 0, für die die folgende Aussage (*) wahr ist!
(*) Die Reisewege und -termine lassen sich so festlegen, dass jeder Tourist spätestens dann mit jedem anderen bekannt geworden ist, wenn er in n Städten gewesen ist.
\quoteoff
Die Städte seien mit 1 bis 100 durchnummeriert. Die gleiche Nummer trägt der Tourist aus der betreffenden Stadt.
Im Fall a) ist n=3.
Dies ist so möglich: Am ersten Tag besuchen alle Touristen Stadt 1, am zweiten Tag Stadt 2 und am dritten Tag Stadt 3.
Seien i und j beliebige Touristen, so ist mindestens eine der drei Zahlen 1, 2 und 3 von i und j verschieden. Diese Zahl sei x$\leq 3$.
Spätestens in der x-ten Stadt machen sich i und j miteinander bekannt, da sie sich zusammen in einer Stadt aufhalten, die von i und j verschieden ist.
Mit weniger als 3 besuchten Städten ist das nicht möglich, da die beiden Bewohner der ersten beiden von der Gruppe besuchten Städte sich in beiden Städten nicht miteinander bekannt machen.
Im Fall b) ist n=2.
Die Touristen 2 bis 100 starten in Stadt 1, Tourist 1 startet in Stadt 3.
Als erstes wechselt Tourist 2 die Stadt und fährt nach 3. (a)
Dann fahren die Touristen 3 bis 99 nach Stadt 2. (b)
Anschließend wechselt Tourist 1 nach Stadt 2. (c)
Zu diesem Zeitpunkt hat jeder Tourist genau 2 Städte besucht.
Tourist 1 hat Tourist 2 in Stadt 3 kennengelernt (zwischen (a) und (c)).
Tourist 1 hat die Touristen 3 bis 99 in Stadt 2 kennengelernt (nach (c)).
Die Touristen 2 bis 99 haben sich paarweise in Stadt 1 kennengelernt (vor (a)).
Mit n=1 sind die Bedingungen nicht erfüllbar. Dazu müssten sich alle Touristen in der selben Stadt kennenlernen, weil sie die Stadt nicht wechseln, bevor sich alle kennen. Der Tourist, der aber aus genau dieser Stadt kommt, hat noch keinen kennengelernt.
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weird
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Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5301
| Beitrag No.1406, eingetragen 2019-07-24
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Bei der folgenden Aufgabe ist mir nicht ganz klar, ob die untenstehende Lösung im Sinne der Aufgabenstellung gültig ist, da sie für ein spezielles $n$ eine Schwachstelle aufweist.
\quoteonAufgabe 6 - 241236
Man ermittle alle diejenigen natürlichen Zahlen n, für die gilt:
\[99^n +101^n > \frac{51} {25} ·100^n\quad (1)\]
\quoteoff
\showon
Indem wir beide Seiten der Ungleichung (1) durch $100^n$ dividieren, lässt sie sich auch schreiben in der Form
\[\left(1-\frac1{100}\right)^n+\left(1+\frac1{100}\right)^n>\frac{51}{25}=2.04\quad (*)\]
Nun gilt
\[\forall n\ge 21: \left(1-\frac1{100}\right)^n+\left(1+\frac1{100}\right)^n=2\sum\limits_{k=0}^{\lfloor\frac n2\rfloor}\binom n{2k}100^{-2k} >2\left(1+ \binom {21}2 \frac1{100^2 } \right)=2.042>2.04\]
d.h., (1) ist jedenfalls für alle $n\ge 21$ gültig, während für $n=20$ diese einfache Abschätzung noch nicht ausreicht.
Dass sie andererseits für $n\le19$ falsch ist, ist ebenfalls klar und folgt unmittelbar aus
\[\forall n\le 19: \quad \left(1-\frac1{100}\right)^n+\left(1+\frac1{100}\right)^n<2\cosh(\frac n{100}) \le 2\cosh(\frac{19}{100})\approx 2.0362\]
während der Fall $n=20$ wegen $2\cosh(0.2)\approx 2.0401$ auch hier unentschieden ist. Um zu sehen, dass (1) für $n=20$ nicht gilt, bleibt also nur die direkte Auswertung von (*) für diesen Wert von $n$, was dann
\[0.99^{20}+1.01^{20}\approx 2.038\]
ergibt, d.h., es bleibt dabei, dass (1) genau für $n\ge21$ gilt.
\showoff
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.1407, eingetragen 2019-07-25
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\quoteon(2019-07-24 17:33 - Kitaktus in Beitrag No. 1403)
\quoteon Aufgabe 2 - 301242
Zu einem würfelförmigen Kasten der Kantenlänge 10 cm seien alle diejenigen Geraden betrachtet und als markiert bezeichnet, die durch das Innere des Würfels gehen, parallel zu einer Würfelkante verlaufen und von den beiden Seitenflächen, die diese Kante enthalten, ganzzahlige (in cm gemessene) Abstände haben.
Man beweise:
Wie man auch den Kasten mit 250 quaderförmigen Bausteinen der Abmessungen 2 cm × 2 cm × 1 cm vollständig ausfüllt, stets gibt es wenigstens 100 markierte Geraden, die keinen der Bausteine durchstechen.
Dabei gilt ein Baustein genau dann als durchstochen, wenn die Gerade innere Punkte des Bausteins enthält.
\quoteoff
Wir zerlegen den Würfel in ....
\showon
\quoteon Aufgabe 2 - 301242
Zu einem würfelförmigen Kasten der Kantenlänge 10 cm seien alle diejenigen Geraden betrachtet und als markiert bezeichnet, die durch das Innere des Würfels gehen, parallel zu einer Würfelkante verlaufen und von den beiden Seitenflächen, die diese Kante enthalten, ganzzahlige (in cm gemessene) Abstände haben.
Man beweise:
Wie man auch den Kasten mit 250 quaderförmigen Bausteinen der Abmessungen 2 cm × 2 cm × 1 cm vollständig ausfüllt, stets gibt es wenigstens 100 markierte Geraden, die keinen der Bausteine durchstechen.
Dabei gilt ein Baustein genau dann als durchstochen, wenn die Gerade innere Punkte des Bausteins enthält.
\quoteoff
Wir zerlegen den Würfel in Elementarwürfel der Größe 1cm x 1cm x 1cm. Ist der Kasten lückenlos mit Bausteinen gefüllt, so entspricht jeder Baustein vier im Quadrat liegenden Elementarwürfeln.
Wir stellen fest, dass jeder Baustein nur von einer einzigen markierten Geraden durchstochen wird, nämlich von der, die durch die Mittelpunkte der beiden 2cm x 2cm - Seitenflächen verläuft. (1)
Wir betrachten nun eine beliebige markierte g Gerade, die o.B.d.A. senkrecht zur Grundfläche steht.
Wir führen zwei Schitte aus, die jeweils parallel zu den beiden Paaren von Seitenflächen verlaufen und g vollständig enthalten. Dabei zerfällt der Kasten in vier Teile.
Jedes Teil enthält eine gerade Anzahl an Einheitswürfeln, da es eine ganzzahlige Länge und Breite sowie die Höhe 10cm hat. (2)
Durch die beiden Schnitte werden auch einige Bausteine zerteilt. Die Einheitswürfel, aus denen die Bauteile bestehen bleiben dabei aber stets erhalten.
Ein Baustein, der nicht von g durchstochen wird, liegt entweder komplett in einem der vier Kastenteile, oder er wird durch einen Schnitt halbiert.
Ein Baustein hingegen, der von g durchstochen wird (und nur solche), wird durch die Schnitte in seine vier Einheitswürfel zerlegt.
Angenommen, die Gerade g durchstößt genau einen Baustein B. Dann befänden sich in jedem Kastenteil einige ganze Bausteine, einige halbe Bausteine, sowie genau ein Einheitswürfel von B. Das kann aber nicht sein, weil das zusammen eine ungerade Anzahl von Einheitswürfeln ergibt, im Widerspruch zu (2).
Jede markierte Gerade durchstößt also keinen Baustein, oder mindestens zwei. (3)
Insgesamt gibt es 3 x 9 x 9 = 243 markierte Geraden -- drei Richtungen und jeweils neun ganzzahlige Abstände von den beiden Kanten (1cm, ..., 9cm).
Da es nur 250 Bausteine sind und wegen (1) jeder Baustein nur von einer Geraden durchstochen wird, kann es wegen (3) nicht mehr als 125 Geraden geben, die überhaupt einen Baustein durchstechen. Es gibt demnach mindestens 243 - 125 = 118 >100 Geraden, die keinen Baustein durchstechen. q.e.d.
\showoff
\quoteoff
So?
$\pgfmathsetmacro{\L}{10}
\pgfmathsetmacro{\a}{2}
\pgfmathsetmacro{\b}{2}
\pgfmathsetmacro{\c}{1}
\def\ColorA{yellow!33} % lightgray
\def\ColorB{red!50} % red!50
\begin{tikzpicture}[scale=0.7,
z={({0.5cm*cos(45)},{0.5cm*sin(45)})},
>=latex,
font=\footnotesize,
]
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
% Big Cube ================
\coordinate[] (A) at (0,0,0);
\coordinate[] (B) at (\L,0,0);
\coordinate[] (C) at (\L,\L,0);
\coordinate[] (D) at (0,\L,0);
\coordinate[] (A-s) at (0,0,\L);
\coordinate[] (B-s) at (\L,0,\L);
\coordinate[] (C-s) at (\L,\L,\L);
\coordinate[] (D-s) at (0,\L,\L);
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\draw[gray] (A) -- (B) -- (C) -- (D) --cycle;
\foreach \Punkt in {B,C,D} \draw[gray] (\Punkt) -- (\Punkt-s);
\end{pgfonlayer}
\draw[gray] (A) -- (A-s);
\draw[gray] (A-s) -- (B-s) -- (C-s) -- (D-s) --cycle;
% =======================
%% Cuboids ==============
\pgfmathsetmacro{\A}{floor(\L/\a-1)}
\pgfmathsetmacro{\B}{floor(\L/\b-1)}
\pgfmathsetmacro{\C}{floor(\L/\c-1)}
\pgfmathsetmacro{\Xmax}{floor(\L/\a)*\a}
\pgfmathsetmacro{\Ymax}{floor(\L/\b)*\b}
% Front Filling
\foreach \x in {0,...,\A} \foreach \y in {0,...,\B}{%
\pgfmathparse{mod(\x+\y,2)==0 ? "\ColorA" : "\ColorB"}
\colorlet{Color}{\pgfmathresult}
\draw[shift={(\x*\a,\y*\b)}, very thick, fill=Color] (0,0) rectangle (\a,\b);
}%
% Side Filling
\foreach \y in {0,...,\B} \foreach \z in {0,...,\C} {%
\pgfmathparse{mod(\y+\z,2)==0 ? "\ColorA" : "\ColorB"}
\colorlet{Color}{\pgfmathresult}
\pgfmathsetmacro\M{mod(\y,2)==0 ? 1 : 0}
\draw[shift={(0,\y*\b,\z*\c)}, very thick, fill=Color] (\Xmax,0,0) -- (\Xmax,0,\c) -- (\Xmax,\b,\c) -- (\Xmax,\b,0) --cycle;
}
% Roof Filling
\foreach \x in {0,...,\A} \foreach \z in {0,...,\C} {%
\pgfmathparse{mod(\x+\z,2)==0 ? "\ColorA" : "\ColorB"}
\colorlet{Color}{\pgfmathresult}
\draw[shift={(\x*\a,0,\z*\c)}, very thick, fill=Color] (0,\Ymax,0) -- (\a,\Ymax,0) -- (\a,\Ymax,\c) -- (0,\Ymax,\c) --cycle;
}
%% ================
% Elementary Cubes
\pgfmathsetmacro{\Nmax}{\L-1}
% Front Filling
\foreach \x in {0,...,\Nmax} \foreach \y in {0,...,\Nmax}{%
\draw[shift={(\x,\y)}, gray] (0,0) rectangle (1,1);
}%
% Side Filling
\foreach \y in {0,...,\Nmax} \foreach \z in {0,...,\Nmax} {%
\pgfmathsetmacro\M{mod(\y,2)==0 ? 1 : 0}
\draw[shift={(0,\y,\z)}, gray] (\L,0,0) -- (\L,0,1) -- (\L,1,1) -- (\L,1,0) --cycle;
}
% Roof Filling
\foreach \x in {0,...,\Nmax} \foreach \z in {0,...,\Nmax} {%
\draw[shift={(\x,0,\z)}, gray] (0,\L,0) -- (1,\L,0) -- (1,\L,1) -- (0,\L,1) --cycle;
}
% ================
%%% Marked Straight Lines
% Horizontales
\pgfmathsetmacro{\Nmax}{\L-2}
\foreach \y in {0,...,\Nmax} \foreach \z in {0,...,\Nmax} {%
\begin{pgfonlayer}{background}
\draw[shift={(0,\y,\z)}, red] (0,1,1) -- (\L+0.1*\L,1,1);
\end{pgfonlayer}
\draw[shift={(0,\y,\z)}, red] (\L,1,1) -- (\L+0.1*\L,1,1);
}
% Verticales
\pgfmathsetmacro{\Nmax}{\L-2}
\foreach \x in {0,...,\Nmax} \foreach \z in {0,...,\Nmax} {%
\begin{pgfonlayer}{background}
\draw[shift={(\x,0,\z)}, red] (1,0,1) -- (1,\L+0.1*\L,1);
\end{pgfonlayer}
\draw[shift={(\x,0,\z)}, red] (1,\L,1) -- (1,\L+0.1*\L,1);
}
%% ...
