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 Alte Olympiadeaufgaben |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Beitrag No.280, eingetragen 2019-05-04
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\quoteon(2019-05-03 23:54 - stpolster in Beitrag No. 272)
\quoteon(2019-05-03 23:39 - HyperPlot in Beitrag No. 271)
... Das lässt sich dadurch beheben, dass man die Liste automatisch erstellen lässt; wofür man einen Index definiert.
Wie das geht, steht in #254.
Dass die Nummern dann auch klickbar werden ist ein praktischer Nebeneffekt des Pakets hyperref.
\quoteoff
Ok, ich werde es versuchen.
Allerdings wird das aufwendig sein und deshalb verschiebe ich es mal auf die Zeit nach Abitur und Bundesrunde der Mathematikolympiade. (nach dem 16.5.)
LG Steffen
\quoteoff
Ja, ich habe noch rechechiert und ausprobiert, ob man einen Index ggf. einfach erzeugen kann.
Möglich ist viel, aber das wird teils heftig schwer und erfordert dann auch besondere Kompilierungen.
Daher denke ich, #254 (erfordert nur pdflatex) ist eine denkbar einfachste Lösung.
Schwierig ist hier lediglich das Einstellen eines Layouts, weil imakeidx eine exterene *.ist-Datei haben möchte, wo seine Styles definiert sind. Aber das habe ich ja schon eingebaut.
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weird
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 | Beitrag No.281, eingetragen 2019-05-04
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Aufgabe 041234
Für welche reelle Zahlen x ist die Gleichung $\tan^2 x+\cot^2 x=6$ erfüllt?
Lösung:
Die Ausgangsgleichung lässt sich auch schreiben als
\[(\tan x+\cot x)^2=8\]
woraus sofort
\[\frac 2{\sin(2x)}=\frac{2(\sin^2 x+\cos^2 x)}{2\sin x\cos x}=\tan x +\cot x= \pm 2\sqrt 2\]
und weiter
\[\sin(2x)=\pm \frac{\sqrt 2}2\]
folgt. Diese letzte Gleichung ist aber offensichtlich genau für
\[x=\frac{(2k+1)\pi}8\quad (k\in \mathbb Z)\]
erfüllt.
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.282, eingetragen 2019-05-04
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\quoteon(2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart)
Aufgabe 120934:
Zwei Fußgänger $A$ und $B$ legten dieselbe Strecke zurück. Sie starteten zur gleichen Zeit. Ein Beobachter stellte fest:
$A$ ging die Hälfte der Strecke mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 4 $\frac{km}{h}$, den Rest mit 5 $\frac{km}{h}$. $B$ ging während der Hälfte der von ihm für die ganze Strecke aufgewandten Zeit mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 4 $\frac{km}{h}$, während der übrigen Zeit mit 5 $\frac{km}{h}$.
Wer von den beiden erreichte zuerst das Ziel?
\quoteoff
Wir nutzen die Beziehung Geschwindigkeit = Strecke/Zeit bzw. Zeit = Strecke/Geschwindigkeit.
d sei die Länge der gesamten Strecke.
A benötigt für die Strecke d die Zeit \(t_A=\frac{d/2}4+\frac{d/2}5=\frac9{40}d\).
\(d_1,d_2\) seien die Strecken, bei denen sich B mit \(4\frac{km}{h}\) bzw. \(5\frac{km}{h}\) bewegt. Dann ist \(d_1+d_2=d\). Für die Strecken benötigt B die Zeiten \(t_1=\frac{d_1}4\) bzw. \(t_2=\frac{d_2}5\) Nach Voraussetzung ist \(t_1=t_2\), also \(\frac{d_1}4=\frac{d_2}5\). Zusammen mit \(d_1+d_2=d\) folgt hieraus \(d_1=\frac49d\), \(d_2=\frac59d\) und somit \(t_1=t_2=\frac19d\). Also benötigt B die Gesamtzeit \(t_B=t_1+t_2=\frac29d\).
Da \(\frac9{40}>\frac29\), ist B zuerst am Ziel.
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.283, eingetragen 2019-05-04
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\quoteon(2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart)
Aufgabe 071221:
Es seien $x_k$ und $y_k$ ganzrationale Zahlen, die die Bedingungen $0 \leq x_k \leq 2$ und $0 \leq y_k \leq 2$ erfüllen.
a) Ermitteln Sie die Anzahl aller (nicht entarteten) Dreiecke mit Eckpunkten $P_k(x_k; y_k)$, wobei $x_k, y_k$ die rechtwinkligen kartesischen Koordinaten von Pk bedeuten!
Anmerkung: Dabei gelten zwei Dreiecke $\Delta_1$ und $\Delta_2$ genau dann als gleich, wenn jede Ecke von $\Delta_1$ auch Ecke von $\Delta_2$ ist.
b) Geben Sie die Maßzahlen der Flächeninhalte aller dieser Dreiecke an!
\quoteoff
a) Es gibt insgesamt 9 Paare \((x,y)\) "ganzrationaler" (= ganzer) Zahlen mit \(0\leq x\leq2\) und \(0\leq y\leq2\), also 9 Punkte \(P(x,y)\) mit ganzzahligen Koordinaten \(x,y\in\{0,1,2\}\). Es gibt \(\binom93=84\) Möglichkeiten, 3 dieser 9 Punkte auszuwählen. Dabei liegen jedoch in 8 Fällen die 3 Punkte auf einer Geraden (entweder parallel zur x- oder y-Achse oder auf einer der Diagonalen \(y=x\) oder \(y=3-x\). Somit bilden in 84 - 8 = 76 Fällen die drei Punkte ein nicht-entartetes Dreieck.
b) Es gibt 8 Klassen von Dreiecken, wobei die Dreiecke einer Klasse zueinander kongruent sind. Nämlich:
\sourceon
Klasse Repräsentant Anzahl Flächeninhalt
1. (0,0), (0,1), (1,0) 16 1/2
2. (0,0), (0,1), (1,2) 16 1/2
3, (0,0), (0,1), (2,0) 16 1
4. (0,0), (0,1), (2,2) 8 1
5. (0,0), (0,2), (1,2) 8 1
6. (0,0), (0,2), (2,0) 4 2
7. (0,0), (0,2), (2,1) 4 2
8. (0,0), (1,2), (2,1) 4 3/2
Summe: 76
\sourceoff
Anmerkung zur Lösung: Ich bin mir nicht sicher, was der Aufgabensteller hier als Löung erwünscht, ob das hier Geschriebene also ausreichend ist.
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Ex_Senior
| Beitrag No.284, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-04
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Hallo,
noch einmal eine neue Datei online mit nun 340 Lösungen.
Blöd ist, dass mein Hosting-Anbieter im Moment kein SFTP zulässt, d.h., es wird bis zur Behebung des Fehlers nur im Ausnahmefall eine neue Datei geben.
LG Steffen
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.285, eingetragen 2019-05-04
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Zu 051242:
\quoteon(2019-05-04 11:12 - Kornkreis in Beitrag No. 275)
Keine Sorge, es war mir schon bewusst, dass ...
\quoteoff
Ja, ne, is klar, dass dir das alles schon bewusst war. Demut geht anders. :-o
Für alle Mitlesenden:
Wir betrachten einen ganz speziellen Tanzabend mit unendlich vielen Damen und Herren. Und zwar sei für jede Zahl \(i\in\IZ\) \(d_i\) eine Dame und für jede Zahl \(j\in\IZ\) \(h_j\) ein Herr. Dame \(d_i\) möge mit Herr \(h_j\) genau dann getanzt haben, wenn \(i\leq j\). Bei diesem Beispiel gibt es jedoch keine zwei Damen und zwei Herren, sodass jede der beiden Damen mit genau einem der beiden Herrn getanzt hat.
Es gilt jedoch (und da funktioniert der Beweis von Kornkreis): Wenn eine(r) der Anwesenden mit nur endlich vielen Partnern getanzt hat, dann gibt es zwei Damen und zwei Herren, sodass jede der beiden Damen mit genau einem der beiden Herren getanz hat.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.283 begonnen.]
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Ex_Senior
| Beitrag No.286, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-04
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Bei unserem Vorbereitungsseminar konnte ich anhand einiger der hier betrachteten Aufgaben mit den Schülerinnen und Schülern viele gute Ideen erarbeiten. Insofern hat sich der Einsatz doch schon gelohnt. :)
Zu Aufgabe 121046: Zwei Karawanen brachen gleichzeitig von einer Oase A auf und marschierten auf demselben Wege über B und C nach D.
Die erste Karawane marschierte jeweils drei Tage hintereinander und legte dann einen Ruhetag ein, die zweite Karawane dagegen marschierte jeweils zwei Tage hintereinander und legte dann zwei Ruhetage ein.
Beide Karawanen brachen an Marschtagen zur gleichen Zeit auf und waren jeweils die gleiche Anzahl von Stunden unterwegs. Sie erreichten die Ziele B, C, D jeweils am Ende dieser Stunden eines Marschtages. Während ihrer Marschtage behielt jede der Karawanen stets dieselbe Geschwindigkeit bei.
Die erste Karawane brauchte für den Weg von A nach C einschließlich der Ruhetage doppelt soviel und für den Weg von A nach D dreimal soviel Tage wie für den Weg von A nach B einschließlich der Ruhetage. Beide Karawanen trafen am Ende eines Marschtages gleichzeitig in B ein.
Ermitteln Sie, ob die Karawanen auch gleichzeitig in D eintrafen! Wenn nicht, dann stellen Sie fest, welche der beiden Karawanen zuerst in D anlangte!
Lösung:
Es sei $n=4q+r$ mit $n,q,r\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ und $0\leq r<4$ die Anzahl der Tage, die beide Karawanen von A nach B unterwegs sind. Da die erste Karawane in C nicht nach einer durch 4 teilbaren Tagesanzahl ankommt (das wäre ja einer ihrer Ruhetage), kann $n$ nicht gerade sein (da sie nach $2n$ Tagen C erreicht). Also ist $r$ entweder 1 oder 3. Letzteres kann aber nicht sein, da die zweite Karawane an allen solch darstellbaren Tagen einen Ruhetag einlegt, also dann nicht gleichzeitig mit der ersten Karawane in B hätte eintreffen können. Es gibt also eine nicht-negative ganze Zahl $q$, sodass beide Karawanen nach genau $4q+1$ Tagen den Ort B erreichen.
Die erste Karawane ist also nach $12q+3$ Tagen am Ziel angekommen und ist in dieser Zeit an $9q+3$ Tagen marschiert; davon an $3q+1$ Tagen von A nach B, sodass die Gesamtstrecke von A nach D genau drei mal solang ist wie die Teilstrecke von A nach B.