\pgfmathsetmacro{\Nmax}{\L-2}
\foreach \x in {0,...,\Nmax} \foreach \y in {0,...,\Nmax} {%
\begin{pgfonlayer}{background}
\draw[shift={(\x,\y,0)}, red] (1,1,0) -- (1,1,\L);
\end{pgfonlayer}
\draw[shift={(\x,\y,0)}, red] (1,1,-0.2*\L) -- (1,1,0);
}
% ================
% Annotation
\draw[shorten >=0.035*\L cm] (\Xmax-\a,0) --+ (0,0,-0.2*\L) coordinate[pos=0.5] (X1);
\draw[] (\Xmax,0) --+ (0,0,-0.2*\L) coordinate[pos=0.5] (X2) coordinate[pos=0.75] (X3);
\draw[<->] (X1) -- (X2) node[midway, above]{$a$};
\draw[] (\Xmax,0) --+ (0.2*\L,0) coordinate[pos=0.5] (Y1);
\draw[] (\Xmax,\b) --+ (0.2*\L,0) coordinate[pos=0.5] (Y2);
\draw[<->] (Y1) -- (Y2) node[near start, right]{$b$};
\draw[] (\Xmax,0,0) --+ (0.2*\L,0) coordinate[pos=0.7] (Z1);
\draw[] (\Xmax,0,\c) --+ (0.2*\L,0) coordinate[pos=0.7] (Z2);
\draw[<->] (Z1) -- (Z2) node[midway, right]{$c$};
\draw[] (0,0) --+ (0,0,-0.2*\L) coordinate[pos=0.75] (X0);
\draw[<->] (X0) -- (X3) node[midway, above]{$L$};
%% CoSy
%\begin{scope}[-latex, shift={(\Xmax+0.125*\L, 0,-0.2*\L)},thick]
%\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/above, (0,1,0)/y/right, (0,0,1)/z/right}
%\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
%\end{scope}
\end{tikzpicture}$
\showon
\sourceon latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\begin{document}
\pgfmathsetmacro{\L}{10}
\pgfmathsetmacro{\a}{2}
\pgfmathsetmacro{\b}{2}
\pgfmathsetmacro{\c}{1}
\def\ColorA{yellow!33} % lightgray
\def\ColorB{red!50} % red!50
\begin{tikzpicture}[scale=0.7,
z={({0.5cm*cos(45)},{0.5cm*sin(45)})},
>=latex,
font=\footnotesize,
]
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
% Big Cube ================
\coordinate[] (A) at (0,0,0);
\coordinate[] (B) at (\L,0,0);
\coordinate[] (C) at (\L,\L,0);
\coordinate[] (D) at (0,\L,0);
\coordinate[] (A-s) at (0,0,\L);
\coordinate[] (B-s) at (\L,0,\L);
\coordinate[] (C-s) at (\L,\L,\L);
\coordinate[] (D-s) at (0,\L,\L);
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\draw[gray] (A) -- (B) -- (C) -- (D) --cycle;
\foreach \Punkt in {B,C,D} \draw[gray] (\Punkt) -- (\Punkt-s);
\end{pgfonlayer}
\draw[gray] (A) -- (A-s);
\draw[gray] (A-s) -- (B-s) -- (C-s) -- (D-s) --cycle;
% =======================
%% Cuboids ==============
\pgfmathsetmacro{\A}{floor(\L/\a-1)}
\pgfmathsetmacro{\B}{floor(\L/\b-1)}
\pgfmathsetmacro{\C}{floor(\L/\c-1)}
\pgfmathsetmacro{\Xmax}{floor(\L/\a)*\a}
\pgfmathsetmacro{\Ymax}{floor(\L/\b)*\b}
% Front Filling
\foreach \x in {0,...,\A} \foreach \y in {0,...,\B}{%
\pgfmathparse{mod(\x+\y,2)==0 ? "\ColorA" : "\ColorB"}
\colorlet{Color}{\pgfmathresult}
\draw[shift={(\x*\a,\y*\b)}, very thick, fill=Color] (0,0) rectangle (\a,\b);
}%
% Side Filling
\foreach \y in {0,...,\B} \foreach \z in {0,...,\C} {%
\pgfmathparse{mod(\y+\z,2)==0 ? "\ColorA" : "\ColorB"}
\colorlet{Color}{\pgfmathresult}
\pgfmathsetmacro\M{mod(\y,2)==0 ? 1 : 0}
\draw[shift={(0,\y*\b,\z*\c)}, very thick, fill=Color] (\Xmax,0,0) -- (\Xmax,0,\c) -- (\Xmax,\b,\c) -- (\Xmax,\b,0) --cycle;
}
% Roof Filling
\foreach \x in {0,...,\A} \foreach \z in {0,...,\C} {%
\pgfmathparse{mod(\x+\z,2)==0 ? "\ColorA" : "\ColorB"}
\colorlet{Color}{\pgfmathresult}
\draw[shift={(\x*\a,0,\z*\c)}, very thick, fill=Color] (0,\Ymax,0) -- (\a,\Ymax,0) -- (\a,\Ymax,\c) -- (0,\Ymax,\c) --cycle;
}
%% ================
% Elementary Cubes
\pgfmathsetmacro{\Nmax}{\L-1}
% Front Filling
\foreach \x in {0,...,\Nmax} \foreach \y in {0,...,\Nmax}{%
\draw[shift={(\x,\y)}, gray] (0,0) rectangle (1,1);
}%
% Side Filling
\foreach \y in {0,...,\Nmax} \foreach \z in {0,...,\Nmax} {%
\pgfmathsetmacro\M{mod(\y,2)==0 ? 1 : 0}
\draw[shift={(0,\y,\z)}, gray] (\L,0,0) -- (\L,0,1) -- (\L,1,1) -- (\L,1,0) --cycle;
}
% Roof Filling
\foreach \x in {0,...,\Nmax} \foreach \z in {0,...,\Nmax} {%
\draw[shift={(\x,0,\z)}, gray] (0,\L,0) -- (1,\L,0) -- (1,\L,1) -- (0,\L,1) --cycle;
}
% ================
%%% Marked Straight Lines
% Horizontales
\pgfmathsetmacro{\Nmax}{\L-2}
\foreach \y in {0,...,\Nmax} \foreach \z in {0,...,\Nmax} {%
\begin{pgfonlayer}{background}
\draw[shift={(0,\y,\z)}, red] (0,1,1) -- (\L+0.1*\L,1,1);
\end{pgfonlayer}
\draw[shift={(0,\y,\z)}, red] (\L,1,1) -- (\L+0.1*\L,1,1);
}
% Verticales
\pgfmathsetmacro{\Nmax}{\L-2}
\foreach \x in {0,...,\Nmax} \foreach \z in {0,...,\Nmax} {%
\begin{pgfonlayer}{background}
\draw[shift={(\x,0,\z)}, red] (1,0,1) -- (1,\L+0.1*\L,1);
\end{pgfonlayer}
\draw[shift={(\x,0,\z)}, red] (1,\L,1) -- (1,\L+0.1*\L,1);
}
%% ...
\pgfmathsetmacro{\Nmax}{\L-2}
\foreach \x in {0,...,\Nmax} \foreach \y in {0,...,\Nmax} {%
\begin{pgfonlayer}{background}
\draw[shift={(\x,\y,0)}, red] (1,1,0) -- (1,1,\L);
\end{pgfonlayer}
\draw[shift={(\x,\y,0)}, red] (1,1,-0.2*\L) -- (1,1,0);
}
% ================
% Annotation
\draw[shorten >=0.035*\L cm] (\Xmax-\a,0) --+ (0,0,-0.2*\L) coordinate[pos=0.5] (X1);
\draw[] (\Xmax,0) --+ (0,0,-0.2*\L) coordinate[pos=0.5] (X2) coordinate[pos=0.75] (X3);
\draw[<->] (X1) -- (X2) node[midway, above]{$a$};
\draw[] (\Xmax,0) --+ (0.2*\L,0) coordinate[pos=0.5] (Y1);
\draw[] (\Xmax,\b) --+ (0.2*\L,0) coordinate[pos=0.5] (Y2);
\draw[<->] (Y1) -- (Y2) node[near start, right]{$b$};
\draw[] (\Xmax,0,0) --+ (0.2*\L,0) coordinate[pos=0.7] (Z1);
\draw[] (\Xmax,0,\c) --+ (0.2*\L,0) coordinate[pos=0.7] (Z2);
\draw[<->] (Z1) -- (Z2) node[midway, right]{$c$};
\draw[] (0,0) --+ (0,0,-0.2*\L) coordinate[pos=0.75] (X0);
\draw[<->] (X0) -- (X3) node[midway, above]{$L$};
%% CoSy
%\begin{scope}[-latex, shift={(\Xmax+0.125*\L, 0,-0.2*\L)},thick]
%\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/above, (0,1,0)/y/right, (0,0,1)/z/right}
%\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
%\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}
\sourceoff
\showoff
\showon Hinweis: Das Makro geht auch für beliebige Würfel (Kantenlänge L), die mit beliebigen Quadern (Kantenlängen a,b,c) ganz oder teilweise gefüllt werden.
\sourceon (Latex)
\pgfmathsetmacro{\L}{10}
\pgfmathsetmacro{\a}{3}
\pgfmathsetmacro{\b}{4}
\pgfmathsetmacro{\c}{2}
\sourceoff
$\pgfmathsetmacro{\L}{10}
\pgfmathsetmacro{\a}{3}
\pgfmathsetmacro{\b}{4}
\pgfmathsetmacro{\c}{2}
\def\ColorA{yellow!33} % lightgray
\def\ColorB{red!50} % red!50
\begin{tikzpicture}[scale=0.7,
z={({0.5cm*cos(45)},{0.5cm*sin(45)})},
>=latex,
font=\footnotesize,
]
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
% Big Cube ================
\coordinate[] (A) at (0,0,0);
\coordinate[] (B) at (\L,0,0);
\coordinate[] (C) at (\L,\L,0);
\coordinate[] (D) at (0,\L,0);
\coordinate[] (A-s) at (0,0,\L);
\coordinate[] (B-s) at (\L,0,\L);
\coordinate[] (C-s) at (\L,\L,\L);
\coordinate[] (D-s) at (0,\L,\L);
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\draw[gray] (A) -- (B) -- (C) -- (D) --cycle;
\foreach \Punkt in {B,C,D} \draw[gray] (\Punkt) -- (\Punkt-s);
\end{pgfonlayer}
\draw[gray] (A) -- (A-s);
\draw[gray] (A-s) -- (B-s) -- (C-s) -- (D-s) --cycle;
% =======================
%% Cuboids ==============
\pgfmathsetmacro{\A}{floor(\L/\a-1)}
\pgfmathsetmacro{\B}{floor(\L/\b-1)}
\pgfmathsetmacro{\C}{floor(\L/\c-1)}
\pgfmathsetmacro{\Xmax}{floor(\L/\a)*\a}
\pgfmathsetmacro{\Ymax}{floor(\L/\b)*\b}
% Front Filling
\foreach \x in {0,...,\A} \foreach \y in {0,...,\B}{%
\pgfmathparse{mod(\x+\y,2)==0 ? "\ColorA" : "\ColorB"}
\colorlet{Color}{\pgfmathresult}
\draw[shift={(\x*\a,\y*\b)}, very thick, fill=Color] (0,0) rectangle (\a,\b);
}%
% Side Filling
\foreach \y in {0,...,\B} \foreach \z in {0,...,\C} {%
\pgfmathparse{mod(\y+\z,2)==0 ? "\ColorA" : "\ColorB"}
\colorlet{Color}{\pgfmathresult}
\pgfmathsetmacro\M{mod(\y,2)==0 ? 1 : 0}
\draw[shift={(0,\y*\b,\z*\c)}, very thick, fill=Color] (\Xmax,0,0) -- (\Xmax,0,\c) -- (\Xmax,\b,\c) -- (\Xmax,\b,0) --cycle;
}
% Roof Filling
\foreach \x in {0,...,\A} \foreach \z in {0,...,\C} {%
\pgfmathparse{mod(\x+\z,2) ? "\ColorA" : "\ColorB"}
\colorlet{Color}{\pgfmathresult}
\draw[shift={(\x*\a,0,\z*\c)}, very thick, fill=Color] (0,\Ymax,0) -- (\a,\Ymax,0) -- (\a,\Ymax,\c) -- (0,\Ymax,\c) --cycle;
}
%% ================
% Elementary Cubes
\pgfmathsetmacro{\Nmax}{\L-1}
% Front Filling
\foreach \x in {0,...,\Nmax} \foreach \y in {0,...,\Nmax}{%
\draw[shift={(\x,\y)}, gray] (0,0) rectangle (1,1);
}%
% Side Filling
\foreach \y in {0,...,\Nmax} \foreach \z in {0,...,\Nmax} {%
\pgfmathsetmacro\M{mod(\y,2)==0 ? 1 : 0}
\draw[shift={(0,\y,\z)}, gray] (\L,0,0) -- (\L,0,1) -- (\L,1,1) -- (\L,1,0) --cycle;
}
% Roof Filling
\foreach \x in {0,...,\Nmax} \foreach \z in {0,...,\Nmax} {%
\draw[shift={(\x,0,\z)}, gray] (0,\L,0) -- (1,\L,0) -- (1,\L,1) -- (0,\L,1) --cycle;
}
% ================
%%% Marked Straight Lines
% Horizontales
\pgfmathsetmacro{\Nmax}{\L-2}
\foreach \y in {0,...,\Nmax} \foreach \z in {0,...,\Nmax} {%
\begin{pgfonlayer}{background}
\draw[shift={(0,\y,\z)}, red] (0,1,1) -- (\L+0.1*\L,1,1);
\end{pgfonlayer}
\draw[shift={(0,\y,\z)}, red] (\L,1,1) -- (\L+0.1*\L,1,1);
}
% Verticales
\pgfmathsetmacro{\Nmax}{\L-2}
\foreach \x in {0,...,\Nmax} \foreach \z in {0,...,\Nmax} {%
\begin{pgfonlayer}{background}
\draw[shift={(\x,0,\z)}, red] (1,0,1) -- (1,\L+0.1*\L,1);
\end{pgfonlayer}
\draw[shift={(\x,0,\z)}, red] (1,\L,1) -- (1,\L+0.1*\L,1);
}
%% ...
\pgfmathsetmacro{\Nmax}{\L-2}
\foreach \x in {0,...,\Nmax} \foreach \y in {0,...,\Nmax} {%
\begin{pgfonlayer}{background}
\draw[shift={(\x,\y,0)}, red] (1,1,0) -- (1,1,\L);
\end{pgfonlayer}
\draw[shift={(\x,\y,0)}, red] (1,1,-0.2*\L) -- (1,1,0);
}
% ================
% Annotation
\draw[shorten >=0.035*\L cm] (\Xmax-\a,0) --+ (0,0,-0.2*\L) coordinate[pos=0.5] (X1);
\draw[] (\Xmax,0) --+ (0,0,-0.2*\L) coordinate[pos=0.5] (X2) coordinate[pos=0.75] (X3);
\draw[<->] (X1) -- (X2) node[midway, above]{$a$};
\draw[] (\Xmax,0) --+ (0.2*\L,0) coordinate[pos=0.5] (Y1);
\draw[] (\Xmax,\b) --+ (0.2*\L,0) coordinate[pos=0.5] (Y2);
\draw[<->] (Y1) -- (Y2) node[near start, right]{$b$};
\draw[] (\Xmax,0,0) --+ (0.2*\L,0) coordinate[pos=0.7] (Z1);
\draw[] (\Xmax,0,\c) --+ (0.2*\L,0) coordinate[pos=0.7] (Z2);
\draw[<->] (Z1) -- (Z2) node[midway, right]{$c$};
\draw[] (0,0) --+ (0,0,-0.2*\L) coordinate[pos=0.75] (X0);
\draw[<->] (X0) -- (X3) node[midway, above]{$L$};
%% CoSy
%\begin{scope}[-latex, shift={(\Xmax+0.125*\L, 0,-0.2*\L)},thick]
%\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/above, (0,1,0)/y/right, (0,0,1)/z/right}
%\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
%\end{scope}
\end{tikzpicture}
$
\showoff
Ich würde die Lösung auch verallgemeinern auf beliebige Quader a,b,c.
|
Profil
|
Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7280
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.1408, eingetragen 2019-07-25
|
@Hyperplot: Ja, so habe ich die Aufgabe verstanden und so ist meine Lösung gemeint.
Bei der Verallgemeinerung ist zu beachten, dass man die Argumentation nochmal überdenken muss, wenn eine(*) Kantenlänge des großen Quaders ungerade ist (wenn die Bausteine weiter die Form 2x2x1 haben). In diesem Fall _müssen_ einige markierte Geraden eine ungerade Anzahl von Bausteinen durchstechen.
(*) Bei mehr als einer ungeraden Kantenlänge ist ein vollständiges Auffüllen mit Bausteinen nicht möglich.
Über eine Verallgemeinerung mit Bausteinen der Größe a x b x c (außer 2x2x1) habe ich gar nicht erst nachgedacht. Hier werden Bausteine von mehreren Geraden durchstochen, das scheint komplizierter zu werden.
|
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OlgaBarati
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Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 247
 | Beitrag No.1409, eingetragen 2019-07-25
|
\quoteon(2019-07-24 23:20 - weird in Beitrag No. 1406)
Bei der folgenden Aufgabe ist mir nicht ganz klar, ob die untenstehende Lösung im Sinne der Aufgabenstellung gültig ist, da sie für ein spezielles $n$ eine Schwachstelle aufweist.
\quoteonAufgabe 6 - 241236
Man ermittle alle diejenigen natürlichen Zahlen n, für die gilt:
\[99^n +101^n > \frac{51} {25} ·100^n\quad (1)\]
\showon
Indem wir beide Seiten der Ungleichung (1) durch $100^n$ dividieren, lässt sie sich auch schreiben in der Form
\[\left(1-\frac1{100}\right)^n+\left(1+\frac1{100}\right)^n>\frac{51}{25}=2.04\quad (*)\]
Nun gilt
\[\forall n\ge 21: \left(1-\frac1{100}\right)^n+\left(1+\frac1{100}\right)^n=2\sum\limits_{k=0}^{\lfloor\frac n2\rfloor}\binom n{2k}100^{-2k} >2\left(1+ \binom {21}2 \frac1{100^2 } \right)=2.042>2.04\]
d.h., (1) ist jedenfalls für alle $n\ge 21$ gültig, während für $n=20$ diese einfache Abschätzung noch nicht ausreicht.
Dass sie andererseits für $n\le19$ falsch ist, ist ebenfalls klar und folgt unmittelbar aus
\[\forall n\le 19: \quad \left(1-\frac1{100}\right)^n+\left(1+\frac1{100}\right)^n<2\cosh(\frac n{100}) \le 2\cosh(\frac{19}{100})\approx 2.0362\]
während der Fall $n=20$ wegen $2\cosh(0.2)\approx 2.0401$ auch hier unentschieden ist. Um zu sehen, dass (1) für $n=20$ nicht gilt, bleibt also nur die direkte Auswertung von (*) für diesen Wert von $n$, was dann
\[0.99^{20}+1.01^{20}\approx 2.038\]
ergibt, d.h., es bleibt dabei, dass (1) genau für $n\ge21$ gilt.
\showoff
\quoteoff
\quoteoff
\showon\(0,99^n+1,01^n>2,04\)...nachgebessert heute um 14:45.
So weit war ich gekommen und hatte dann aufgegeben. Nun sehe ich die Lösung, die ich in der Form natürlich nicht gefunden hätte. Da ich mich aber nun mit der Aufgabe schon etwas länger - ohne ein Endergebnis zu bekommen - beschäftigt habe, bleibt noch meine Frage übrig: Wäre das Nachstehende als Abschätzung auch möglich / halbwegs richtig ? Oder anders gefragt, wäre das überhaupt eine Abschätzung im mathematischen Sinne ? Man muss n=21 ja erst ausrechnen bevor man die Aussage machen kann !?
\[0,99^n+1,01^n>2,04\]
\[(0,99^n+1,01^n)(0,99^n-1,01^n)>2,04(0,99^n-1,01^n)\]
\[0,99^{2n}-1,01^{2n}>2,04\cdot0,99^n-2,04\cdot1,01^n\]
\[0,99^n(0,99^n-2,04)>1,01^n(1,01^n-2,04)\]
\[\frac{0,99^n}{1,01^n}>\frac{1,01^n-2,04}{0,99^n-2,04}\]
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{0,99^n}{1,01^n}=\frac{0}{\infty}=0}\]
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{1,01^n-2,04}{0,99^n-2,04}=\frac{\infty}{-2,04}=-\infty}\]
\[0>-\infty\]
\[\forall n \geq 21:\frac{0,99^n}{1,01^n}>\frac{1,01^n-2,04}{0,99^n-2,04}\]
\showoff
Danke.
LG Olga
|
Profil
|
Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7280
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.1410, eingetragen 2019-07-25
|
\quoteon Aufgabe 4 - 111234a)
Es seien $a_0=−4$ und $a_1= 2$ die ersten beiden Glieder einer unendlichen Folgean. Ferner sei $a_n$ für jede natürliche Zahl $n >2$ das arithmetische Mittel der beiden vorhergehenden Glieder. Man zeige, dass die so definierte Folge $a_n$ eine geometrische Folge ist, und berechne für sie $\sum_{n=0}^\infty a_n$.
b) Es seien $a_0$ und $a_1$ die ersten beiden Glieder einer Folge $a_n$. Ferner sei $a_n$ für jede natüurliche Zahl $n >2$ arithmetisches Mittel der beiden vorhergehenden Glieder. Geben Sie in Form von Relationen zwischen $a_0$ und $a_1$ eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür an, dass $a_n$ eine geometrische Folge ist!
\quoteoff
Bemerkung: Die Aufgabe enthält einen Fehler. Die Voraussetzug muss bei a) und b) lauten:
"Ferner sei $a_n$ für jede natürliche Zahl $n\geq2$(!) arithmetisches Mittel der beiden vorhergehenden Glieder."
Ansonsten könnte $a_2$ jeden beliebigen Wert annehmen und man könnte aus Kenntnis von $a_0$ und $a_1$ allein nicht schließen, ob eine geometrische Reihe vorliegt.
Wir zeigen induktiv, dass $a_n=-4(-\frac{1}{2})^n$ gilt.
Induktionsanfang: $n=0$ und $n=1$:
$-4(-\frac{1}{2})^0=-4=a_0$
$-4(-\frac{1}{2})^1=-4(-\frac{1}{2})=2=a_1$
Induktionsschritt:
Die Gleichung $a_n=-4(-\frac{1}{2})^n$ gelte für alle $n\leq k$ (mit $k\geq 1$).
Nun ist $a_{k+1}=\frac{a_k+a_{k-1}}{2}=\frac{-4(-\frac{1}{2})^k+-4(-\frac{1}{2})^{k-1}}{2}=-4\cdot\frac{(-\frac{1}{2})^k+(-\frac{1}{2})^{k-1}}{2}=-4\cdot\frac{-2(-\frac{1}{2})^{k+1}+(-2)^2(-\frac{1}{2})^{k+1}}{2}=-4\cdot\frac{-2+(-2)^2}{2}\cdot (-\frac{1}{2})^{k+1}=-4\cdot\frac{-2+4}{2}\cdot (-\frac{1}{2})^{k+1}=-4\cdot (-\frac{1}{2})^{k+1}$.
$a_n$ ist also tatsächlich eine geometrische Folge mit dem Startglied $-4$ und dem Faktor $-\frac{1}{2}$.
Für die Summe der $a_n$ gilt nach der Summenformel geometrischer Reihen $\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty -4\cdot (-\frac{1}{2})^{n} =-4\cdot \sum_{n=0}^\infty (-\frac{1}{2})^{n} = -4\cdot\frac{1}{1-(-\frac{1}{2})} = -4\cdot\frac{2}{3} = -\frac{8}{3}$
Zu b)
Ist $a_0=a_1=0$, so sind alle weiteren Folgenglieder ebenfalls $0$ und es liegt eine geometrische Reihe vor.
Ist $ a_0=0$ und $a_1\neq 0$, so liegt keine geometrische Reihe vor, da es keinen Faktor $f$ mit $a_1=f\cdot a_0$ gibt.
Ist $ a_0\neq 0$ und $a_1=0$, so liegt keine geometrische Reihe vor, da es wegen $a_1=0$ und $a_2=\frac{a_0+a_1}{2}=\frac{a_0}{2}\neq0$ keinen Faktor $f$ mit $a_2=f\cdot a_1$ gibt.
Seien im Folgenden also $a_0$ und $a_1$ von $0$ verschieden.
Notwendigerweise müssen zumindest die ersten drei Glieder eine geometrische Reihe bilden. Es muss also $\frac{a_1}{a_0}=\frac{a_2}{a_1}$ gelten. Daraus folgt $a_1^2=a_0\cdot a_2=a_0\cdot \frac{a_0+a_1}{2}$ bzw. $2a_1^2=a_0^2 + a_0a_1$.