Dieses Teilstück hat die zweite Karawane mit $2q+1$ Marschtagen bewältigt, sodass sie für die Gesamtstrecke von A nach D insgesamt $6q+3$ Marschtage benötigt. Dabei ist der $6q+3$-te Marschtag genau der $2\cdot(6q+2)+1=12q+5$-te Tag nach Abreise in A, sodass diese zweite Karawane genau zwei Tage nach der ersten in D eintrifft.
121045: Geben Sie alle g-adischen Zahlensysteme an, in denen die folgende Aufgabe wenigstens eine Lösung hat, und ermitteln Sie für diese Zahlensysteme alle Lösungen der Aufgabe!
Welche im g-adischen Zahlensystem zweistellige Zahl hat die Eigenschaft, daß sich erstens durch Vertauschen der beiden Ziffern wieder eine g-adisch-zweistellige Zahl ergibt und dass man zweitens bei deren Subtraktion von der ersten Zahl die im gleichen Zahlensystem geschriebene Zahl 12 erhält?
Lösung:
Sei $g>2$ eine fest gewählte natürliche Zahl. ($g>2$, damit die Zahl $12$ überhaupt $g$-adisch aufgesfasst werden kann.) Für eine zweistellige Zahl darf die führende (= Nicht-Einer-) Stelle nicht 0 sein. Damit dies für die durch Vertauschung der Ziffern entstehende Zahl genauso gilt, müssen also beide Ziffern verschieden von 0 sein. Seien $a$ und $b$ diese Ziffern. Dann gilt demnach $1\leq a,b 180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$ auch nur genau drei spitze Innenwinkel.
Cyrix
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Ex_Senior
| Beitrag No.287, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-05
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121033: Man denke sich alle Primzahlen, beginnend mit der Primzahl 5, der Größe nach fortlaufend nummeriert; es mögen also nummeriert sein:
\sourceon
Primzahl 5 7 11 13 17 19 ...
Nummer 1 2 3 4 5 6 ...
\sourceoff
Es ist zu beweisen, dass dann jede Primzahl größer als das Dreifache ihrer Nummer ist.
Lösung:
Für die Primzahlen mit Nummern (in dieser Liste) 1 und 2, also 5 und 7, gilt die Aussage offenbar. Wenn sie darüber hinaus für die Primzahl mit Nummer (in dieser Liste) $k$ für eine positive ganze Zahl $k$ gilt, dann zeigen wir nun, dass sie auch für die mit Nummer $k+2$ gilt, womit sie induktiv für alle Primzahlen $\geq 5$ gezeigt ist.
Sei also $p$ die Primzahl mit Nummer $k$ und es gelte $p>3k$. Da $p>2$ ungerade ist, können $p+1$, $p+3$ und $p+5$ keine Primzahlen sein. Von den drei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen $p$, $p+2$ und $p+4$ ist darüber hinaus eine durch drei teilbar. Da es $p>3$ nicht ist, ist neben den genannten drei geraden noch mindestens eine der zwei ungeraden Zahlen unter $p+1$ bis $p+5$ keine Primzahl. Es kann also nach $p$ höchstens eine weitere Primzahl geben, die $\leq p+5$ ist. Demzufolge hat die nun noch nächstgrößere Primzahl -- also jene mit Nummer $k+2$ -- mindestens den Wert $p+6>3k+6=3(k+2)$, was zu beweisen war.
121036: Beweisen Sie den folgenden Satz!
Hat der Winkel an der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks eine Größe von $36^{\circ}$, so ist die Basis des Dreiecks genau so lang wie der größere Abschnitt auf einem nach dem ”Goldenen Schnitt” geteilten Schenkel des Dreiecks.
Anmerkung: Eine Strecke heißt nach dem ”Goldenen Schnitt” in zwei Abschnitte geteilt, wenn die Länge des größeren Abschnitts die mittlere Proportionale zwischen der Länge des kleineren Abschnitts und der Länge der gesamten Strecke ist.
Lösung:
Es sei $\triangle ABC$ ein Dreieck mit $|AC|=|BC|$ und $\angle ACB=36^{\circ}$. Dann sind die beiden Basiswinkel $\angle BAC=\angle CBA$ jeweils $\frac{1}{2} \cdot (180^{\circ}-36^{\circ})=72^{\circ}$ groß. Da dem größeren Winkel in einem Dreieck die größere Seite gegenüberliegt, ist also auch $|AC|>|AB|$.
Sei $W$ der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden bei $A$ durch $BC$. Da die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten schneidet, gilt $\frac{|CW|}{|WB|}=\frac{|AC|}{|AB|}$ und insbesondere $|CW|>|WB|$.
Es ist $\angle BAW=\frac{1}{2} \angle BAC=36^{\circ}$, sodass das Dreieck $\triangle BAW$ ähnlich ist zum Dreieck $\triangle ABC$ und damit $\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{|AB|}{|WB|}$, also $|AB|=|CW|$ gilt. Damit ist die Basis $AB$ genauso lang wie der größere Abschnitt der durch $W$ geteilten Strecke $AC$. Es bleibt noch zu zeigen, dass dieser Punkt $W$ den Schenkel $AC$ tatsächlich im Goldenen Schnitt teilt:
Setzt man diese Gleichheit sowie $|AC|=|BC|=|CW|+|WB|$ in das zuvor erhaltene Verhältnis ein, so ergibt sich $\frac{|CW|}{|WB|}=\frac{|CW|+|WB|}{|CW|}$, sodass $W$ die Strecke $AC$ im Goldenen Schnitt teilt, $\Box$.
121035: Beweisen Sie, dass gilt:
$\lg\left(1-\frac{1}{25^2}\right)+\lg\left(1-\frac{1}{26^2}\right)+\dots+ \lg\left(1-\frac{1}{100^2}\right)= \lg\left(1-\frac{606}{625}\right)$
Lösung:
Es ist $\lg\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\lg\left(\frac{k^2-1}{k^2}\right)=\lg(k^2-1)-2\lg(k)=\lg(k-1)+\lg(k+1)-2\lg(k)$, also
$\lg\left(1-\frac{1}{25^2}\right)+ \lg\left(1-\frac{1}{26^2}\right)+\dots+ \lg\left(1-\frac{1}{100^2}\right)=\sum_{k=25}^{100} \lg\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$
$ = \sum_{k=25}^{100} \left(\lg(k-1)+\lg(k+1)-2\lg(k)\right)$
$=\sum_{k=25}^{100} \lg(k-1) + \sum_{k=25}^{100} \lg(k+1) -2 \sum_{k=25}^{100} \lg(k)$
$ = \sum_{k=24}^{99} \lg(k) + \sum_{k=26}^{101} \lg(k) - 2 \sum_{k=25}^{100} \lg(k)$
$= \lg(24)+\lg(25)+ \sum_{k=26}^{99} \lg(k) + \sum_{k=26}^{99} \lg(k) + \lg(100) + \lg(101) -2\lg(25)-2\lg(100)-2 \sum_{k=25}^{100} \lg(k)$
$=\lg(24)+\lg(101)-\lg(25)-\lg(100)=\lg\left(\frac{24 \cdot 101}{25 \cdot 100}\right)=\lg\left(\frac{606}{625}\right)$.
Cyrix
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Kornkreis
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Dabei seit: 02.01.2012
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Wohnort: Chemnitz
 | Beitrag No.288, eingetragen 2019-05-05
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\quoteon(2019-05-04 23:26 - StrgAltEntf in Beitrag No. 285)
Ja, ne, is klar, dass dir das alles schon bewusst war. Demut geht anders. :-o
\quoteoff
Was ist eigentlich dein Problem? Ich habe dir ein Gegenbeispiel geliefert und bereits geschrieben, dass dieses Gegenbeispiel immer in meinem Kopf war, jedoch ich dummerweise beschränkte unendliche Mengen betrachtet habe. Daher waren dann auch die unendlichen Schnitte nicht-leer, was aber im Allgemeinen natürlich nicht der Fall ist. Ich danke dir dafür, dass du mich auf einen Fehler aufmerksam gemacht hast, aber eine weniger arrogante Art hätte genügt (ich erinnere daran, dass die Schärfe in meiner Sprache durch deine anfängliche Schärfe zustande kam, aber ich bin bereit, als erster damit aufzuhören).
Dein Beispiel in "für alle Mitlesenden" erübrigt sich, da ich dasselbe Beispiel bereits in #275 für $f\equiv \mathrm{id}$ gebracht habe.
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Ex_Senior
| Beitrag No.289, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-05
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Bei der 120921 (Beweisen Sie den folgenden Satz! Die Summe der Kuben dreier beliebiger aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist durch 3 teilbar.) spart man sich etwas Rechenarbeit, indem man nicht $n^3+(n+1)^3+(n+2)^3$, sondern die symmetrische Verteilung $(n-1)^3+n^3+(n+1)^3$ anschaut:
Es ist
$(n-1)^3+n^3+(n+1)^3=(n^3-3n^2+3n-1)+n^3+(n^3+3n^2+3n+1)=3(n^3+2n)$ durch 3 teilbar.
Bemerkung: Wegen $n^3+2n=(n^3-4n)+6n=n(n^2-4)+6n=(n-2)n(n+2)+6n$ folgt sogar, dass die Summe von 3 Kuben immer durch $3^2=9$ teilbar sein muss, einer der drei Faktoren $n-2$, $n$ oder $n+2$ durch 3 teilbar ist und damit auch $n^3+2$.
Cyrix
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Ex_Senior
| Beitrag No.290, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-05
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Abiturkorrektur beendet. Ergebnis nun ja, wie erwartet. Aber keiner hat 0 Punkte.
Mein FTP funktioniert wieder, deshalb gibt es eine neue Datei mit 350 Lösungen und einer Menge neuer Aufgaben.
LG Steffen
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Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
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Wohnort: Chemnitz
| Beitrag No.291, eingetragen 2019-05-05
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\quoteon(2019-05-05 11:51 - stpolster in Beitrag No. 290)
Abiturkorrektur beendet.
\quoteoff
Klingt gut! ;-) Bitte noch als dritte Lösung der 051242 den (nach StrgAltEntf's Hinweis korrigierten) Beweis aus Beitrag #262 hinzufügen, da dort eine wesentliche Eigenschaft ersichtlich wird, nämlich dass die Mengen der Tanzpartner(innen) eine Kette bilden müssen.
131044
Man untersuche, ob die Zahl $x=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{2}$ positiv, negativ oder gleich Null ist!
\showon Lösung
Zunächst sind die auftretenden Wurzeln alle definiert, da wegen $2<\sqrt{7}<3$ die Radikanden nicht-negativ sind. Wir multiplizieren $x$ mit der positiven Zahl $r=\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{2}$ und erhalten mit der dritten binomischen Formel
$r\cdot x= 4+\sqrt{7}-2-\sqrt{16-7}-\sqrt{2}\sqrt{4-\sqrt{7}}=\sqrt{7}-1-\sqrt{2}\sqrt{4-\sqrt{7}}$.
Betrachte nun die Gleichung $y-1 = \sqrt{2}\sqrt{4-y}$ für $2
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Ex_Senior
| Beitrag No.292, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-05
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Aufgabe 131043B: Man ermittle alle ganzzahligen Paare $(x, y)$, die die Gleichung $(x+2)^4-x^4=y^3$ erfüllen.
Lösung:
Ist $y=0$, dann $(x+2)^4=x^4$, also $|x+2|=|x|$. Da $x+2\neq x$ gilt, muss dann $x+2=-x$ und also $x=-1$ sein. Tatsächlich bestätigt die Probe das Lösungspaar $(-1,0)$.
Sei ab nun $y\neq 0$.
Es ist $y^3=(x+2)^4-x^4=((x+2)^2+x^2) \cdot ((x+2)^2-x^2)=(2x^2+4x+4) \cdot (4x+4)=2 \cdot (x^2+2x+2) \cdot 4 \cdot (x+1)$. Also ist $y^3$ durch $8$ und damit $y$ durch $2$ teilbar. Sei $t\neq 0$ die ganze Zahl mit $y=2t$. Dann geht die Gleichung über in $t^3=(x^2+2x+2) \cdot (x+1)$. Insbesondere sind mit $t\neq 0$ auch beide Faktoren ungleich Null. Damit besitzen diese Zahlen alle bis auf die Reihenfolge eindeutige Primfaktorzerlegungen. (Für negative Zahlen sei dies die Primfaktorzerlegung ihres Betrags multipliziert mit (-1).)
Wegen $x^2+2x+2=(x+1)\cdot (x+1)+1$ sind die beiden Faktoren teilerfremd. Sei nun $p$ ein Primteiler von $t$. Dann ist diese auch Teiler von genau einem der beiden Faktoren $x^2+2x+2$ und $x+1$. Wenn $p$ in der Primfaktorzerlegung von $t\neq 0$ mit der Vielfachheit $a$ vorkommt (d.h. $p^a | t$, aber $p^{a+1}\not | t)$, dann in $t^3$ mit der Vielfachheit $3a$. Da nur einer der beiden Faktoren $x^2+2x+2$ und $x+1$ durch $p$ teilbar ist, muss also in der Primfaktorzerlegung dieses Faktors dann $p$ auch in der gleichen Vielfachheit $3a$ enthalten sein.
Da dies für jeden Primteiler von $t$ und damit $t^3=(x^2+2x+2) \cdot (x+1)$ gilt, müssen also aufgrund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegungen alle in den Primfaktorzerlegungen von $x^2+2x+2$ bzw. $x+1$ auftauchenden Primzahlen eine durch drei teilbare Vielfachheit besitzen. Damit sind aber $x^2+2x+2$ und $x+1$ Kubikzahlen. Mit $x+1$ ist auch $(x+1)^2=x^2+2x+1$ eine Kubikzahl, sodass $x^2+2x+1$ und $x^2+2x+2$ zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind, die beide Kubikzahlen sind. Dafür gibt es nur zwei Möglichkeiten, nämlich -1 und 0 bzw. 0 und 1. Die erste fällt wegen $x^2+2x+1=(x+1)^2\geq 0$ weg, sodass nur $x^2+2x+1=0$ und $x^2+2x+2=1$ verbleibt. Beide Gleichungen führen auf $(x+1)^2=0$, d.h. $x=-1$, was zu $t=y=0$ führt, also schon oben betrachtet wurde.
Es gibt also genau eine ganzzahlige Lösung dieser Gleichung, nämlich $(x,y)=(-1,0)$.
Aufgabe 131044: Man untersuche, ob die Zahl
$x=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{2}$
positiv, negativ oder gleich Null ist!
Es ist $x+\sqrt{2}=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}=\frac{\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\right) \cdot \left(\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)}{\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}}=\frac{4+\sqrt{7}-(4-\sqrt{7})}{\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}}$.
Dann ist $x= 0 \Leftrightarrow x+\sqrt{2}= \sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}} = \sqrt{2}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{7}= \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)$
$\Leftrightarrow \sqrt{2}\cdot \sqrt{7} = \left(\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)$
$\Leftrightarrow 14 = (4+\sqrt{7}) + (4-\sqrt{7}) + 2 \sqrt{4+\sqrt{7}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{7}}$
$\Leftrightarrow 6= 2\sqrt{(4+\sqrt{7}) \cdot (4-\sqrt{7})}$
$\Leftrightarrow 3= \sqrt{16-7}=\sqrt{9}=3$,
was eine wahre Aussage ist. Also ist $x=0$.
Aufgabe 131036: Man beweise, dass die Ungleichung $|\log_a b|+|\log_b a| \geq 2$ für alle Paare positiver reeller Zahen $(a,b)$ mit $a\neq 1$, $b\neq 1$ gilt!
Lösung:
Es ist $\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}$ und umgekehrt $\log_b a=\frac{\ln a}{\ln b}$. Also ist mit $x=|\log_a b|\in\mathbb{R}_{>0}$ der zweite Summand $|\log_b a|=\frac{1}{x}$, sodass für alle positiven reellen Zahlen $x$ die Ungleichung $x+\frac{1}{x}\geq 2$ zu zeigen verbleibt. Diese ist aber äquivalent zu $x-2+\frac{1}{x}\geq 0$ bzw. $\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2\geq 0$, was offenbar wahr ist.
Aufgabe 131032: Man ermittle alle Paare $(x,y)$ ganzer Zahlen $x,y$, die die Gleichung $2x^3+xy-7=0$ erfüllen.
Lösung: Die Gleichung ist äquivalent zu $x \cdot (2x^2+y)=7$, sodass $x$ ein ganzzahliger Teiler von 7 ist und damit nur die folgenden vier Fälle zu möglich sind:
1. Fall: $x=1$. Dann folgt $y=\frac{7}{1}-2\cdot 1^2=5$.
2. Fall: $x=-1$. Dann folgt $y=\frac{7}{-1}-2\cdot (-1)^2=-9$.
1. Fall: $x=7$. Dann folgt $y=\frac{7}{7}-2\cdot 7^2=-97$.
2. Fall: $x=-7$. Dann folgt $y=\frac{7}{-7}-2\cdot (-7)^2=-99$.
Die Proben bestätigen jeweils die Ergebnisse, sodass wir vier Lösungspaare erhalten, nämlich $(x,y)\in\{(-7,-99), (-1,-9), (1,5), (7,-97)\}$.
Aufgabe 131034: Man beweise: Wenn die Summe dreier Kubikzahlen durch 7 teilbar ist, dann ist wenigstens eine von ihnen durch 7 teilbar.
Lösung:
Wegen $(\pm 1)^3 \equiv \pm 1 \pmod{7}$, $(\pm 2)^3 \equiv \pm 8 \equiv \pm 1 \pmod{7}$ und $(\pm 3)^3\equiv \pm 27 \equiv \pm 1 \pmod{7}$ lassen die Kuben von nicht durch 7 teilbaren Zahlen bei der Teilung durch 7 nur die Reste 1 oder -1.
Bildet man nun von drei solchen Zahlen die Summe, so kann diese nur die Reste $\pm 1$ oder $\pm 3$ bei der Teilung durch 7, nicht aber 0 annehmen, sodass umgekehrt gelten muss, dass, wenn die Summe dreier Kuben durch 7 teilbar ist, nicht alle Basen (und damit auch nicht alle Kuben) nicht durch 7 teilbar sein können. Es muss demnach dann mindestens eine Basis (und damit auch ihre zugehörige Kubikzahl) durch 7 teilbar sein.
Bemerkung: Man kann diese Lösung auch ohne Verwendung von Kongruenzbetrachtungen formulieren, indem man die Zahlen $(7k\pm 1)^3$, $(7k\pm 2)^3$ und $(7k\pm 3)^3$ per binomischen Satz explizit ausrechnet und an diesen Termen die Reste, die sie bei der Teilung durch 7 lassen, direkt abliest.
Aufgabe 131024: Konstruieren Sie ein konvexes Sehnenviereck $ABCD$ aus $a=10cm$, $b=8cm$, $c=7cm$ und $\alpha=70^{\circ}$!
Dabei seien $a$ die Länge der Seite $AB$, $b$ die der Seite $BC$, $c$ die der Seite $CD$ und $\alpha$ die Größe des Winkels $\angle BAD$.
Lösung:
Im Sehnenviereck ergänzen sich die gegenüberliegenden Winkel zu $180^{\circ}$, sodass der Winkel $\gamma=DCB=110^{\circ}$ betragen muss. So kann man das gesuchte Viereck wie folgt konstruieren:
1) Konstruiere einen Winkel von $\gamma =110^{\circ}$ (ggf. als Nebenwinkel eines gegebenen $70^{\circ}$-Winkels) und nenne den Scheitelpunkt $C$.
2) Trage auf dem einen Scheitel dieses Winkels die Streckenlänge $b$ von $C$ aus ab und erhalte den Punkt $B$, sowie analaog auf dem anderen Schenkel des Winkels die Streckenlänge $c$ von $C$ aus und erhalte den Punkt $D$.
3) Man konstruiere den Umkreis $k$ des Dreiecks $\triangle BCD$ (durch Schnitt der Mittelsenkrechten von zwei der Seiten dieses Dreiecks und Kreis um diesen Schnittpunkt durch einen der Eckpunkte).
4) Der Kreis um $B$ mit Radius $a$ schneide $k$ in zwei Punkten. Man wähle einen aus, sodass das Viereck $ABCD$ konvex ist. Dies ist dann das gesuchte.
Begründung: Da nach Konstruktion alle vier Punkte auf $k$ liegen, ist $ABCD$ ein Sehnenviereck. Die Längen der Strecken $AB$, $BC$ und $CD$ haben nach Konstruktion (Schritte 4) bzw. 2)) die geforderte Länge und aufgrund der Winkeleigenschaft von Sehnenvierecken hat mit Schritt 1) und der Vorüberlegung auch $\angle BAD$ als dem Winkel $\angle DCB$ gegenüberliegender Weinkel die gewünschte Größe.
Cyrix
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.290 begonnen.]
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Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.293, eingetragen 2019-05-05
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091036
Von einer quadratischen Funktion y = ax² + bx + c (a != 0) denke man sich die Tabelle
\sourceon
x 1 2 3 4
y 1 2 n1 n2
\sourceoff
gebildet. Ermitteln Sie alle reellen Koeffizienten a, b, c, für die n1 und n2 einstellige natürliche Zahlen sind!
Lösung:
Aus der Funktionsgleichung und der Tabelle ergibt sich für x = 1 bzw. x = 2
(1) a + b + c = 1
(2) 4a + 2b + c = 2
Subtrahiert man (1) von (2) bzw. 2 mal (1) von (2), erhält man
(3) 3a + b = 1
(4) 2a - c = 0
und hieraus
b = 1 - 3a und c = 2a.
Für die quadratische Funktion ergibt sich somit
(5) y = ax² + (1 - 3a)x + 2a.