$a_0$ ist also Lösung der Gleichung: $a_0^2 + a_0a_1 - 2a_1^2=0$.
Diese Gleichung hat zwei Lösungen $-a_1/2 \pm \sqrt{a_1^2/4+2a_1^2} = -a_1/2 \pm 3|a_1|/2$. Es gilt also $a_0 = -a_1/2 + 3a_1/2 = a_1$ oder $a_0=-a_1/2 - 3a_1/2 = -2a_1$. Die Betragsstriche dürfen im letzten Schritt weggelassen werden, da ja sowieso beide Fälle - mit negativem und mit positivem Vorzeichen - erfasst werden.
Dieses Kriterium deckt auch die Fälle, in denen eines der beiden Anfangsglieder gleich 0 ist mit ab, so dass sich folgendes notwendige Kriterium ergibt:
Entweder ist $a_0=a_1$ oder $a_0=-2a_1$.
Dieses Kriterium ist gleichzeitig hinreichend.
Ist $a_0=a_1$ so sind alle Folgenglieder identisch und es ergibt sich eine geometrische Reihe mit dem Faktor 1.
Gilt $a_0=-2a_1$, so lässt sich der Induktionsbeweis aus a) direkt übertragen, es muss lediglich der Faktor $-4$ durch $a_0$ ersetzt werden. Beim Nachweis des Induktionsanfangs kommt die Bedingung $a_0=-2a_1$ zum Tragen.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.1411, eingetragen 2019-07-25
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Ein Bild zu
\quoteon
Aufgabe 6 - 040936
Auf die Flächen eines Würfels sind Pyramiden aufgesetzt, deren Grundflächen den Flächen des Würfels kongruent sind und deren Seitenflächen mit der Grundfläche Winkel von 45° bilden.
1. Wieviele Flächen hat der neue Körper, und welche Form haben diese Flächen?
2. Geben Sie das Volumen des zusammengesetzten Körpers als Funktion der Würfelkante an!
\quoteoff
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51007_35_55555555.png
\showon
\sourceon latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tikz-3dplot}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\begin{document}
\pgfmathsetmacro{\a}{2}
\pgfmathsetmacro{\h}{\a*tan(45)/2}
\def\ColorA{yellow!33} % lightgray
\def\ColorB{red!50} % red!50
\tdplotsetmaincoords{70}{50} %
\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords,
font=\footnotesize]
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
\coordinate[] (A) at (0,0,0);
\coordinate[] (B) at (\a,0,0);
\coordinate[] (C) at (\a,\a,0);
\coordinate[] (D) at (0,\a,0);
\coordinate[] (A-s) at (0,0,\a);
\coordinate[] (B-s) at (\a,0,\a);
\coordinate[] (C-s) at (\a,\a,\a);
\coordinate[] (D-s) at (0,\a,\a);
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\draw[gray] (A) -- (B) -- (C) -- (D) --cycle;
\foreach \Punkt in {B,C,D} \draw[gray] (\Punkt) -- (\Punkt-s);
\draw[gray] (A) -- (A-s);
\draw[gray] (A-s) -- (B-s) -- (C-s) -- (D-s) --cycle;
\end{pgfonlayer}
% links
\coordinate[] (M) at (intersection of A--B-s and B--A-s);
\path[] (M) --+ (0,-\h,0) coordinate[] (S);
\foreach[count=\n] \P/\Q in {A/A-s, A/B, B/B-s, A-s/B-s}{
\pgfmathsetmacro\Fill{mod(\n,2) ? "\ColorA" : "\ColorB"}
\draw[fill=\Fill] (S) -- (\P) -- (\Q) --cycle;
}
% rechts
\coordinate[] (M) at (intersection of C--D-s and D--C-s);
\path[] (M) --+ (0,\h,0) coordinate[] (S);
\foreach[count=\n] \P/\Q in {C/C-s}{ %, C/D, D/D-s, C-s/D-s
\pgfmathsetmacro\Fill{mod(\n,2) ? "\ColorA" : "\ColorB"}
\draw[fill=\Fill] (S) -- (\P) -- (\Q) --cycle;
}
% oben
\coordinate[] (M) at (intersection of A-s--C-s and B-s--D-s);
\path[] (M) --+ (0,0,\h) coordinate[] (S);
%\foreach \P in {A-s,B-s,C-s,D-s} \draw[] (\P) -- (S);
\foreach[count=\n] \P/\Q in {A-s/B-s,B-s/C-s}{
\pgfmathsetmacro\Fill{mod(\n,2) ? "\ColorA" : "\ColorB"}
\draw[fill=\Fill] (S) -- (\P) -- (\Q) --cycle;
}
% unten
\coordinate[] (M) at (intersection of A--C and B--D);
\path[] (M) --+ (0,0,-\h) coordinate[] (S);
%\foreach \P in {A,B,C,D} \draw[] (\P) -- (S);
\foreach[count=\n] \P/\Q in {A/B,B/C}{
\pgfmathsetmacro\Fill{mod(\n,2) ? "\ColorA" : "\ColorB"}
\draw[fill=\Fill] (S) -- (\P) -- (\Q) --cycle;
}
% vorne
\coordinate[] (M) at (intersection of B--C-s and C--B-s);
\path[] (M) --+ (\h,0,0) coordinate[] (S);
\foreach \P in {B,C,B-s,C-s} \draw[] (\P) -- (S);
\foreach[count=\n] \P/\Q in {B-s/C-s, B/B-s, B/C, C/C-s}{
\pgfmathsetmacro\Fill{mod(\n,2) ? "\ColorA" : "\ColorB"}
\draw[fill=\Fill] (S) -- (\P) -- (\Q) --cycle;
}
%% hinten
%\coordinate[] (M) at (intersection of A--D-s and D--A-s);
%\path[] (M) --+ (-\h,0,0) coordinate[] (S);
%\foreach \P in {A,D,A-s,D-s} \draw[] (\P) -- (S);
% CoSy
\begin{scope}[-latex, shift={($(D-s) + (1.5*\a,0)$)}]
\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/above, (0,1,0)/y/right, (0,0,1)/z/right}
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}
\sourceoff
\showoff
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Kitaktus
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| Beitrag No.1412, eingetragen 2019-07-25
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\quoteon Aufgabe 2 - 121232
Im Raum seien vier Punkte $P_1, P_2, P_3$ und $P_4$ gegeben, die nicht in ein und derselben Ebene liegen. Man ermittle die Anzahl aller derjenigen Ebenen, die von diesen vier Punkten gleich weit entfernt sind.
\quoteoff
Vorbemerkung: Wenn die vier Punkte nicht in einer Ebene liegen, so können auch nicht drei von ihnen auf einer gemeinsamen Geraden liegen. (1)
Wir unterscheiden danach, wie viele Punkte jeweils auf den beiden Seiten einer solchen Ebene E liegen.
1. Fall: Alle vier Punkte liegen auf der gleichen Seite von E. Dieser Fall ist nicht möglich, weil es sonst eine Ebene gäbe, die parallel zu E ist und alle vier Punkte enthält.
2. Fall: Drei Punkte liegen auf der einen Seite von E, der vierte auf der anderen. Die drei Punkte auf der einen Seite von E liegen in einer Ebene E', die parallel zu E ist, da sie alle den gleichen Abstand zu E haben. Diese Ebene ist wegen (1) eindeutig bestimmt. Betrachten wir nun das Lot l des vierten Punktes auf E', so steht l auch senkrecht auf E. E muss daher l genau halbieren, damit der Abstand aller vier Punkte zu E gleichgroß ist. Damit ist E eindeutig bestimmt. E ist parallel zu E' und geht durch den Mittelpunkt von l.
Da es vier Auswahlmöglichkeiten gibt, welcher Punkt derjenige ist, der alleine auf einer Seite von E liegt, ergeben sich hier vier verschiedene Ebenen.
3. Fall: Auf beiden Seiten liegen je zwei Punkte. Diese beiden Paare bestimmen zwei Geraden $g$ und $h$. Diese Geraden schneiden sich nicht und sind nicht parallel, da sonst alle vier Punkte in einer Ebene liegen würden. Die Geraden sind also windschief zueinander.
Eine Ebene, die zu zwei auf der gleichen Seite liegenden Punkten den gleichen Abstand hat, hat auch zur gesamten Geraden durch diese zwei Punkte den gleichen Abstand.
Die Ebene E muss zu den Gerade $g$ und $h$ parallel sein und den Abstand beider Geraden halbiert. Damit ist E eindeutig bestimmt.
Da es drei Auswahlmöglichkeiten gibt, welcher Punkt zusammen mt $P_1$ auf einer Seite von E liegt, ergeben sich hier drei verschiedene Ebenen.
Insgesamt gibt es also sieben Ebenen, die von allen vier Punkten den gleichen Abstand haben.
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Ex_Senior
| Beitrag No.1413, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-25
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Vielen Dank für die vielen neuen Lösungen und die Abbildungen.
Seit heute sind nun auch alle 147 Aufgaben I. Stufe der Klassenstufe 9 in der Datei.
Bei unserem Projekt haben wir jetzt 1472 Lösungen, 81 fehlen noch.
LG Steffen
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Kitaktus
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| Beitrag No.1414, eingetragen 2019-07-25
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\quoteon Aufgabe 3 - 151223
Die Forschungsabteilungen zweier volkseigener Betriebe sollen zu einer gemeinsamen Beratung genau je sechs Mitarbeiter delegieren. An der Beratung sollen insgesamt 6 Mathematiker und 6 Ingenieure teilnehmen. In der Forschungsabteilung des einen Betriebes arbeiten 5 Mathematiker und 7 Ingenieure, in der des anderen 7 Mathematiker und 5 Ingenieure. Man ermittle die Anzahl aller möglichen personellen Zusammensetzungen der Beratung unter den angegebenen Bedingungen. \quoteoff
Wenn die erste Abteilung $m$ Mathematiker entsendet, dann muss sie $6-m$ Ingenieure entsenden. Umgedreht muss die zweite Abteilung $6-m$ Mathematiker und $m$ Ingenieure entsenden. Dabei ist $m$ ganzzahlig und mindestens 0, aber höchstens 5, da es in der ersten Abteilung nur 5 Mathematiker gibt.
Es gibt dann $\binom{5}{m}\cdot\binom{7}{6-m}\cdot\binom{7}{6-m}\cdot\binom{5}{m}$ Möglichkeiten die Personen aus ihren entsprechenden Gruppen auszuwählen.
Die gesuchte Anzahl ist die Summe aller dieser Produkte über m=0 bis 5:
$\sum_{m=0}^{5} \binom{5}{m}^2\cdot\binom{7}{6-m}^2 = \binom{5}{0}^2\cdot\binom{7}{6}^2 + \binom{5}{1}^2\cdot\binom{7}{5}^2 + \binom{5}{2}^2\cdot\binom{7}{4}^2 + \binom{5}{3}^2\cdot\binom{7}{3}^2 +\binom{5}{4}^2\cdot\binom{7}{2}^2+\binom{5}{5}^2\cdot\binom{7}{1}^2
= 1^2\cdot7^2 + 5^2\cdot 21^2 + 10^2\cdot35^2 + 10^2\cdot35^2 +5^2\cdot21^2+1^2\cdot7^2 = 2\cdot(7^2+105^2+350^2) = 2\cdot(49+11025+122500) = 267148$.
Es gibt also insgesamt 267148 Möglichkeiten die Teilnehmer auszuwählen.
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Kitaktus
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| Beitrag No.1415, eingetragen 2019-07-25
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\quoteon Aufgabe 4 - 161224
Es seien x und y
a) nichtnegative reelle Zahlen,
b) nichtnegative ganze Zahlen,
für die die Ungleichungen
$8x+ 3y\leq 25$ (1)
$−2x+ 3y\leq 10$ (2)
erfüllt sind.
Man weise nach, dass für die Summe
$z= 2x+y$ (3)
in den Fällen a) bzw. b) jeweils ein größter Wert existiert, und gebe diesen für jeden der Fälle an.
\quoteoff
a) Multipliziert man dir Ungleichung (1) mit 4/15 und Ungleichung (2) mit 1/15 und addiert beide, so ergibt sich:
$\frac{32}{15}x+\frac{12}{15}y - \frac{2}{15}x +\frac{3}{15}y \leq \frac{100}{15}+\frac{10}{15}$ bzw. zusammengefasst $2x+y \leq \frac{22}{3}. (4)$
$z$ ist also höchstens $\frac{22}{3}$.
Für $x=\frac{3}{2}$ und $y=\frac{13}{3}$ sind (1) und (2) erfüllt: $12+13\leq 25$ und $-3+13\leq 10$. Außerdem gilt $z=2x+y=3+\frac{13}{3}=\frac{22}{3}$.
z ist also nach oben beschränkt und der größtmögliche Wert ist $\frac{22}{3}$.
b) Die hier zugelassenen Paare $(x;y)$ bilden eine Teilmenge der in a) zugelassenen Paare. $z$ kann in diesem Fall also keinen größeren Wert annehmen als in a). Es gilt daher ebenfalls $z\leq\frac{22}{3}$ (5).