Einsetzen von x = 3 bzw. x = 4 liefert
(6) n1 = 9a + 3(1 - 3a) + 2a = 2a + 3
(7) n2 = 16a + 4(1 - 3a) + 2a = 6a + 4
Da n1 aus {0,1,...,9} sein soll, ergibt sich aus (6) und (7) folgende Tabelle
\sourceon
n1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a -3/2 -1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 5/2 3
n2 -5 -2 1 4 7 10 13 16 19 22
\sourceoff
Da auch n2 aus {0,1,...,9} und außerdem a nicht 0 sein soll, verbleiben für a nur die beiden Lösungen a = -1/2 und a = 1/2.
Für die Funktionsgleichung folgt dann aus (5):
\(y = -\frac12 x^2+\frac52x-1\) oder \(y=\frac12x^2-\frac12x+1\).
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.290 begonnen.]
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| Beitrag No.294, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-05
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\quoteon 131044
Man untersuche, ob die Zahl $x=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{2}$ positiv, negativ oder gleich Null ist!
\quoteoff
Für die Aufgabe hätte ich noch eine dritte Lösung.
Aus $4+\sqrt{7}>4-\sqrt{7}>0$ folgt $\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}>0$. Daher folgt aus $(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}})^2 =4+\sqrt{7} -2\sqrt{4+\sqrt{7}}\cdot\sqrt{4-\sqrt{7}} + 4-\sqrt{7}=8-2\sqrt{9}=2$ bereits $\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}=\sqrt{2}$ und somit $x=0$.
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| Beitrag No.295, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-05
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| Beitrag No.296, eingetragen 2019-05-05
|
$% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\c}{5.2} %
\pgfmathsetmacro{\h}{\c/2} %
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{\c*sqrt(2)/2} %
\pgfmathsetmacro{\b}{\a} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\h,\h);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
% Test
%\draw[red] (A) -- ($(A)!\b cm!(C)$);
% Annotationen - Dreieck
\path[] (A) -- (B) node[midway, below]{$c$};
\draw[densely dashed] (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate(Hc) node[midway, right]{$h=\frac{c}{2}$};
\path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$\frac{\sqrt{2}}{2}c$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$\frac{\sqrt{2}}{2}c$};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\bullet$",
] {angle =A--C--B};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\bullet$",
] {angle =C--Hc--A};
\node[right of=C, xshift=2.25cm,
anchor=north west, align=left,
text width=\c cm, fill=black!1,
draw=none, font=\normalsize
]{%
Ist die Hypotenuse eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks gegeben, bestimmt sich die zur Hypotenuse gehörende Höhe zu $h = \dfrac{c}{2}$ und damit der Flächeninhalt zu $F = \dfrac{1}{2}c h = \dfrac{c^2}{4}$.
};
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm} & \\
%b = \b \text{ cm} & (1) \\
%c = \c \text{ cm} & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ & (4) \\
%\beta = \Beta^\circ & (5) \\
%\gamma = \Gamma^\circ & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};
%%% Punkte
%\foreach \P in {B}
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
$
$
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\e}{6.5} %
\pgfmathsetmacro{\f}{5} %
\pgfmathsetmacro{\eI}{0.4*\e} %
\pgfmathsetmacro{\fI}{0.3*\f} %
\pgfmathsetmacro{\eII}{\e-\eI} %
\pgfmathsetmacro{\fII}{\f-\fI} %
\pgfmathsetmacro{\a}{sqrt(\eI^2+\fI^2)} %
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\eII^2+\fI^2)} %
\pgfmathsetmacro{\c}{sqrt(\eII^2+\fII^2)} %
\pgfmathsetmacro{\d}{sqrt(\eI^2+\fII^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Viereckskonstruktion
\coordinate[Punkt={left}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={right}{C}] (C) at (\e,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\eI,-\fI);
\coordinate[Punkt={above}{D}] (D) at (\eI,\fII);
\coordinate[Punkt={left}{}] (Z) at (\eI,0);
\draw[local bounding box=viereck, thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) --cycle; %
% Diaogonalen
\draw[densely dashed] (A) -- (C);
\draw[densely dashed] (B) -- (D);
% Annotationen
\path[] (A) -- (Z) node[midway, below]{$e_1$};
\path[] (C) -- (Z) node[midway, below]{$e_2$};
\path[] (B) -- (Z) node[midway, right]{$f_1$};
\path[] (D) -- (Z) node[midway, right]{$f_2$};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\bullet$",
] {angle =C--Z--D};
\path[] (A) -- (B) node[midway, right]{$a$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, above]{$b$};
\path[] (C) -- (D) node[midway, left]{$c$};
\path[] (D) -- (A) node[midway, right]{$d$};
% gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke
\coordinate[Punkt={left}{}] (Ma) at ($(A)!0.5!(B)$);
\draw[densely dashed] (Ma) -- ($(Ma)!0.5*\a cm!90:(A)$) coordinate[Punkt={below}{P}] (P);
\draw[] (P) -- (A);
\draw[] (P) -- (B);
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\bullet$",
] {angle =P--Ma--B};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\bullet$",
] {angle =B--P--A};
\coordinate[Punkt={left}{}] (Mb) at ($(B)!0.5!(C)$);
\draw[densely dashed] (Mb) -- ($(Mb)!0.5*\b cm!90:(B)$) coordinate[Punkt={below}{Q}] (Q);
\draw[] (Q) -- (B);
\draw[] (Q) -- (C);
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\bullet$",
] {angle =B--Mb--Q};
\path[postaction={pattern=dots, pattern color=gray}] (A) -- (B) -- (P) --cycle;
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\bullet$",
] {angle =C--Q--B};
\coordinate[Punkt={left}{}] (Mc) at ($(C)!0.5!(D)$);
\draw[densely dashed] (Mc) -- ($(Mc)!0.5*\c cm!90:(C)$) coordinate[Punkt={above}{R}] (R);
\draw[] (R) -- (C);
\draw[] (R) -- (D);
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\bullet$",
] {angle =C--Mc--R};
\path[postaction={pattern=dots, pattern color=gray}] (C) -- (R) -- (D) --cycle;
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\bullet$",
] {angle =D--R--C};
\coordinate[Punkt={left}{}] (Md) at ($(D)!0.5!(A)$);
\draw[densely dashed] (Md) -- ($(Md)!0.5*\d cm!90:(D)$) coordinate[Punkt={above}{S}] (S);
\draw[] (S) -- (D);
\draw[] (S) -- (A);
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\bullet$",
] {angle =D--Md--S};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\bullet$",
] {angle =A--S--D};
%% Test
%\draw[red] (A) -- ($(A)!\eI cm!(Z)$);
%\draw[red] (Z) -- ($(Z)!\eII cm!(C)$);
%\draw[red] (Z) -- ($(Z)!\fI cm!(B)$);
%\draw[red] (Z) -- ($(Z)!\fII cm!(D)$);
%
%\draw[red] (A) -- ($(A)!\a cm!(B)$);
%\draw[red] (B) -- ($(B)!\b cm!(C)$);
%\draw[red] (C) -- ($(C)!\c cm!(D)$);
%\draw[red] (D) -- ($(D)!\d cm!(A)$);
\node[below of=A, yshift=-2.25cm,
anchor=north west, align=left,
font=\normalsize,
text width=\textwidth, fill=black!1,
draw=none
]{%
Sei $F_x$ der Flächeninhalt des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks über der Seite $x$ für $x\in \{a,b,c,d\}$; dann ist zu zeigen:
$F_a+F_c = F_b+F_d$. \\
Nach dem Gesagten wird dafür
$\dfrac{a^2}{4} +\dfrac{c^2}{4} = \dfrac{b^2}{4} +\dfrac{d^2}{4}
~\Leftrightarrow~
a^2+ c^2 = b^2+d^2$. \\
Also mit dem Satz des Pythagoras
$e_1^2 +f_1^2 + e_2^2 +f_2^2 = e_2^2 +f_1^2 +e_1^2 +f_2^2
~~~\square
$.
};
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=35mm of viereck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(viereck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm} & \\
%b = \b \text{ cm} & (1) \\
%c = \c \text{ cm} & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ & (4) \\
%\beta = \Beta^\circ & (5) \\
%\gamma = \Gamma^\circ & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};
%%% Punkte
%\foreach \P in {B}
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
$
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Ex_Senior
| Beitrag No.297, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-05
|
@cyrix: Danke, nur bei Dir und Kornkreis geerntet. :-)
\quoteon Aufgabe 120924:
Ein konvexes Tangentenviereck $ABCD$ (ein Viereck, in das ein Kreis so einbeschrieben werden kann, dass er jede der vier Seiten des Vierecks in je einem Punkt berührt) habe den Umfang $u$, der Radius seines Inkreises
sei $r$.
Berechnen Sie den Flächeninhalt $F$ dieses Tangentenvierecks!
\quoteoff
Sei $M$ der Mittelpunkt und $r$ der Radius des Inkreises. Dann zerfällt das Tangentenviereck in vier Teildreiecke $ABM$, $BCM$, $CDM$, $ADM$, so dass die Höhe der Dreiecke auf der äußeren Kante gerade der Inkreisradius ist. Daher gilt für den Flächeninhalt:
\[F= \frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}+\frac{dr}{2}=\frac{ur}{2} \ \text{.}\]
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.295 begonnen.]
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Ex_Senior
| Beitrag No.298, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-05
|
Und noch eine Lücke schließen:
Aufgabe 120932: Karheinz will aus gleich großen roten und weißen Quadratflächen eine Rechteckfläche derartig zusammensetzen, dass sämtliche an den Rand dieses Rechteck grenzenden Quadratflächen rot sind (in der Abbildung gestrichelt gezeichnet), während alle übrigen (im Inneren gelegenen) Qzadratflächen weiß sein sollen. Dabei soll die ANzahl der roten Quadratflächen gleich der der weißen sein. Geben Sie (durch Angabe der Anzahl der in je einer Zeile und in je einer Spalte angeordneten Quadratflächen) alle Rechtecksflächen an, die Karlheinz unter diesen Bedingungen bilden könnte!
Lösung:
Sei $m>0$ die Anzahl der Quadratflächen, die in einer Zeile liegen und $n>0$ die, derer sich in einer Spalte befindlichen. O.B.d.A. können wir $m\geq n$ annehmen. Weiterhin sei $r$ die Anzahl der roten und $w$ die Anzah der weißen Quadratflächen. Wäre $n\leq 2$, bestände das Rechteck nur aus Randquadraten, sodass $r>0=w$ folgen und damit die Bedingung der Aufgabenstellung nicht erfüllen würde. Sei also ab jetzt $m\geq n\geq 3$.