Da $x$ und $y$ ganzzahlig sind, ist auch $z=2x+y$ ganzzahlig. Damit kann (5) verschärft werden zu $z\leq 7$.
Für $x=2$ und $y=3$ sind (1) und (2) erfüllt: $16+9\leq 25$ und $-4+9\leq 10$. Außerdem gilt $z=2x+y=4+3=7$.
z ist also auch hier nach oben beschränkt und der größtmögliche Wert ist $7$.
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weird
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| Beitrag No.1416, eingetragen 2019-07-25
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\quoteon(2019-07-25 10:27 - OlgaBarati in Beitrag No. 1409)
\quoteon(2019-07-24 23:20 - weird in Beitrag No. 1406)
Bei der folgenden Aufgabe ist mir nicht ganz klar, ob die untenstehende Lösung im Sinne der Aufgabenstellung gültig ist, da sie für ein spezielles $n$ eine Schwachstelle aufweist.
\quoteonAufgabe 6 - 241236
Man ermittle alle diejenigen natürlichen Zahlen n, für die gilt:
\[99^n +101^n > \frac{51} {25} ·100^n\quad (1)\]
\showon
Indem wir beide Seiten der Ungleichung (1) durch $100^n$ dividieren, lässt sie sich auch schreiben in der Form
\[\left(1-\frac1{100}\right)^n+\left(1+\frac1{100}\right)^n>\frac{51}{25}=2.04\quad (*)\]
Nun gilt
\[\forall n\ge 21: \left(1-\frac1{100}\right)^n+\left(1+\frac1{100}\right)^n=2\sum\limits_{k=0}^{\lfloor\frac n2\rfloor}\binom n{2k}100^{-2k} >2\left(1+ \binom {21}2 \frac1{100^2 } \right)=2.042>2.04\]
d.h., (1) ist jedenfalls für alle $n\ge 21$ gültig, während für $n=20$ diese einfache Abschätzung noch nicht ausreicht.
Dass sie andererseits für $n\le19$ falsch ist, ist ebenfalls klar und folgt unmittelbar aus
\[\forall n\le 19: \quad \left(1-\frac1{100}\right)^n+\left(1+\frac1{100}\right)^n<2\cosh(\frac n{100}) \le 2\cosh(\frac{19}{100})\approx 2.0362\]
während der Fall $n=20$ wegen $2\cosh(0.2)\approx 2.0401$ auch hier unentschieden ist. Um zu sehen, dass (1) für $n=20$ nicht gilt, bleibt also nur die direkte Auswertung von (*) für diesen Wert von $n$, was dann
\[0.99^{20}+1.01^{20}\approx 2.038\]
ergibt, d.h., es bleibt dabei, dass (1) genau für $n\ge21$ gilt.
\showoff
\quoteoff
\quoteoff
\showon\(0,99^n+1,01^n>2,04\)...nachgebessert heute um 14:45.
So weit war ich gekommen und hatte dann aufgegeben. Nun sehe ich die Lösung, die ich in der Form natürlich nicht gefunden hätte. Da ich mich aber nun mit der Aufgabe schon etwas länger - ohne ein Endergebnis zu bekommen - beschäftigt habe, bleibt noch meine Frage übrig: Wäre das Nachstehende als Abschätzung auch möglich / halbwegs richtig ? Oder anders gefragt, wäre das überhaupt eine Abschätzung im mathematischen Sinne ? Man muss n=21 ja erst ausrechnen bevor man die Aussage machen kann !?
\[0,99^n+1,01^n>2,04\]
\[(0,99^n+1,01^n)(0,99^n-1,01^n)>2,04(0,99^n-1,01^n)\]
\[0,99^{2n}-1,01^{2n}>2,04\cdot0,99^n-2,04\cdot1,01^n\]
\[0,99^n(0,99^n-2,04)>1,01^n(1,01^n-2,04)\]
\[\frac{0,99^n}{1,01^n}>\frac{1,01^n-2,04}{0,99^n-2,04}\]
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{0,99^n}{1,01^n}=\frac{0}{\infty}=0}\]
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{1,01^n-2,04}{0,99^n-2,04}=\frac{\infty}{-2,04}=-\infty}\]
\[0>-\infty\]
\[\forall n \geq 21:\frac{0,99^n}{1,01^n}>\frac{1,01^n-2,04}{0,99^n-2,04}\]
\showoff
Danke.
LG Olga
\quoteoff
Die letzte Zeile in deinen Ausführungen ist zweifellos richtig, nur fällt sie vollkommen vom Himmel, denn ich sehe da leider überhaupt keinen Zusammenhang mit den Zeilen davor, insbesondere auch nicht, warum die gemachte Aussage genau für $n\ge 21$ gelten sollte? :-?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1414 begonnen.]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.1417, eingetragen 2019-07-25
|
\quoteon(2019-07-25 15:09 - stpolster in Beitrag No. 1413)
Vielen Dank für die vielen neuen Lösungen und die Abbildungen.
Seit heute sind nun auch alle 147 Aufgaben I. Stufe der Klassenstufe 9 in der Datei.
Bei unserem Projekt haben wir jetzt 1472 Lösungen, 81 fehlen noch.
\quoteoff
Mir ist aufgefallen, dass man im PDF-Resultat nicht nach Wörtern mit Umlauten suchen kann, z.B. 'Würfel'. Zumindest im AdobeReader (mit Sumatra PDF scheint es zu gehen).
Das übliche Plamplam bei deutschsprachigen Dokumenten ist:
\sourceon (latex)
\usepackage{selinput}
\SelectInputMappings{adieresis={ä}, germandbls={ß}}
% oder
% \usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{microtype}
\usepackage{lmodern}
\sourceoff
das sollte ergänzt werden und dann sollte es gehen.
\showon
\sourceon latex
\documentclass{scrreprt}
\usepackage{selinput}
\SelectInputMappings{adieresis={ä}, germandbls={ß}}
% oder
% \usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{microtype}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{mwe}
\begin{document}
%\tableofcontents
\chapter{Kapitelname}
Würfel.
\section{Abschnitt}
\end{document}
\sourceoff
\showoff
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Kitaktus
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| Beitrag No.1418, eingetragen 2019-07-25
|
Hier wäre ein Korrekturlesen sehr sinnvoll. Da schleichen sich zu schnell Fehler ein.
\quoteon Aufgabe 2 - 171222
Über eine natürliche Zahl x werden von vier Schülern A, B, C, D je drei Aussagen gemacht.
Dabei macht der Schüler A genau zwei wahre Aussagen, während die Schüler B, C, D mindestens eine und höchstens zwei wahre Aussagen treffen.
Man ermittle alle natürlichen Zahlen a, die diesen Bedingungen genügen:
(A1) x ist dreistellig.
(A2) Es gilt: 500< x <600.
(A3) Jede der Ziffern 1, 3, 5, 7, 9 tritt genau einmal entweder in der dekadischen Darstellung von x oder in der dekadischen Darstellung der Quersumme von x auf; andere Ziffern kommen in beiden Darstellungen nicht vor.
(B1) In der dekadischen Darstellung von x ist die Anzahl der Zehner das arithmetische Mittel aus der Anzahl der Hunderter und der der Einer.
(B2) x ist das Produkt dreier voneinander verschiedener Primzahlen.
(B3) x ist durch 5 teilbar.
(C1) x ist eine Quadratzahl.
(C2) Streicht man in der dekadischen Darstellung von x die Hunderterziffer und fügt sie als (neue) Endziffer wieder an, so erhält man die dekadische Darstellung einer Primzahl.
(C3) Die dekadische Darstellung von x enthält mindestens drei gleiche Ziffern.
(D1) x ist das Produkt zweier zweistelliger Zahlen.
(D2) x ist Primzahl.
(D3) x ist ungerade
\quoteoff
Bemerkung: Im Aufgabentext sollte es richtigerweise heißen:
"Man ermittle alle natürlichen Zahlen x(!), die diesen Bedingungen genügen: ..." Von einem "a" ist nirgendwo sonst die Rede.
Angenommen, eine Zahl erfüllt die Bedingungen der Aufgabe.
Es gilt also
(1) A macht genau zwei wahre Aussagen.
(2) B, C und D machen jeweils genau eine oder genau zwei wahre Aussagen.
Wäre A1 falsch, dann wäre auch A2 falsch, im Widerspruch zu (1). Also ist A1 richtig. (3)
Im folgenden sei h die Hunderterziffer der Zahl, z die Zehnerziffer und e die Einerziffer.
Fall 1)
Angenommen A3 wäre richtig, dann ist die Zahl dreistellig und ihre Quersumme müsste zweistellig sein.
Da die Quersumme eine dreistelligen Zahl höchstens 27 ist, muss wegen A3 die erste Ziffer der Quersumme gleich 1 sein.
Sei r die Einerziffer der Quersumme, so gilt wegen A3: h+z+e=10+r <=> h+z+e+r=10+2r. h, z, e und r sind dabei gerade die vier Ziffern 3, 5, 7, 9. Es gilt also 10+2r = h+z+e+r = 24. Daraus folgt r=7. h, z und e sind also 3, 5 und 9.
Da A2 wegen (1) nicht erfüllt ist, kommen die vier Kombinationen 359, 395, 935 und 953 in Frage.
Für keine der Zahlen 359, 395, 935 und 953 ist B1 erfüllt.
Für 359 und 953 (beides sind Primzahlen) ist weder B2 noch B3 erfüllt. Das steht im Widerspruch zu (2)
Die Primfaktorzerlegungen der beiden übrigen Zahlen lauten: 395=5*79 und 935=5*11*17.
B2 ist also nur für 935 erfüllt und B3 für 395 und 935.
C1 und C3 gelten weder für 395 noch für 935. Wegen (2) muss also C2 gelten.
Führt man die in C2 beschriebene Prozedur durch, so erhält man die Zahlen 953 und 359. Beides sind (wie oben bereits erwähnt) Primzahlen C2 ist also erfüllt.
Sowohl für 395 als auch für 935 ist D3 wahr und D2 falsch. Unabhängig von D1 ist also die Bedingung aus (2) erfüllt.
Im Fall 1) kommen also nur die Zahlen 395 und 935 in Frage.
Fall 2)
Angenommen A3 wäre falsch, dann liegt die Zahl wegen (1) und A2 zwischen 500 und 600.
C2 ist dann nicht erfüllt, weil die neu gebildete Zahl am Ende eine 5 hätte und damit durch 5 teilbar wäre.
Es muss wegen (2) also entweder C1 oder C3 gelten.
C1 gilt wegen 22²=484<500 < 600 < 625=25² nur für 23²=529 und 24²=576.
C3 gilt nur für 555.
Für die drei Zahlen 529, 576 und 555 gilt nun:
B1 ist nur für 555 erfüllt.
B2 ist nur für 555 erfüllt -- 529=23*23, 576=2*2*2*2*2*2*3*3, 555=3*5*37.
B3 ist nur für 555 erfüllt.
Alle drei Zahlen widersprechen also der Bedingung (2).
Fazit: Es kommen insgesamt nur die Zahlen 395 und 935 in Frage.
Für beide Zahlen sind (1) und (2) erfüllt. Die wahren Aussagen sind:
395: A1, A3, B3, C2, D3
935: A1, A3, B3, C2, D1, D3
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1416 begonnen.]
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OlgaBarati
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| Beitrag No.1419, eingetragen 2019-07-25
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\quoteon(2019-07-25 16:42 - weird in Beitrag No. 1416)
Die letzte Zeile in deinen Ausführungen ist zweifellos richtig, nur fällt sie vollkommen vom Himmel, denn ich sehe da leider überhaupt keinen Zusammenhang mit den Zeilen davor, insbesondere auch nicht, warum die gemachte Aussage genau für $n\ge 21$ gelten sollte? :-?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1414 begonnen.]
\quoteoff
Vielen Dank, hatte ich fast schon so befürchtet.
Sehe mir das alles noch einmal neu an.
LG Olga
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weird
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| Beitrag No.1420, eingetragen 2019-07-25
|
Für die nachfolgende Aufgabe hat mir lange sowas wie ein "Plan" gefehlt, letztlich ist er aber erstaunlich einfach - allerdings wie so oft erst im Nachhinein. :-D
\quoteonAufgabe 5 - 241235
Man ermittle alle diejenigen Tripel $(a,b,c)$ positiver natürlicher Zahlen, für die $a^b +b^c = abc$ gilt.
\quoteoff
\showon
Wir beginnen mit zwei einfachen Hilfssätzen.
Lemma 1:
\[\forall a\ge 2\ \forall b\ge 4:\quad a^b\ge a^2b\]
Beweis: Offenbar genügt es dafür
\[\forall b\ge 4:\quad 2^{b-2}\ge b\]
einfach zu zeigen. Dies ist aber für $b=4$ trivialerweise erfüllt und falls es für ein $b\ge 4$ gilt, dann wegen
\[2^{(b+1)-2}=2*2^{b-2}\ge 2b>b+1\]
auch für $b+1$, q.e.d.
Lemma 2:
\[ \forall b\ge 4\ \forall c\ge 3:\quad b^c> bc^2\]
Beweis: Auch das lässt sich sofort wieder auf die einfachere Behauptung
\[\forall c\ge 3:\quad 4^{c-1}> c^2\]
zurückführen, welche wir wieder mit Induktion beweisen. Dabei kann die Gültigkeit der Behauptung für $c=3$ sofort direkt nachgerechnet werden kann und aus der Gültigkeit für ein $c\ge 3$ folgt sofort auch ihr Gültigkeit für $c+1$:
\[4^c=4\cdot 4^{c-1}> (2c)^2>(c+1)^2\]
q.e.d.
Damit folgt nun aus der bekannten Ungleichung für das arithmetische und geometrische Mittel sofort, dass es unter den Voraussetzungen der beiden obigen Hilfssätze keine Lösung der Gleichung in der Aufgabe geben kann:
\[\forall a\ge 2\ \forall b\ge 4\ \forall c\ge 3:\quad a^b+b^c> 2\sqrt{(a^2b)(bc^2)}=2abc>abc\quad (*)\]
Wir müssen also nur die durch (*) noch nicht abgedeckten Tripel $(a,b,c)$ überprüfen, was dann schließlich auf die folgenden fünf Lösungen der Aufgabe hier führt:
\[(a,b,c)\in\{(1,1,2),(2,2,2),(2,2,3),(4,2,3),(4,2,4)\} \]
\showoff
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Ex_Senior
| Beitrag No.1421, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-25
|
\quoteon(2019-07-25 17:45 - HyperPlot in Beitrag No. 1417)
Das übliche Plamplam bei deutschsprachigen Dokumenten ist:
\sourceon (latex)
\usepackage{selinput}
\SelectInputMappings{adieresis={ä}, germandbls={ß}}
% oder
% \usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{microtype}
\usepackage{lmodern}
\sourceoff
das sollte ergänzt werden und dann sollte es gehen.
\quoteoff
Funktioniert. Allerdings kollidiert selinput mit meinem "Rest". Ohne das get es auch. Man kann jetzt auch nach Umlauten suchen.
Kleiner, unschöner Nebeneffekt ist, dass die Datei gleich gut 250 k größer wurde.
Im Moment sieht es jetzt also so aus:
\sourceon (latex)
\documentclass[10pt,a4paper]{scrartcl}
%\usepackage{selinput}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{microtype}
\usepackage{tikz,fullpage,enumerate,icomma}
\usetikzlibrary{arrows,calc,intersections,patterns,arrows.meta,backgrounds,
positioning,angles, quotes, babel, through}
\usepackage{tikz-3dplot}
\usepackage{standalone}
\usepackage[headsepline, footsepline, autoenlargeheadfoot=true]{scrlayer-scrpage}
\chead[]{\headmark}
\automark{subsubsection}
\cfoot[]{\pagemark}
\usepackage[
type={CC},
modifier={by-nc-sa},
version={3.0},
]{doclicense}
\usepackage{geometry}
\geometry{
left=2.5cm,
right=2.5cm,
marginpar=3cm,
top=2.5cm,
bottom=2.5cm,
headsep=0.8cm
}
\setlength{\parindent}{0pt}
\usepackage{pdfpages}
\usepackage{arcs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{framed}
\usepackage{hyperref}
\sourceoff
LG Steffen
Nachtrag: Ich habe erst einmal die beiden Packages wieder herausgenommen. Die Übersetzungszeit der Datei ist um 50 % gestiegen. Merkwürdig.
In der finalen Version binde ich sie wieder ein.
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Kuestenkind
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| Beitrag No.1422, eingetragen 2019-07-26
|
Huhu,
hier noch eine kurze Aufgabe:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2019-07-25_um_23.38.22.png
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2019-07-25_um_23.37.56.png
Aus Symmetriegründen reicht es, dass Dreieck \(FBE\) zu berechnen. Dafür stellen wir zunächst einmal fest, dass die Dreiecke \(AFB\) und \(CEB\) offensichtlich den gleichen Flächeninhalt haben, da sie zusammen mit Dreieck \(FBE\) jeweils ein Dreieck mit gleicher Höhe und Grundseite bilden. Wir berechnen nun zunächst den Flächeninhalt von \(\triangle ABC\) in Abhängigkeit von \(a\) und \(q\). Laut Voraussetzung ist \(x=q\cdot b\). Nun ist \(x=\sqrt{a^2+b^2}\). Einsetzen und quadrieren liefert:
\(\displaystyle a^2+b^2=q^2b^2\)
\(\displaystyle a^2=q^2b^2-b^2=b^2(q^2-1)\)
\(\displaystyle b^2=\frac{a^2}{q^2-1}\)
\(\displaystyle b=\frac{a\sqrt{q^2-1}}{q^2-1}\)
Damit: \(\displaystyle A_{\triangle ABC}=\frac{ab}{2}=\frac{a^2\sqrt{q^2-1}}{2(q^2-1)}\)
Laut Kathetensatz gilt im Dreieck \(ABC\) nun \(b^2=zx\iff z=\frac{b^2}{x}\).
Nach Strahlensatz gilt \(\frac{b}{h}=\frac{x}{z}\iff h=\frac{bz}{x}\). Einsetzen liefert:
\(\displaystyle h=\frac{b^2\cdot \frac{b^2}{x}}{x}=\frac{b^3}{x^2}=\frac{b^3}{q^2b^2}=\frac{b}{q^2}=\frac{a\sqrt{q^2-1}}{q^2(q^2-1)}\)
Der Flächeninhalt des Vierecks beträgt also:
\(\displaystyle A=2\cdot\left(\frac{a^2\sqrt{q^2-1}}{2(q^2-1)}-2\cdot \frac{a\cdot a\sqrt{q^2-1}}{2q^2(q^2-1)}\right)=\frac{a^2\sqrt{q^2-1}(q^2-2)}{q^2(q^2-1)} \)
Gute Nacht,
Küstenkind
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Ex_Senior
| Beitrag No.1423, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-26
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Hallo Küstenkind,
eine kleine Korrektur. Die Rechnung ist richtig für $q>\sqrt 2$. Für $q<\sqrt 2$ ist Reihenfolge von $E,F$ auf der Diagonale vertauscht und der Faktor $q^2-2$ bekommt ein anderes Vorzeichen.
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Ex_Senior
| Beitrag No.1424, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-26
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Bitte das Folgende mal nachrechnen; die Ergebnisse sehen so "unrund" aus...
\quoteon
Aufgabe 161222: Einer Kugel $K_1$ mit gegebenem Radius $r$ sei ein Zylinder $Z_1$ mit quadratischem Achsenschnitt einbeschrieben. Diesem Zylinder $Z_1$ sei eine Kugel $K_2$ und dieser wieder ein Zylinder $Z_2$ mit quadratischem Achsenschnitt einbeschrieben.
Dieses Verfahren sei weiter fortgesetzt, d.h., liegen für eine natürliche Zahl $n$ bereits eine Kugel $K_n$ und ein Zylinder $Z_n$ mit quadratischem Achsenschnitt vor, so sei dem Zylinder $Z_n$ eine Kugel $K_{n+1}$ und dieser wieder ein Zylinder $Z_{n+1}$ mit quadratischem Achsenschnitt einbeschrieben.
Für jedes $n= 1,2,\dots$ sei $V_n$ das Volumen der Kugel $K_n$, und es sei $S_n=V_1+V_2+\dots+V_n$.
a) Man ermittle das Volumen $V_{10}$.
b) Man ermittle $S_{10}$.
c) Man berechne $\lim_{n\rightarrow\infty} S_n$, falls dieser Grenzwert existiert.
Hinweis: Ein Zylinder heißt einer Kugel einbeschrieben, wenn die Kreislinien, die seine beiden Grundflächen beranden, auf der Kugel liegen. Eine Kugel in einem Zylinder mit quadratischem Achsenschnitt heißt diesem Zylinder einbeschrieben, wenn sie seine beiden Grundflächen berührt.
\quoteoff
Lösung:
Sei $K$ eine Kugel mit Radius $R$, $Z$ ein ihr einbeschriebener Zylinder mit quadratischem Achsenabschnitt und $k$ eine diesem Zylinder einbeschriebene Kugel mit Radius $r$. Ein ebener Schnitt, der den Achsenabschnitt des Zylinders enthält, erzeugt als Schnittfigur einen Kreis mit Radius $R$, dem ein Quadrat einbeschrieben ist, welchem ein Kreis mit Radius $r$ einbeschrieben ist. Also ist $2R$ die Länge der Diagonalen des Quadrats und $2r$ dessen Kantenlänge, sodass $R=\sqrt{2}r$ bzw. $r=\frac{\sqrt{2}}{2}R$ gilt. Ist $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ das Volumen der Kugel $K$, so beträgt also das Volumen $v$ von $k$ genau $v=\frac{4}{3}\pi \cdot r^3=V \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Damkit ergibt sich für die Aufgabe
$V_n=\frac{4}{3} \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{n-1} \cdot r^3$
und
$S_n=\frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \cdot \left(\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^k\right)=\frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \cdot \frac{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^n}{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}=\frac{4}{3} \pi \cdot \frac{4^n-\sqrt{2}^n}{4^n-\sqrt{2}\cdot 4^{n-1}}.$
Insbesondere ist also
$V_{10}=\frac{4}{3} \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^9 \cdot r^3=\frac{2^2}{3} \cdot \pi \cdot \frac{2^4 \cdot \sqrt{2}}{2^{18}} \cdot r^3=\frac{\sqrt{2}}{2^{12} \cdot 3} \cdot \pi \cdot r^3$
und
$S_{10}=\frac{4}{3} \pi \cdot \frac{4^{10}-\sqrt{2}^{10}}{4^{10}-\sqrt{2}\cdot 4^9}=\frac{2^2}{3} \pi \cdot \frac{2^{20}-2^5}{2^{20}-\sqrt{2}\cdot 2^{18}}=\frac{1}{3} \pi \cdot \frac{2^{15}-1}{2^{13}-\sqrt{2}\cdot 2^{11}}=\frac{1}{3} \pi \cdot \frac{32767}{8192-2048\sqrt{2}}$
sowie
$\lim_{n\rightarrow\infty} S_n=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \cdot \frac{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^n}{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}=\frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \cdot \frac{1}{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}=\frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \cdot \frac{4}{4-\sqrt{2}}=\frac{16}{3}\pi \cdot r^3 \cdot \frac{4+\sqrt{2}}{(4-\sqrt{2})(4+\sqrt{2})}=\frac{16}{3}\pi \cdot r^3 \cdot \frac{4+\sqrt{2}}{4^2-2^2}=\frac{16+4\sqrt{2}}{9} \pi \cdot r^3.$
Cyrix
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1391 begonnen.]
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Ex_Senior
| Beitrag No.1425, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-26
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Beim Abtippen der Musterlösungen der I. Stufe bin ich über folgende Aufgabe gestolpert, für die keine solche Lösung vorliegt.
Aufgabe 1 - 101011
Zwei Schüler $A$ und $B$ spielen miteinander folgendes Spiel.
Von einem Haufen mit genau 150 Streichhölzern müssen beide jeweils nacheinander Streichhölzer entnehmen, und zwar jeweils mindestens 1 Streichholz, aber höchstens 10 Streichhölzer, wobei A beginnt. Sieger ist derjenige, der das letzte Streichholz fortnehmen kann.
Entscheiden Sie, wer von beiden seinen Sieg erzwingen kann, und geben Sie an, auf welche Weise er mit Sicherheit zum Ziel gelangt!
Die Aufgabe ist wahrscheinlich lächerlich, aber genau der Typ von Aufgabe mit der ich nichts anfangen kann.
Kann jemand helfen?
Danke
Steffen
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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
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| Beitrag No.1426, eingetragen 2019-07-26
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Hi Steffen,
der erste Spieler A nimmt 7 Streichhölzer. Dann bleiben 143 liegen. Anschließend nimmt er immer so viele Streichhölzer weg, dass nach seinem Zug deren Anzahl durch 11 teilbar ist. Am Ende nimmt er das letzte Streichholz und gewinnt.
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Ex_Senior
|  Beitrag No.1427, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-26
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\quoteon(2019-07-26 08:47 - ochen in Beitrag No. 1426)
Hi Steffen,
der erste Spieler A nimmt 7 Streichhölzer. Dann bleiben 143 liegen. Anschließend nimmt er immer so viele Streichhölzer weg, dass nach seinen Zug deren Anzahl durch 11 teilbar ist. Am Ende nimmt er das letzte Streichholz und gewinnt.