Es folgt $r=2(m+n)-4$ und $w=(m-1)(n-1)$, zusammen mit $r=w$ also
$2m+2n-4=mn-m-n+1$ bzw. $-5=mn-3m-3n=(m-3)(n-3)-9$, also $(m-3)(n-3)=4$. Da beide Faktoren nicht negativ sind und $m\geq n$ gilt, kann nur einer der beiden folgenden Fälle auftreten:
1. Fall: $m-3=4$ und $n-3=1$, also $m=7$ und $n=4$, oder
2. Fall: $m-3=n-3=2$, also $m=n=5$. In beiden Fällen bestätigt die Probe, dass dies wirklich Lösungen sind.
Karlheinz kann also ein $5 \times 5$-Quadrat, ein $7 \times 4$-Rechteck oder ein $4 \times 7$-Rechteck legen, was den Bedingungen der Aufgabenstellung genügt.
Cyrix
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.295 begonnen.]
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Ex_Senior
| Beitrag No.299, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-05
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Und noch ein bisschen was zur 10. Klasse:
Aufgabe 091031: Geben Sie alle durch 11 teilbaren dreistelligen natürlichen Zahlen an, die bei Division durch 5 den Rest 1 und bei der Division durch 7 den Rest 3 ergeben!
Lösung:
Sei $n$ eine solche Zahl. Dann ist mit $n$ auch $n-66=n-11\cdot 6$ durch 11 teilbar. Wenn $n$ den Rest 1 bei der Division durch 5 lässt, dann ist $n-66=(n-1)-5\cdot 13$ auch durch 5 teilbar. Und schließlich: Wenn $n$ bei der Division durch 7 den Rest 3 lässt, ist $n-66=(n-3)-7\ccot 9$ auch durch 7 teilbar.
Da 5, 7 und 11 paarweise teilerfremd sind, ist $n-66$ also sogar durch das Produkt $5 \cdot 7 \cdot 11=385$ teilbar, sodass man für $n$ die Darstellung $n=385 \cdot k + 66$ mit einer nicht-negativen ganzen Zahl $k$ erhält. Offenbar ist für $k\geq 3$ auch $n>1000$, also nicht mehr dreistellig (und für $k=0$ nur zweistellig), sodass man genau folgende beiden Lösungen erhält:
$n_1=385 \cdot 1 + 66 = 451$ und $$ n_2=385 \cdot 2 + 66=836$.
Aufgabe 091033: Geben Sie
a) eine notwendige und hinreichende,
b) eine notwendige und nicht hinreichende sowie
c) eine hinreichende und nicht notwendige
Bedingung dafür an, dass $\sqrt{1-|\log_2|5-x||}>0$ gilt!
Die anzugebenden Bedingungen sind dabei so zu formulieren, dass sie in der Forderung bestehen, $x$ solle in einem anzugebenden Intervall oder in einem von mehreren anzugebenden Intervallen liegen.
Lösung:
Damit die Wurzel definiert ist, muss der Radikand nicht-negativ sein. Dafür muss also $|\log_2|5-x|| \leq 1$ bzw. $-1\leq \log_2|5-x|\leq 1$ gelten, was äquivalent ist zu $\frac{1}{2} \leq |5-x| \leq 2$. Wir unterscheiden nun zwei Fälle:
1. Fall $5-x\geq 0$, also $x\leq 5$: Dann muss $\frac{1}{2} \leq 5-x \leq 2$ gelten, was äquivalent zu $x\in \left[3; \frac{9}{2} \right]$ ist.
2. Fall $5-x<0$, also $x>5$: Dann ist $|5-x|=-(5-x)=x-5$ und es muss $\frac{1}{2} \leq x-5 \leq 2$ gelten, was äquivalent ist zu $x\in\left[\frac{11}{2}; 7\right]$.
Zusammengefasst, ergibt sich also eine notwendige (und, wie wir gleich sehen werden, nicht hinreichende) Bedingung dafür, dass die gegebene Gleichung erfüllt ist, durch
$x\in \left[3; \frac{9}{2} \right]$ oder $x\in\left[\frac{11}{2}; 7\right]$,
denn sonst wäre die Wurzel gar nicht definiert. (Dies beantwortet dann Teil b).)
Im Falle, dass die Wurzel definiert ist, die Gleichung aber nicht gilt, muss die Wurzel, und damit auch ihr Radikand, Null werden, sodass dann $|\log_2 |5-x||=1$, also $\log_2 |5-x| \in \{-1,\, 1\}$ und damit $|5-x|\in \left\{\frac{1}{2}, 2\right\}$ gelten muss. Es ergibt sich weiter $5-x \in \left\{-2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2\right\}$, also diesen Gedanken abschließend $x\in\left\{3; \frac{9}{2}; \frac{11}{2}; 7 \right\}$. Nur genau dann, wenn $x$ einen dieser vier Werte annimmt, wird die Wurzel 0, ist also definiert, aber nicht echt positiv.
Somit ergibt sich eine hinreichende und notwendige Bedingung für die Ungleichung der Aufgabenstellung zu
$x\in \left(3; \frac{9}{2} \right)$ oder $x\in\left(\frac{11}{2}; 7\right)$,
was dann Teil a) beantwortet.
Eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung, wie sie Teil c) fordert, erhält man etwa dadurch, dass man nur eines der beiden Intervalle betrachtet, also z.B. ausschließlich $x\in \left(3; \frac{9}{2} \right)$ fordert.
Aufgabe 091035: Gegeben sei ein Dreieck $\triangle ABC$, und auf $AB$ ein Punkt $D$.
Konstruieren Sie einen Punkt $E$ auf einer der beiden anderen Dreiecksseiten so, dass $DE$ die Dreiecksfläche in zwei Flächengleiche Teile zerlegt.
Lösung:
O.B.d.A. können wir $|AD|\geq \frac{1}{2} |AB|$ annehmen. (Andernfalls vertausche man im Folgenden jeweils die Rollen von $A$ und $B$.)
Ist $D=B$, so wähle man $E$ als Mittelpunkt der Seite $AC$ (den man mit der üblichen Konstruktionsweise erhält). Das Dreieck $\triangle DEA = \triangle BEA$ besitzt die gleiche Höhe von $A$ auf die Grundseite auf der Geraden $g_{BE}$ wie das Dreieck $\triangle ABC$ auf dessen Grundseite, die wegen $g_{BC}=g_{BE}$ auf der gleichen Geraden liegt, während diese Grundseite im Dreieck $\tirangle BEA$ aber nach Konstruktion nur halb so lang ist wie die entsprechende im Dreieck $\triangle ABC$. Damit besitzt es also auch genau die Hälfte von dessen Flächeninhalt.
Ist $D$ identisch mit dem Mittelpunkt $M$ der Strecke $AB$, so wähle man $E=C$ und man erhält mit der gleichen Begründung, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $\triangle AED = \triangle ACM$ genau halb so groß ist wie der des Ausgangsdreiecks $\triangle ABC$. Diesmal wird die Höhe von $C$ auf die Grundseiten $AE$ bzw. $AB$ betrachtet.
Sei im Folgenden also nun $D$ ein innerer Punkt der Strecke $MB$. Dann konstruiere man $E$ als Schnittpunkt der Parallelen zu $DC$ durch $M$ mit der Geraden $AC$. (Da $M$ innerer Punkt der Strecke $AD$ ist, schneidet die Parallele zu $DC$ durch $M$ die Gerade $g_{AC}$ im Inneren der Strecke $AC$.) Dann hat das Dreieck $\triangle ADE$ genau den halben Flächeninhalt des Dreiecks $\triangle ABC$, wie im Folgenden gezeigt wird:
Das Dreieck $\triangle ADC$ besitzt wieder die gleiche Höhe von $C$ auf auf die Gerade $g_{AD}=g_{AB}$ wie das Dreieck $\triangle ABC$, sodass sich
$F_{\triangle ADC}= \frac{|AD|}{|AB|} \cdot F_{\triangle ABC}$
ergibt.
Analog kann man die Flächeninhalte der Dreiecke $\triangle ADC$ und $\triangle ADE$ in Beziehung setzen, wenn man beachtet, dass sie die gleiche Höhe von $D$ auf die Gerade $g_{AC}=g_{AE}$ besitzen. Es ist also
$F_{\triangle ADE}=\frac{|AE|}{|AC|} \cdot F_{triangle ADC}=\frac{|AE|}{|AC|} \cdot \frac{|AD|}{|AB|} \cdot F_{\triangle ABC}$.
Nach dem Strahlensatz (da die Geraden $g_{DC}$ und $g_{ME}$ nach Konstruktion parallel sind und von zwei von $A$ ausgehenden Strahlen geschnitten werden) gilt aber
$\frac{|AE|}{|AC|}=\frac{|AM|}{|AD|}=\frac{1}{2} \cdot \frac{|AB|}{|AD|}$, sodass man nach Einsetzen genau das Gewünschte Resultat $F_{\triangle ADE}=\frac{1}{2} \cdot F_{\triangle ABC}$ erhält.
Cyrix
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Ex_Senior
| Beitrag No.300, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-05
|
Es war wieder ein sehr erfolgreicher Tag. Danke für die vielen Lösungen.
Jetzt sind wir schon bei 370 gelösten Aufgaben.
LG Steffen
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Caban
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Mitteilungen: 3268
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.301, eingetragen 2019-05-05
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081024
t ist die Zeit, bis sich beide Autos begegnen.
I s-t*v_1=v_1*t_1
II s-t*v_2=v_2*t_2
mit t=s/(v_1+v_2) ergibt sich:
I 210-210*v_1/(v_1+v_2)=2v_1
II 210-210*v_2/(v_1+v_2)=8/9*v_2
v_1=60 km/h
v_2=80 km/h
Gruß caban
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PrinzessinEinhorn
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Dabei seit: 23.01.2017
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 | Beitrag No.302, eingetragen 2019-05-05
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\quoteon(2019-05-05 00:51 - cyrix in Beitrag No. 287)
121035: Beweisen Sie, dass gilt:
$\lg\left(1-\frac{1}{25^2}\right)+\lg\left(1-\frac{1}{26^2}\right)+\dots+ \lg\left(1-\frac{1}{100^2}\right)= \lg\left(\color{red}{1-\frac{606}{625}}\color{black}\right)$
\quoteoff
Hier ist mir ein kleiner Tippfehler aufgefallen. :)
(Edit: Wurde korrigiert)
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| Beitrag No.303, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-06
|
Noch ein paar kleine Aufgaben zum Abschluss des heutigen Tages:
Aufgabe 111034: Ein gerader Kreiskegelkörper mit dem Radius $R=6$ und der Höhenlänge $h$ sei so zylindrisch durchbohrt, dass die Ache des Kegels mit der des Bohrlochs zusammenfällt.
Wie groß muss der Radius $r$ ($R, h, r$ in cm gemessen) des Bohrlochs gewählt werden, wenn das Volumen des Restkörpers halb so groß sein soll wie das des Kegelkörpers?
Lösung:
Der ausgebohrte Teilkörper lässt sich zerlegen in einen Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $h_T:=\frac{R-r}{R} \cdot h$ sowie einen Kreiskegel mit Radius $r$ und Höhe $h-h_T=\frac{r}{R} \cdot h$, da das Bohrloch (von der Grundfläche aus gesehen) in einer Höhe von $h_T$ die Mantelfläche des gegebenen Kreiskegelkörpers durchstößt.
Für das Volumen $V$ des Ausgangskegels ergibt sich $V=\frac{1}{3} \cdot \pi R^2 h$ und für den Teilkörper
$V_T=\pi r^2 \cdot h_t + \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot (h-h_T)$
$=\pi r^2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(3\frac{R-r}{R} + \frac{r}{R} \right) \cdot h$.
Aus $V=2V_T$ ergibt sich damit die Gleichung
$R^2=2 r^2 \cdot \frac{3R-2r}{R}$ bzw. $6r^2R -4r^3-R^3=0$. Mit $R=6$ ergibt sich $4r^3-36r^2+216=0$ bzw. $r^3-9r^2+54=0$. Es ist $r^3-9r^2+54=(r-3) \cdot (r^2-6r+18)$, was $r=3$ als einzige Nullstelle besitzt. Also muss der Radius $r$ des Bohrlochs $3$ cm betragen.
Alternativ-Lösung:
Offensichtlich gilt, dass, je größer der Radius $r$ des Bohrlochs gewählt wird, desto größer auch das Volumen $V_T$ des ausgebohrten Teilkörpers ist. Wählt man $r=0$, so ist $V_T=0$ und für $r=R$ ist $V_T=V$ der gesamte Ausgangskörper. Variiert man also $r$ im Intervall $[0; R]$, so gibt es genau einen Wert, für den $V_T=\frac{1}{2} V$ gilt.
Wir wählen $r=\frac{1}{2} R$ und zerlegen den ausgebohrten Teilkörper in einen geraden Kreiszylinder sowie einen Kreiskegel. Beide haben als Grundfläche $\pi r^2=\frac{1}{4} \pi R^2$ und als Höhe $\frac{1}{2} h$, sodass sich das Volumen des Teilkörpers ergibt zu
$V_T=\frac{1}{4} \pi R^2 \cdot \frac{1}{2} h + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \pi R^2 \cdot \frac{1}{2} h=\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{24}\right) \cdot \pi \cdot R^2h=\frac{1}{6} \cdot \pi \cdot R^2h=\frac{1}{2} V$.
Damit führt die Wahl von $r=\frac{1}{2} R=3$ cm als einzige dazu, dass der Restkörper genau das halbe Volumen des Ausgangskörpers besitzt.
Aufgabe 111035: Eine Funktion $f(x)$, die für alle reellen Zahlen $x$ definiert sei, sei periodisch mit Periode $p$, d.h., für alle reellen $x$ gele $f(x+p)=f(x)$, wobei $p$ die kleinste positive Zahl sei, für die das gilt.
Welche kleinste positive Periode hat dann die Funktion
a) $F(x)=\frac{1}{2} f(x)$; b) $G(x)=f\left(\frac{x}{2}\right)$.
Lösung:
a) Die Funktion $F(x)$ hat auch die Periode $p$. Einerseits ist für alle reellen $x$ die Gleichung
$F(x+p)=\frac{1}{2} f(x+p)=\frac{1}{2} f(x)=F(x)$
wahr, da $f$ $p$-periodisch ist. Andererseits würde aber auch für jede kleinere positive Zahl $q$, für die für alle reellen $x$ die Gleichung $F(x+q)=F(x)$ gilt, folgen, dass widerum für alle reellen $x$ auch
$f(x+q)=2\cdot F(x+q)= 2 \cdot F(x)=f(x)$
erfüllt ist, was im Widerspruch zur Minimalität von $p$ stünde. Also gibt es kein solches $00}$ direkt $y=1$ oder $y=2$. Im ersten Fall ist $x=-6$ und $m=\frac{15}{2}$, im zweiten $x=-1$ und $m=4$. Damit ergeben sich die beiden Lösungstripel $\left(4,-1,2\right)$ und $\left(\frac{15}{2}, -6, 1\right)$. Die Probe bestätigt, dass beide angegebenen Tripel Lösungen des Gleichungssystems sind.
Aufgabe 111041: a)Man beweise den folgenden Satz!
Ist die Summe dreier Primzahlen, von denen jede größer als 3 ist, durch 3 teilbar, dann sind alle Differenzen je zwei dieser Primzahlen durch 6 teilbar.
b) Man beweise, dass die Behauptung des Satzes nicht immer wahr ist, wenn die Einschränkung, dass jede der Primzahlen größer als 3 ist, fallen gelassen wird.
Lösung:
Die Summe von drei natürlichen Zahlen ist genau dann durch 3 teilbar, wenn entweder alle drei Zahlen den gleichen Rest bei der Teilung durch 3 lassen, oder aber jeder der drei möglichen Reste unter den drei Zahlen vertreten ist.
Der zweite Fall kann in der in der Aufgabe gegebenen Situation nicht vorkommen, da der Rest 0 nicht vertreten ist, da keine Primzahl die größer als 3 ist, durch 3 teilbar sein kann. Also müssen alle drei Primzahlen den gleichen Rest (1 oder 2) bei der Teilung durch 3 lassen und somit jede ihrer Differenzen durch 3 teilbar sein.
Weiterhin sind alle diese Primzahlen größer als 2 und somit ungerade. Ihre Differenzen sind damit alle gerade und insgesamt (wegen ggT(2,3)=1) durch 6 teilbar, was a) zeigt.
Für den Aufgabenteil b) betrachte man die drei Primzahlen 3, 5 und 7, deren Summe 15 durch 3 teilbar ist, die Differenz 7-5=2, aber nciht durch 6.
Cyrix
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.304, eingetragen 2019-05-06
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$
\begin{document}
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\a}{2} %
\pgfmathsetmacro{\c}{2.5} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{90} %
\pgfmathsetmacro{\aI}{1.5} %
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(sin(\Gamma)*\a/\c} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} %
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2 + \c^2 -2*\a*\c*cos(\Beta))} %
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\hc}{2*\F/\c} %
\pgfmathsetmacro{\bI}{\hc*\aI/\a} %
\pgfmathsetmacro{\cI}{sqrt(\aI^2-\bI^2)} %
\pgfmathsetmacro{\uI}{\aI+\bI+\cI} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[scale=2.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Annotationen - Dreieck
\draw[] (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[Punkt={below}{H_c}] (Hc) node[midway, left]{$h_c$};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$",
] {angle =B--Hc--C};
\path[] (B) -- ($(B)!\aI cm!(C)$) coordinate[Punkt={above}{D}] (D) node[midway, right]{$a_1$};
\draw[] (D) -- ($(A)!(D)!(B)$) coordinate[Punkt={below}{E}] (E) node[midway, left]{$b_1$};
\path[] (E) -- (B) node[midway, below]{$c_1$};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$",
] {angle =B--E--D};
%% Punkte
\foreach \P in {Hc,E,D} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75/2.7pt);
% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,c/c}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*3mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\draw[|-|, yshift=-8mm, xshift=9mm] (0,0) -- (\aI,0) node[midway, above]{$a_1=|BD|$};
\end{scope}
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-7mm)$)}, scale=0.7] (\Gamma:5mm) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (5mm,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =R--Q--P};
\node[shift={(45:7mm)}] at (Q) {$\gamma$};
% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-1mm, xshift=9mm, draw, align=left, fill=none,
PosUnten, font=\normalsize,
%PosLinks,
]{
$\begin{array}{l l}
\text{Beispielwerte:} & \\
a = \a \text{ cm} & \\
c = \c \text{ cm} & \\
\gamma = \Gamma^\circ & \\
a_1 = |BD| = \aI \text{ cm} & \\ \hline
\alpha = \Alpha^\circ & (1)\\
\beta = \Beta^\circ & (2)\\
b = \pgfmathprintnumber[precision=2]{\b} \text{ cm} & (3) \\
F = \pgfmathprintnumber[precision=2]{\F} \text{ cm}^2 & \text{(4)} \\
h_c = \pgfmathprintnumber[precision=2]{\hc} \text{ cm} & \text{(5)} \\ \hline
b_1 = |DE|= \pgfmathprintnumber[precision=2]{\bI} \text{ cm} & (6) \\
c_1 = |BE|= \pgfmathprintnumber[precision=2]{\cI} \text{ cm} & (7) \\[0.5em]
a_1+b_1+c_1 = \pgfmathprintnumber[precision=2]{\uI} \text{ cm} &
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
\end{array}$
};
\node[draw=none, align=left, fill=none, text width=3.4*\c cm,
PosLinks, yshift=-3.1*\hc cm, xshift=18mm, font=\normalsize,
]{
\begin{tabular}{@{\ttfamily(}l@{\ttfamily )~~}
l
@{\hskip 0em (}l<{)}}
1 & $\alpha = \arcsin\left(\dfrac{a}{c} \cdot \sin(\gamma) \right)$ & Sinussatz\\[1em]
2 & $\beta=180^\circ-\alpha-\gamma$ & Winkelsumme \\[1em]
3 & $b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos(\beta)}$ & Kosinussatz \\[1em]
4 & \parbox[t]{5cm}{$F=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, \\[0.5em] $~~s=\dfrac{a+b+c}{2}$} & Heronsche Formel \\[3.5em]
5 & $h_c = \dfrac{2F}{c}$ & Flächenformel \\[1em]
6 & $b_1=h_c\cdot \dfrac{a_1}{a}$ & Strahlensatz \\[1em]
7 & $c_1=\sqrt{a_1^2-b_1^2}$ & Satz des Pythagoras
\end{tabular}
};
\end{tikzpicture}
$
\showon LaTeX (\usepackage{array} !)