\quoteoff
Danke
Steffen
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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
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| Beitrag No.1428, eingetragen 2019-07-26
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Huhu Tom,
Danke - wie dumm von mir. Dass der Flächeninhalt dann negativ wird, hätte ich wohl sehen sollen. Für \(q=\sqrt{2}\) ergibt sich ja auch gerade ein Quadrat und das Viereck wird ziemlich klein. Es fehlt also noch die Fallunterscheidung. Ich werde es im Laufe des Tages noch mal überarbeiten, wenn ich Zeit finde.
@Steffen: Du hast die Lösung schon übernommen sehe ich. Sie ist:
a) Unvollständig (wie Tom richtig geschrieben hat).
b) Der erste Satz passt von der Rechtschreibung noch nicht.
c) Die Strecken \(x\), \(z\) und \(h\) habe ich ja gesetzt und sie sind so nicht in der Aufgabe zu finden. Kannst du das noch ins Bild übernehmen? Ansonsten würde ich noch dazu schreiben, welche Strecke das jeweils ist.
d) Du müsstest bei der neuen Lösung dann noch Tom als Löser eintragen.
Gruß,
Küstenkind
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Kitaktus
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Dabei seit: 11.09.2008
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| Beitrag No.1429, eingetragen 2019-07-26
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\quoteon(2019-07-26 07:31 - cyrix in Beitrag No. 1424)
Bitte das Folgende mal nachrechnen; die Ergebnisse sehen so "unrund" aus...
\quoteon
Aufgabe 161222: Einer Kugel $K_1$ mit gegebenem Radius $r$ sei ein Zylinder $Z_1$ mit quadratischem Achsenschnitt einbeschrieben. Diesem Zylinder $Z_1$ sei eine Kugel $K_2$ und dieser wieder ein Zylinder $Z_2$ mit quadratischem Achsenschnitt einbeschrieben.
Dieses Verfahren sei weiter fortgesetzt, d.h., liegen für eine natürliche Zahl $n$ bereits eine Kugel $K_n$ und ein Zylinder $Z_n$ mit quadratischem Achsenschnitt vor, so sei dem Zylinder $Z_n$ eine Kugel $K_{n+1}$ und dieser wieder ein Zylinder $Z_{n+1}$ mit quadratischem Achsenschnitt einbeschrieben.
Für jedes $n= 1,2,\dots$ sei $V_n$ das Volumen der Kugel $K_n$, und es sei $S_n=V_1+V_2+\dots+V_n$.
a) Man ermittle das Volumen $V_{10}$.
b) Man ermittle $S_{10}$.
c) Man berechne $\lim_{n\rightarrow\infty} S_n$, falls dieser Grenzwert existiert.
Hinweis: Ein Zylinder heißt einer Kugel einbeschrieben, wenn die Kreislinien, die seine beiden Grundflächen beranden, auf der Kugel liegen. Eine Kugel in einem Zylinder mit quadratischem Achsenschnitt heißt diesem Zylinder einbeschrieben, wenn sie seine beiden Grundflächen berührt.
\quoteoff
Lösung:
Sei $K$ eine Kugel mit Radius $R$, $Z$ ein ihr einbeschriebener Zylinder mit quadratischem Achsenabschnitt und $k$ eine diesem Zylinder einbeschriebene Kugel mit Radius $r$. Ein ebener Schnitt, der den Achsenabschnitt des Zylinders enthält, erzeugt als Schnittfigur einen Kreis mit Radius $R$, dem ein Quadrat einbeschrieben ist, welchem ein Kreis mit Radius $r$ einbeschrieben ist. Also ist $2R$ die Länge der Diagonalen des Quadrats und $2r$ dessen Kantenlänge, sodass $R=\sqrt{2}r$ bzw. $r=\frac{\sqrt{2}}{2}R$ gilt. Ist $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ das Volumen der Kugel $K$, so beträgt also das Volumen $v$ von $k$ genau $v=\frac{4}{3}\pi \cdot r^3=V \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Damkit ergibt sich für die Aufgabe
$V_n=\frac{4}{3} \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{n-1} \cdot r^3$
und
$S_n=\frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \cdot \left(\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^k\right)=\frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \cdot \frac{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^n}{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}=\frac{4}{3} \pi \cdot \frac{4^n-\sqrt{2}^n}{4^n-\sqrt{2}\cdot 4^{n-1}}.$
Insbesondere ist also
$V_{10}=\frac{4}{3} \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^9 \cdot r^3=\frac{2^2}{3} \cdot \pi \cdot \frac{2^4 \cdot \sqrt{2}}{2^{18}} \cdot r^3=\frac{\sqrt{2}}{2^{12} \cdot 3} \cdot \pi \cdot r^3$
und
$S_{10}=\frac{4}{3} \pi \cdot \frac{4^{10}-\sqrt{2}^{10}}{4^{10}-\sqrt{2}\cdot 4^9}=\frac{2^2}{3} \pi \cdot \frac{2^{20}-2^5}{2^{20}-\sqrt{2}\cdot 2^{18}}=\frac{1}{3} \pi \cdot \frac{2^{15}-1}{2^{13}-\sqrt{2}\cdot 2^{11}}=\frac{1}{3} \pi \cdot \frac{32767}{8192-2048\sqrt{2}}$
sowie
$\lim_{n\rightarrow\infty} S_n=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \cdot \frac{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^n}{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}=\frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \cdot \frac{1}{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}=\frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \cdot \frac{4}{4-\sqrt{2}}=\frac{16}{3}\pi \cdot r^3 \cdot \frac{4+\sqrt{2}}{(4-\sqrt{2})(4+\sqrt{2})}=\frac{16}{3}\pi \cdot r^3 \cdot \frac{4+\sqrt{2}}{4^2-2^2}=\frac{16+4\sqrt{2}}{9} \pi \cdot r^3.$
Cyrix
\quoteoff
Hallo Cyrix,
die Rechnung enthält tatsächlich einen Fehler. Ganz zum Schluss ist der Nenner nicht $4^2-2^2 (=12)$ sondern $4^2-\sqrt{2}^2 (=14)$.
Weiterhin fehlt in der Berechnung von $S_{10}$ durchgehend der Faktor $r^3$. Der fehlt auch im letzten Schritt der Berechnung von $S_n$.
Ansonsten hätte ich noch - aus ästhetischen Gründen - bei $S_n$ und $S_{10}$ die Nenner rational gemacht. Aber das ist Geschmackssache.
In "Damkit ergibt sich für die Aufgabe ..." ist ein k Zuviel.
Viele Grüße,
Kitaktus
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Kuestenkind
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| Beitrag No.1430, eingetragen 2019-07-26
|
Huhu,
neue Lösung:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2019-07-25_um_23.38.22.png
Da die Diagonale im Quadrat mit Seitenlänge \(a\) die Länge \(d=a\sqrt{2}\) besitzt und die Diagonalen im Quadrat senkrecht aufeinander stehen, verschwindet das Viereck \(FBED\) für \(q=\sqrt{2}\). Wir unterscheiden nun die Fälle \(q>\sqrt{2}\) und \(q<\sqrt{2}\):
1. Fall: \(q>\sqrt{2}\)
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2019-07-25_um_23.37.56.png
Zunächst einmal definieren wir folgende Variablen: Sei \(x:=|\overline{AC}|\), \(z:=|\overline{EC}|=|\overline{AF}|\) und \(h:=|\overline{FG}|\), wobei \(G\) der Lotfußpunt von \(F\) auf die Seite \(AB\) ist.
Aus Symmetriegründen reicht es, dass wir den Flächeninhalt von Dreieck \(FBE\) berechnen und diesen anschließend verdoppeln. Dafür stellen wir zunächst einmal fest, dass die Dreiecke \(ABF\) und \(CEB\) offensichtlich den gleichen Flächeninhalt haben, da sie zusammen mit Dreieck \(FBE\) jeweils ein Dreieck mit gleicher Höhe und Grundseite bilden. Wir berechnen nun zunächst den Flächeninhalt von \(\triangle ABC\) in Abhängigkeit von \(a\) und \(q\). Laut Voraussetzung ist \(x=q\cdot b\). Nun ist \(x=\sqrt{a^2+b^2}\). Einsetzen und quadrieren liefert:
\(\displaystyle a^2+b^2=q^2b^2\)
\(\displaystyle a^2=q^2b^2-b^2=b^2(q^2-1)\)
\(\displaystyle b^2=\frac{a^2}{q^2-1}\)
\(\displaystyle b=\frac{a\sqrt{q^2-1}}{q^2-1}\)
Damit: \(\displaystyle A_{\triangle ABC}=\frac{ab}{2}=\frac{a^2\sqrt{q^2-1}}{2(q^2-1)}\)
Laut Kathetensatz gilt im Dreieck \(ABC\) nun \(b^2=zx\iff z=\frac{b^2}{x}\).
Nach Strahlensatz gilt \(\frac{b}{h}=\frac{x}{z}\iff h=\frac{bz}{x}\). Einsetzen liefert:
\(\displaystyle h=\frac{b \cdot \frac{b^2}{x}}{x}=\frac{b^3}{x^2}=\frac{b^3}{q^2b^2}=\frac{b}{q^2}=\frac{a\sqrt{q^2-1}}{q^2(q^2-1)}\)
Der Flächeninhalt des Vierecks beträgt also:
\(\displaystyle A=2\cdot\left(\frac{a^2\sqrt{q^2-1}}{2(q^2-1)}-2\cdot \frac{a\cdot a\sqrt{q^2-1}}{2q^2(q^2-1)}\right)=\frac{a^2\sqrt{q^2-1}(q^2-2)}{q^2(q^2-1)} \)
2. Fall: \(q<\sqrt{2}\)
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2019-07-26_um_11.49.50.png
Für \(q<\sqrt{2}\) ändert sich die Reihenfolge von \(E\) und \(F\) auf der Diagonalen. Sei nun also \(x:=|\overline{AC}|\), \(z:=|\overline{FC}|=|\overline{AE}|\) und \(h:=|\overline{EG}|\), wobei \(G\) der Lotfußpunt von \(E\) auf die Seite \(AB\) ist.
Nun gilt nach Kathetensatz \(a^2=zx\iff z=\frac{a^2}{x}\). Eingesetzt:
\(\displaystyle h=\frac{b \cdot \frac{a^2}{x}}{x}=\frac{a^2b}{x^2}=\frac{a^2b}{q^2b^2}=\frac{a^2}{q^2b}=\frac{a^2(q^2-1)}{q^2a\sqrt{q^2-1}}=\frac{a\sqrt{q^2-1}}{q^2}\)
Der Flächeninhalt beträgt somit:
\(\displaystyle A=2\cdot\left(\frac{a^2\sqrt{q^2-1}}{2(q^2-1)}-2\cdot \frac{a\sqrt{q^2-1} \cdot a}{2q^2}\right)=\frac{a^2\sqrt{q^2-1}(q^2-2(q^2-1))}{q^2(q^2-1)}=\frac{a^2\sqrt{q^2-1}(2-q^2)}{q^2(q^2-1)} \)
Somit folgt für den Flächeninhalt \(\displaystyle A=\frac{a^2\sqrt{q^2-1}|q^2-2|}{q^2(q^2-1)} \)
Gruß,
Küstenkind
PS: In der Rechnung war auch noch ein Schreibfehler. Ich hoffe nun passt das so (ansonsten nochmal meckern bitte). Der Löser bedankt sich noch mal ausdrücklich bei Tom für sein wachsames Auge!
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Ex_Senior
| Beitrag No.1431, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-26
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Hallo Küstenkind,
ein Anmerkung habe ich noch. Den 2ten Fall mußt nicht neu rechnen. Für $q>\sqrt 2$ hast Du $|ABC|=|AFB|+|FEB|+|ECB|$ und für $q<\sqrt 2$ gilt $|ABC|=|AFB|-|FEB|+|ECB|$, s.d Du einfach die Formel aus 1) nur mit anderm Vorzeichen übernehmen kannst.
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Kuestenkind
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| Beitrag No.1432, eingetragen 2019-07-26
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Ah - das ist eine hübsche Begründung! Ich hatte kurz überlegt - aber mir war keine griffige Begründung adhoc eingefallen (was ich einfach mal auf Hitze schiebe :-P ), wieso ich einfach das Vorzeichen drehen kann. Aber so ist es klar! Die Rechnung dauerte nach obiger Vorarbeit aber auch nicht wirklich lange. Aber deine Begründung ist natürlich wesentlich eleganter! Danke!
Sonnige Grüße aus dem Norden,
Küstenkind
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OlgaBarati
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| Beitrag No.1433, eingetragen 2019-07-26
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50783_221243.png \showon Lösung (nur Teil b)
Mit \(0 \in \mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}\) ist in beiden Aufgabenteilen, a) und b), die Null als nichtnegative Zahl zugelassen.