\sourceon latex
% 040913
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{array}
\begin{document}
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\a}{2} %
\pgfmathsetmacro{\c}{2.5} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{90} %
\pgfmathsetmacro{\aI}{1.5} %
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(sin(\Gamma)*\a/\c} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} %
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2 + \c^2 -2*\a*\c*cos(\Beta))} %
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\hc}{2*\F/\c} %
\pgfmathsetmacro{\bI}{\hc*\aI/\a} %
\pgfmathsetmacro{\cI}{sqrt(\aI^2-\bI^2)} %
\pgfmathsetmacro{\uI}{\aI+\bI+\cI} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[scale=2.7,
font=\footnotesize,
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Dreieck/.style={thick},
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% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Annotationen - Dreieck
\draw[] (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[Punkt={below}{H_c}] (Hc) node[midway, left]{$h_c$};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$",
] {angle =B--Hc--C};
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\path[] (E) -- (B) node[midway, below]{$c_1$};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$",
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%% Punkte
\foreach \P in {Hc,E,D} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75/2.7pt);
% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
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% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,c/c}{%%
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% Winkel
\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
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\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =R--Q--P};
\node[shift={(45:7mm)}] at (Q) {$\gamma$};
% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
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%PosLinks,
]{
$\begin{array}{l l}
\text{Beispielwerte:} & \\
a = \a \text{ cm} & \\
c = \c \text{ cm} & \\
\gamma = \Gamma^\circ & \\
a_1 = |BD| = \aI \text{ cm} & \\ \hline
\alpha = \Alpha^\circ & (1)\\
\beta = \Beta^\circ & (2)\\
b = \pgfmathprintnumber[precision=2]{\b} \text{ cm} & (3) \\
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h_c = \pgfmathprintnumber[precision=2]{\hc} \text{ cm} & \text{(5)} \\ \hline
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l
@{\hskip 0em (}l<{)}}
1 & $\alpha = \arcsin\left(\dfrac{a}{c} \cdot \sin(\gamma) \right)$ & Sinussatz\\[1em]
2 & $\beta=180^\circ-\alpha-\gamma$ & Winkelsumme \\[1em]
3 & $b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos(\beta)}$ & Kosinussatz \\[1em]
4 & \parbox[t]{5cm}{$F=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, \\[0.5em] $~~s=\dfrac{a+b+c}{2}$} & Heronsche Formel \\[3.5em]
5 & $h_c = \dfrac{2F}{c}$ & Flächenformel \\[1em]
6 & $b_1=h_c\cdot \dfrac{a_1}{a}$ & Strahlensatz \\[1em]
7 & $c_1=\sqrt{a_1^2-b_1^2}$ & Satz des Pythagoras
\end{tabular}
};
\end{tikzpicture}
\end{document}
\sourceoff
\showoff
Hinweis: Eigentlich ist der Sinussatz bei (1) unnötig, da es sich laut Aufgabe um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Ich hatte mir das ganz allgmein überlegt und erst später gemerkt, dass ein rechtwinkliges Dreieck vorlegt.
Entweder kann man (1) entsprechend vereinfachen oder so lassen, dann funktioniert die Rechnung auch für beliebige Dreiecke.
€dit: Wurde eh, wie gewohnt, binnen weniger Minuten übernohmen. Ich würde es so lassen.
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ZePhoCa
Aktiv
Dabei seit: 15.09.2010
Mitteilungen: 273
 | Beitrag No.305, eingetragen 2019-05-06
|
081221 Geben Sie alle Primzahlen $p$ an, für die sowohl $p+ 10$ als auch $p+ 14$ Primzahlen sind!
Lösung: Sei $a \in \lbrace 0,1,2 \rbrace$ der Rest von $p$ bei Division durch $3$. Gilt $a=1$, so ist $p+14$ durch $3$ teilbar und wegen $p+14>3$ keine Primzahl. Gilt $a=2$, so ist analog $p+10$ durch $3$ teilbar und keine Primzahl. Also muss $p$ durch $3$ teilbar sein, es muss also $p=3$ gelten. Dann gilt $p+10=13, p+14=17$ und da dies Primzahlen sind gibt es genau eine Lösung, nämlich $p=3$.
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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2591
| Beitrag No.306, eingetragen 2019-05-06
|
Huhu,
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2019-05-06_um_15.51.58.png
Zunächst stellen wir fest, dass \(f(x,y)=f(-x,y)\) und \(f(x,y)=f(x,-y)\), es liegt also eine Symmetrie zur x-Achse und zur y-Achse vor. Wir können uns also auf den ersten Quadranten beschränken. Es gilt dann \(x,y>0\) und die Gleichung geht über in \(|x+|y-3|-3|=1\). Sei nun \(0y\) erhalten wir dann \(y=x-1\) und für \(y>x\) folgt \(y=x+1\). Sei nun \(y\geq 3\). Dann geht unsere Gleichung über in \(|x+y-6|=1\). Für \(x+y<6\) erhalten wir \(y=-x+5\) und für \(x+y\geq 6\) folgt \(y=7-x\). Zeichnen wir diese 4 Gerade und spiegeln erhalten wir also folgendes schönes Bild (ich war faul und habe WA zeichnen lassen):
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2019-05-06_um_15.51.21.png
Gruß,
Küstenkind
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2591
| Beitrag No.307, eingetragen 2019-05-06
|
Huhu Steffen,
kleine Kritik:
\quoteon(2019-05-04 14:56 - Kuestenkind in Beitrag No. 279)
Aufgabe 081023:
Verbindet man einen beliebigen, im Innern eines gleichseitigen Dreiecks gelegenen Punkt mit je einem Punkt der drei Dreieckseiten, dann ist die Summe der Längen dieser drei Verbindungsstrecken stets größer oder gleich der Höhenlänge dieses gleichseitigen Dreiecks.
Beweisen Sie diese Aussage!
Die kürzeste Strecke zu jeder Seite ist das Lot. Nach dem Satz von Viviani ist die Summe dieser drei Strecken \(h\).
\quoteoff
du hast zu dieser Aufgabe folgende Lösung übernommen:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2019-05-06_um_16.14.17.png
Es ist zwar trivial, aber es war nicht Aufgabe \(h=s+t+u\) zu beweisen (es geht um eine Ungleichung). Ich schrieb daher in meinen kurzen Beweis noch den ersten Satz dazu. Auch wenn es mir (relativ) egal ist was unter der Aufgabe steht, würde ich es schöner finden, wenn dort etwas wie "Beweis von Wikipedia übernommen" steht. Sowas würde ich zumindest von meinen Schülern fordern (Quelle angeben!).
Gruß,
Küstenkind
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.308, eingetragen 2019-05-06
|
\quoteon(2019-05-06 16:22 - Kuestenkind in Beitrag No. 307)
Huhu Steffen,
....
\quoteoff
Empfehlung: Löse doch die Aufgabe selber gescheit, d.h. vollständig.
Wer liest gerne eine "Aufgabensammlung mit Lösungen", wo man sich die Lösungen dann per Hinweis woanders suchen soll, unter der Zusatzvoraussetzung, dass man gerade onlinefähig ist? Niemand...
Hier braucht man einfach nur eine kleine Sizze. Der Satz von Viviani ist dann direkt ableitbar. Die erwähnten "farbig markierten Flächen" sind dann plötzlich direkt verständlich.
Der Rest schreibt sich in ca. 4 Zeilen nieder.
(In der 1. Formelzeile scheint im Übrigen ein Schreibfehler zu stecken.)
Falls jmd. nur Lust hat, die Aufgaben zu 80% oder weniger zu lösen, sollte ggf. erwähnt werden, dass es um eine freiwillige Arbeit handelt zu welcher niemand verpflichtet ist.
|
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Ex_Senior
| Beitrag No.309, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-06
|
@Kuestenkind:
Danke für die Lösung. Ich habe mal ein tikz-Bild ergänzt.
Deine Kritik habe ich sofort berücksichtigt und korrigiert. Alles online, d.h. 388 Lösungen.
Interessant ist, dass nun mein schneller i7-Prozessor inkl. der sehr schnellen SSD-Platte endlich mal etwas zu tun bekommen.
Beim Kompilieren der 320 PDF-Seiten kommen beide so richtig in Fahrt. :-P
LG Steffen
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.307 begonnen.]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.310, eingetragen 2019-05-06
|
\quoteon(2019-05-06 16:41 - stpolster in Beitrag No. 309)
@Kuestenkind:
Danke für die Lösung. Ich habe mal ein tikz-Bild ergänzt.
\quoteoff
Es ist aber weiterhin der Schreibfehler drin.
PS: Bei besagtem Bild würde ich die rechten Winkel einzeichnen.
Dafür verwende ich eine "Vorlage"
\sourceon (latex)
% \usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =R--Q--P};
\node[shift={(45:7mm)}] at (Q) {$\gamma$};
\sourceoff
|
Profil
|
Ex_Senior
| Beitrag No.311, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-06
|
\quoteon(2019-05-06 16:41 - HyperPlot in Beitrag No. 308)
Empfehlung: Löse doch die Aufgabe selber gescheit, d.h. vollständig.
\quoteoff
Was soll das bitteschön heißen? Hier ist erst einmal eine schlanke Lösung zu 040913 ohne tikz/Formel-Überschuss.
Aufgabe 040913:
Nach Pythagoras gilt $|AC|=15$. Daher hat das Dreieck $ABC$ den Umfang $u_{ABC}=60$. Das rechtwinklige Dreieck $BDE$ mit Hypotenuse $BD$ hat mit $ABC$ in $B$ einen gemeinsammen Winkel und ist somit ähnlich zu $ABC$. Für den Umfang $u_{BDE}$ von $BDE$ erhalten wir
\[\frac{u_{BDE}}{u_{ABC}}=\frac{BD}{AB}\Rightarrow u_{BDE} = \frac{BD}{AB} u_{ABC}=36 \ \text{.}\]
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.309 begonnen.]
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Kuestenkind
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| Beitrag No.312, eingetragen 2019-05-06
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Lass gut sein, TomTom. Wenn es mich stören würde, hätte ich schon selbst etwas geschrieben. Ich denke jeder kann sich selbst ein Bild machen - der Thread ist schon lang genug.
@Steffen:
\quoteon(2019-05-06 16:41 - stpolster in Beitrag No. 309)
Ich habe mal ein tikz-Bild ergänzt.
\quoteoff
Vielen Dank - da hört es bei mir auf!
Viele Grüße,
Küstenkind
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.313, eingetragen 2019-05-06
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@Kuestenkind #306:
Sehr schön! Ich hatte mich gestern ebenfalls an dieser Aufabe versucht. Habe mich dann aber in 16 Fälle verzettelt und schließlich die Geduld verloren. Dass man nur den ersten Quadranten zu betrachten braucht und dann spiegeln kann, hatte ich nicht bemerkt. Zwei Kleinigkeiten:
\quoteon(2019-05-06 16:05 - Kuestenkind in Beitrag No. 306)
1) Wir erhalten \(|x-y+3-3|=1 \iff |x+y|=1\).
2) Für \(x+y<6\) erhalten wir \(y=7-x\) und für \(x+y\geq 6\) folgt \(y=-x+5\).
\quoteoff
1) Hier muss es |x-y|=1 heißen.
2) Die beiden Fälle müssen vertauscht werden.
Grüße
StrgAltEntf
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.314, eingetragen 2019-05-06
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https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50970_15_55555555.png
\showon Aufgabe 050914:
· Es ist $
\dfrac{a}{\sin(\alpha)}
= \dfrac{b}{\sin(\beta)}
= \dfrac{c}{\sin(\gamma)}
= 2R
$ ("erweiterter Sinussatz")
Beweis:
Der erweiterte Sinussatz folgt als Kombination von Umfangswinkelsatz und dem Satz des Thales.