\(x_1+x_2+x_3+x_4=4\;\;\;(1)\)
\(x_2+2x_3+3x_4=4\;\;\;\;\;\;\;(2)\)
\(s=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\;\;\;(3)\)
Damit ergeben sich aus \((1)\) \((x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4) \in \lbrace0,1,2,3,4\rbrace\) und aus \((2)\;\)\(\forall x_3>0: x_4<1\) sowie \(\forall x_4>0: x_3<1\) als augenscheinliche Lösungen für \((2)\) die Quadrupel \((x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4) \in \lbrace(0,\;4,\;0,\;0),\;(0,\;2,\;1,\;0),\;(0,\;0,\;2,\;0),\;(0,\;1,\;0,\;1)\rbrace\) die zur Erfüllung von \((1)\) noch mit \(x_1\) zu überprüfen sind und mit \((x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4) \in \lbrace(0,\;4,\;0,\;0),\;(1,\;2,\;1,\;0),\;(2,\;0,\;2,\;0),\;(2,\;1,\;0,\;1)\rbrace\) diejenigen sind, die \((1)\) und \((2)\) erfüllen.
Die beiden Quadrupel \((x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4) \in \lbrace(1,\;2,\;1,\;0),\;(2,\;1,\;0,\;1)\rbrace\) erreichen mit \(s_{min}=6\) den Minimalwert für \((3)\).
\showoff LG Olga
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Kitaktus
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| Beitrag No.1434, eingetragen 2019-07-26
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\quoteon Aufgabe 3 - 221243
Man untersuche, ob es es nichtnegative
a) reelle Zahlen $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$,
b) ganze Zahlen $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$
mit $x_1+x_2+x_3+x_4 = 4$ und $x_2+2x_3+3x_4 = 4$ gibt, so dass die Summe
$s = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$
einen kleinsten Wert annimmt. Ist das der Fall, so ermittle man jeweils zu a) bzw. b) solche Zahlen
$x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, sowie den zugehörigen Wert $s$.
\quoteoff
a)
Löst man die beiden Gleichungsnebenbedingungen nach $x_2$ und $x_1$ auf, so erhält man:
(1) $x_2=4-2x_3-3x_4$ und
(2) $x_1=x_3+2x_4$.
Eingesetzt in die Gleichung $s = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$ ergibt sich:
$s = (x_3+2x_4)^2 + (4-2x_3-3x_4)^2 + x_3^2 + x_4^2$
$= x_3^2+4x_3x_4+4x_4^2 + 16 - 16x_3 -24x_4 + 4x_3^2 + 12x_3x_4 +9x_4^2 + x_3^2 + x_4^2$
$= 6x_3^2+16x_3x_4+14x_4^2 - 16x_3 -24x_4 + 16$
$= 6(x_3+(4/3)(x_4-1))^2 +(14-32/3)x_4^2 -(24-64/3)x_4 + (16-32/3)$
$= 6(x_3+(4/3)(x_4-1))^2 +(10/3)(x_4^2 -(4/5)x_4 + (8/5))$
$= 6(x_3+(4/3)(x_4-1))^2 +(10/3)(x_4 -2/5)^2 + (10/3)(8/5-4/25))$
$= 6(x_3+(4/3)(x_4-1))^2 +(10/3)(x_4 -2/5)^2 + 24/5 \geq 24/5$.
$s$ ist also durch $24/5$ nach unten beschränkt.
Für $x_1=8/5; x_2=6/5; x_3=4/5; x_4=2/5$ sind die beiden Nebenbedingungen erfüllt, da $(8+6+4+2)/5=20/5=4$ und $(6+2\cdot4+3\cdot2)/5=20/5=4$ gilt. Für diese Variablenbelegung ist $s=(8^2+6^2+4^2+2^2)/5^2 = 120/25 = 24/5$.
Die untere Schranke wird also angenommen.
Fazit: Die Summe $s$ nimmt den kleinsten Wert $24/5$ an, wenn $x_1=8/5; x_2=6/5; x_3=4/5; x_4=2/5$ ist.
b) Sind die Zahlen $x_1, x_2, x_3$ und $x_4$ ganzzahlig, so ist auch $s = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$ ganzzahlig.
Eine Zahl $x_i$ und ihr Quadrat $x_i^2$ haben die gleiche Parität (d.h. den gleichen Rest bei Division durch 2). Daher hat $s$ die gleiche Parität wie $x_1+x_2+x_3+x_4 = 4$. $s$ ist also in jedem Fall gerade.
Genauso wie in a) gilt die Ungleichung $s\geq 24/5>20/5=4$. Da $s$ ganzzahlig und gerade ist, kann das verschärft werden zu $s\geq 6$.
Für $x_1=1; x_2=2; x_3=1; x_4=0$ sind die beiden Nebenbedingungen erfüllt, da $1+2+1+0=4$ und $2+2\cdot1+3\cdot0=4$ gilt. Für diese Variablenbelegung ist $s=1^2+2^2+1^2+0^2 = 6$.
Die untere Schranke wird also angenommen.
Fazit: Die Summe $s$ nimmt den kleinsten Wert $6$ an, wenn $x_1=1; x_2=2; x_3=1; x_4=0$ ist.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1432 begonnen.]
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OlgaBarati
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| Beitrag No.1435, eingetragen 2019-07-26
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Kitaktus
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| Beitrag No.1436, eingetragen 2019-07-26
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\quoteon Aufgabe 1 - 231241
Es sei $(x_n)$ diejenige Folge von reellen Zahlen, für die $x_1 = 1$ und gilt:
$x_{n+1} = \frac{4x_n^2 + 1}{5x_n + 1}$ $(n = 1, 2, 3, ...)$
Man untersuche, ob diese Folge konvergent ist, und ermittle, falls das zutrifft, ihren Grenzwert.
\quoteoff
Sei $g$ die positive Lösung der Gleichung $x^2+x-1=0$, also $g=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. (Das ist das Reziprok des goldenen Schnittes $g=1/\phi=\phi-1$).
Wir werden zeigen, dass die Folge $(x_n)$ monoton fallend und durch $g$ nach unten beschränkt, also konvergent ist. Danach werden wir zeigen, dass $g$ der Grenzwert dieser Folge ist.
Lemma 1. Für $x>g$ gilt $x^2+x-1>0$.
Beweis: $g$ ist positiv, die zweite Nullstelle der Gleichung ist dagegen negativ $(\frac{-\sqrt{5}-1}{2})$, daher ist $g$ die größere der beiden Nullstellen und rechts der größeren Nullstelle nimmt eine quadratische Funktion mit positivem Vorfaktor vor $x^2$ nur positive Werte an.
Lemma 2. Für $x>g>0$ gilt $\frac{4x^2 + 1}{5x + 1}>g$.
Beweis: Sei $d:=x-g>0$. Dann gilt
$3gd+4d^2>0$ äquivalente Umformungen ergeben
$4g^2+8gd+4d^2+1>4g^2+5gd+1=4g^2+5gd+(g^2+g)$ (nach Def. von $g$) und weiter
$4(g+d)^2+1>5g^2+5gd+g=g(5g+5d+1)$ bzw.
$4x^2+1>g(5x+1)$. Division durch $5x+1>0$ liefert die Behauptung.
Lemma 3. Für $x>g>0$ gilt $\frac{4x^2 + 1}{5x + 1}1$. Addition von $4x^2$ ergibt $5x^2+x=x(5x+1)>4x^2+1$. Division durch $5x+1>0$ liefert die Behauptung.
Mit Lemma 2 und 3 können wir nun induktiv beweisen, dass
$g\frac{\sqrt{5}-1}{2}=g$.
Induktionsschritt: Es gelte $x_n>g$. Nach Lemma 2 und 3 gilt nun $g0$ nach unten beschränkt ist. $(x_n)$ ist daher konvergent. Sei $x>0$ der Grenzwert von $(x_n)$, dann muss für $x$ die Gleichung $x = \frac{4x^2 + 1}{5x + 1}$ gelten(*). Multiplikation mit $5x+1$ ergibt nach Zusammenfassung: $x^2+x-1=0$. $x$ ist also die positive Nullstelle von $x^2+x-1$ und das ist gerade $g$.
(*) Wenn $x_{n+1} = \frac{4x_n^2 + 1}{5x_n + 1}$ für alle $n$ gilt und $(x_n)$ gegen $x$ konvergiert, dann gilt auch $x=\lim_{n\to\infty}x_{n+1} = \lim_{n\to\infty}\frac{4x_n^2 + 1}{5x_n + 1}= \frac{\lim_{n\to\infty}4x_n^2 + 1}{\lim_{n\to\infty}5x_n + 1}=\frac{4(\lim_{n\to\infty}x_n)^2 + 1}{5\lim_{n\to\infty}x_n + 1}=\frac{4x^2 + 1}{5x + 1}$.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1434 begonnen.]
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weird
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| Beitrag No.1437, eingetragen 2019-07-27
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Eine gegenüber #1436 leicht andere Sichtweise auf
\quoteon Aufgabe 1 - 231241
Es sei $(x_n)$ diejenige Folge von reellen Zahlen, für die $x_1 = 1$ und gilt:
$x_{n+1} = \frac{4x_n^2 + 1}{5x_n + 1}$ $(n = 1, 2, 3, ...)$
Man untersuche, ob diese Folge konvergent ist, und ermittle, falls das zutrifft, ihren Grenzwert.
\quoteoff
bietet folgende Alternativlösung:
\showon
Wir benützen hier ganz wesentlich die einfache Umformung
\[ x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2+x_n-1}{5x_n+1}\]
aus der man zunächst sieht, dass wenn die Folge $(x_n)$ konvergiert, ihr Grenzwert dann nur die positive Nullstelle $g=\frac{\sqrt 5-1}2$ von $x^2+x-1$ sein kann. Von daher liegt es nahe, das Verhalten der Differenzenfolge
\[d_n=x_n-g\quad (n\in\mathbb N^*)\]
zu betrachten, für welche dann die Rekursion
\[d_1=1-g\approx 0.38,\quad d_{n+1}=d_n-\frac{(x_n^2-g^2)+(x_n-g)}{5(x_n-g)+5g+1}=d_n \left(1-\frac{d_n+2g+1}{5d_n+5g+1}\right)\]
gelten muss. Daraus kann man aber induktiv sofort ersehen, dass die Folge $(d_n)$ nur positive Glieder enthält und sie daher mithilfe der Grobabschätzung
\[0<\frac{d_{n+1}}{d_n}=\frac{4d_n+3g}{5d_n+5g+1}<\frac{4d_n+4g}{5d_n+5g}=\frac45\]
eine Nullfolge sein muss, womit also dann auch die ursprüngliche Folge $(x_n)$ tatsächlich gegen $g$ konvergiert.
\showoff
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Ex_Senior
| Beitrag No.1438, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-27
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Ex_Senior
| Beitrag No.1439, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-27
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\quoteon Aufgabe 4 - 211044
Mehrere Personen spielen ein Spiel mit drei W ̈urfeln, auf deren Seitenflächen anstelle der ̈ublichenZahlen Buchstaben stehen. Auf jedem Feld steht genau ein Buchstabe; jeder Buchstabe kommt nur einmal vor.Nach jedem Wurf muss der Spieler versuchen, aus den drei Buchstaben, die oben liegen, ein Wort zubilden.Untersuchen Sie, ob eine Verteilung von Buchstaben auf die W ̈urfel derart m ̈oglich ist, dass mit denso beschrifteten W ̈urfeln im Laufe des Spiels auf diese Weise die Wörter
\[AUF,BEI,BEN,CUP,GER,ICH,IDA,IST,MAN,NOT,TOR,ZUG\]
gebildet werden k ̈onnen!Wenn dies der Fall ist, so untersuchen Sie, ob die Verteilung der Buchstaben auf die W ̈urfel aus dengenannten Angaben eindeutig hervorgeht, d.h., ob f ̈ur jeden der drei W ̈urfel (bis auf die Reihenfolge)eindeutig folgt, welche Buchstaben auf ihm stehen! Ist auch dies der Fall, so ermitteln Sie dieseVerteilung!
\quoteoff
Da die Wörter $BEI,BEN$ gebildte wurden, liegen $I,N$ auf demselben Würfel, ebenso $R$ wegen der Wörter $TOR,NOT$. Die Buchstaben $A,B,C,D,E,G,H,M,O,S,T$ treten in Wörtern mit $I,N,R$ auf. Daher bleiben für den ersten Würfel nur die Buchstaben $F,P,U,Z$. Wegen der Wörter $ZUG,CUP$ liegt $U$ nicht auf diesem und wir haben die Belegung $\mathbf{I,N,R,F,P,Z}$. Damit bleiben die folgenden Kombinationen für die anderen beiden Würfel übrig:
\[AU,BE,CU,GE,CH,DA,ST,MA,OT,UG.\]
Aus den Wörten mit $U$ folgt, dass $A,C,G$ auf demselben Würfel liegen. Weitere Vergleiche ergeben, dass $U,E,H,D,M$ auf dem zweiten und $A,C,G,B$ auf dem dritte Würfel liegen. Aus den beiden Wörtern $ST,OT$ folgt dann, dass diese eindeutig zu $\mathbf{U,E,H,D,M,T}$ und $\mathbf{A,C,G,B,S,O}$ ergänzt werden.
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