Man entliest der Abbildung $
\sin(\gamma) = \dfrac{c}{2R}
$, also zusammen mit dem Sinussatz $
\dfrac{a}{\sin(\alpha)}
= \dfrac{b}{\sin(\beta)}
= \dfrac{c}{\sin(\gamma)}
= 2R.
$
$% Gegebene Größen
% .......
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Umreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %
\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];
\path[] (A) -- (B) node[midway, below]{$c$};
% Umfangswinkelsatz
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\gamma$"
] {angle =A--C--B};
% Satz des Thales
\draw[red] (B) -- (U) node[midway, below]{$R$}
-- ($(U)!-\R cm!(B)$) node[midway, below]{$R$} coordinate[Punkt={above}{P}](P)
-- (A);
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$", red
] {angle =B--A--P};
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\gamma$"
] {angle =A--P--B};
%% Mittelsenkrechte
%\draw[thick] (U) -- ($(B)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma);
%\draw[thick] (U) -- ($(A)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={left}{M_b}] (Mb);
%\draw[thick] (U) -- ($(A)!(U)!(B)$) coordinate[Punkt={below}{M_c}] (Mc);
%% Winkel
%\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
%draw, "$\cdot$"
%] {angle =A--Mb--U};
%\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
%draw, "$\cdot$"
%] {angle =B--Mc--U};
%\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
%draw, "$\cdot$"
%] {angle =C--Ma--U};
%% Annotationen - Aufgabe
%\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
%\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
%% Strecken
%\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,b/b,c/c}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
%};}%%
%\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
%"$\alpha$",
%] {angle =R--Q--P};
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm} & \\
%b = \b \text{ cm} & (1) \\
%c = \c \text{ cm} & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};
%% Punkte
\foreach \P in {U, P, C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
$
· Damit wird, mit Hilfe von $
A = \dfrac12 b h_b = \dfrac12 bc \sin(\alpha),
$ für das Produkt $
R\cdot A
= \dfrac{a}{2\,\sin(\alpha)} \cdot \dfrac{b\, c}{2}\,\sin(\alpha)
= \dfrac{a\, b\, c}{4} \hspace{2cm}\square
$
\showoff
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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2591
| Beitrag No.315, eingetragen 2019-05-06
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Huhu StrgAltEntf,
vielen Dank! Abschreiben vom Zettel muss auch gelernt sein. Habe es oben verbessert.
@Steffen: Kannst du das bitte noch ändern. Danke!
Gruß,
Küstenkind
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.316, eingetragen 2019-05-06
|
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51007_11_55555555.png
\showon Aufgabe 070935 (LaTeX-Hinweis: Größerer Zeilenumbruch geht so \\[1em])
$
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(2*\F/(\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={below}{}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Seiten
\path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$x$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$y$};
% Seitenhalbierende
\coordinate[Punkt={below}{}] (M) at ($(A)!0.5!(B)$);
\draw[red] (C) -- (M) node[midway, left]{$s$};
\path[] (A) -- (M) node[midway, above]{$m$};
\path[] (B) -- (M) node[midway, above]{$m$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.1*\c cm,
"$\varphi$", draw,
] {angle =C--M--A};
\draw pic [angle radius=0.11*\c cm,
"$\overline{\varphi}$", draw,
] {angle =B--M--C};
%% Annotationen - Aufgabe
%\path[local bounding box=scope1, draw=none] (A) -- (A|-C);
%\path[local bounding box=scope2, draw=none] (C) -- (C|-A);
%\pgfmathparse{\a < \b ? "1" : "2"}
%\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
%\begin{scope}[shift={($(scope\pgfmathresult.north)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
%\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,b/b,c/c}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$% = \csname \s \endcsname cm
%};}%%
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(0,-9mm)$)}, yshift=0*-16mm] (\Alpha:1) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [angle radius=7mm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =R--Q--P};
%\end{scope}
%% Punkte
\foreach \P in {M}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
$
Aus dem Schaubild entliest man mit Hilfe des Kosinussatzes
$
\begin{array}{l l}
x^2 &= m^2 + s^2 - 2sm\cdot\cos(\varphi) \\[2em]
y^2 &= m^2 + s^2 - 2sm\cdot\cos(\overline{\varphi}) \\
&= m^2 + s^2 + 2sm\cdot\cos(\varphi)
\end{array}
$
da $
\cos(\overline{\varphi}) = \cos(180^\circ-\varphi) = -\cos(\varphi)
$; also
$\underline{x^2 + y^2 = 2(m^2 + s^2)}$ (Satz des Appolonius).
$\Rightarrow~ 2s^2 = x^2 +y^2 -2m^2$.
Für ein Dreieck $ABC$ mit $s=s_a$, $x=b$, $y=c$ und $m = \dfrac{a}{2}$ (vgl. andere Abbildung) wird
$
2s_a^2 = b^2+c^2-2\cdot\dfrac{a^2}{4}
$ bzw. $
4s_a^2 = 2b^2 +2c^2 -a^2
$.
Zusatz: Setzt man darin den Kosinussatz ein, wird
$\begin{array}{ll}
4s_a^2 &= 2b^2 +2c^2 -a^2 \\[1em]
&= 2b^2 +2c^2 -\big( b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha) \big) \\[1.5em]
&= b^2 +c^2 +2bc\cdot\cos(\alpha).
\end{array}
$
Zusatz: Setzt man erneut den Kosinussatz ein, wird
$\begin{array}{ll}
4s_a^2 &= b^2 +c^2 +2bc\cdot\cos(\alpha) \\[1em]
&= \big( a^2+2bc\cdot\cos(\alpha) \big) +2bc\cdot\cos(\alpha) \\[1.5em]
&= a^2+4bc\cdot\cos(\alpha).
\end{array}
$
Damit erhält man für die Seitenhalbierenden insgesamt die Formeln
$
s_{a}=\dfrac{\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}
=\dfrac{\sqrt{b^{2}+c^{2}+2bc\cos(\alpha)}}{2}
=\sqrt{\dfrac{a^{2}}{4}+bc\cos(\alpha) }
$
$
s_{b}=\dfrac{\sqrt{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}}{2}
=\dfrac{\sqrt{a^{2}+c^{2}+2ac\cos(\beta)}}{2}
=\sqrt{\dfrac{b^{2}}{4}+ac\cos(\beta)}
$
$
s_{c}=\dfrac{\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}
=\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\gamma)}}{2}
=\sqrt{\dfrac{c^{2}}{4}+ab\cos(\gamma) }
$
$
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\m}{1.7} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{\m*4.7} %
\pgfmathsetmacro{\sb}{\m*3} %
\pgfmathsetmacro{\sc}{\m*2.7} %
\pgfmathsetmacro{\a}{2*sqrt(-\sa^2+2*\sb^2+2*\sc^2)/3} %
\pgfmathsetmacro{\b}{2*sqrt(-\sb^2+2*\sa^2+2*\sc^2)/3} %
\pgfmathsetmacro{\c}{2*sqrt(-\sc^2+2*\sb^2+2*\sa^2)/3} %
\begin{tikzpicture}[scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
]
% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\hc}{2*\F/\c} %
\pgfmathsetmacro{\AHc}{sqrt(\b^2-\hc^2)} %
\pgfmathsetmacro{\AHcRes}{\b > \a ? \AHc : -\AHc} %
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\AHcRes,\hc);
\draw (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Seitenhalbierende
\coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\coordinate[Punkt={above}{M_b}] (Mb) at ($(A)!0.5!(C)$);
\coordinate[Punkt={below}{M_c}] (Mc) at ($(A)!0.5!(B)$);
\coordinate[Punkt={above}{S}] (S) at ($(A)!2/3!(Ma)$);
\draw[] (A) -- (Ma) node[near start, above]{$s_a$};
\draw[] (B) -- (Mb) node[near start, above]{$s_b$};
\draw[] (C) -- (Mc) node[near start, left]{$s_c$};
%% Annotationen - Strecken
%\path[local bounding box=scope1, draw=none] (A) -- (A|-C);
%\path[local bounding box=scope2, draw=none] (C) -- (C|-A);
%\pgfmathparse{\b > \a ? "1" : "2"}
%\pgfmathsetmacro{\x}{max(\sa, \sb, \sc)} %
%\begin{scope}[shift={($(scope\pgfmathresult.north)+(-\x cm-2mm,0)$)}]
%\tikzset{YShift/.style={yshift=-\y*\hc*0.3 cm}}
%\foreach[count=\y from 0] \s in {a,b,c}{%%
%\draw[|-|, YShift] (0,0) -- (\csname s\s \endcsname,0) node[midway, above]{$s_\s$%= \csname s\s \endcsname{} cm
%};
%\pgfmathsetmacro{\Drittel}{(\csname s\s \endcsname)/3}%
%\foreach \d in {1,...,2}{%
%\draw[YShift, xshift=\d*\Drittel cm] (0,0) -- (0,3pt) %node[above, font=\tiny]{\d$\cdot$\Drittel}
%;}%
%}%%
%\end{scope}
%% Hoehe einzeichnen
%\draw[red] (C) -- (\AHcRes,0) node[midway, left]{$h_c$};
%\draw[densely dashed, shorten >=-3mm] (A) -- (\AHcRes,0);
% Punkte
\foreach \P in {Ma,Mb,Mc,S}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
$
\showoff
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.314 begonnen.]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.317, eingetragen 2019-05-06
|
\showon Alternativlösung zu Beitrag No.316 (für wer sich angesprochen fühlt...)
4s = 2b²+2c²-a² (siehe wikipedia: Satz des Appolonius).
\showon Und...
... nein, bitte diese "Lösung" nicht übernehmen.
\showoff
\showoff
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.318, eingetragen 2019-05-06
|
@stpolster:
Mir fällt auf: Was hier gepostet wird ist üblicherweise in weniger als 10min. hier https://mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20525
eingebunden.
Ich habe in #316 noch eine Korrektur vorgenommen. Es ist keine große Korrektur, aber eine kleine Verbesserung (und noch eine Richtigstellung).
€dit: Und das 2. Bild, was nochmal die Größen im Überblick zeigt und auf die im Text verwiesen wird (!), hast Du auch weggelassen. Das ist nicht schön... Für wen soll das übh. sein? Für Profis, die das alles schon wissen oder sich schnell selbst herleiten können oder für Schüler, die das erst noch lernen müssen?
Daher ein weiteres Mal der Tip: Immer ca. 24h warten mit dem Übernehmen.
Und im Sinne des Autors übernehmen.
So vermeidest Du auch diverse Korrekturanträge, die Du dann mühsam einpflegen musst.
Vielleicht hat jmd. noch Fragen zu einem Post. Vielleicht sieht jmd. Fehler oder Verbesserungsmöglichkeiten usw.
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Ex_Senior
| Beitrag No.319, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-06
|
@Hyperplot:
Nun gut Du hast gegenüber meiner Lösung also 2 andere Dreiecke für den Kosinussatz verwendet. Dir ist aber schon klar, dass alles nach "(Satz des Appolonius)" unnötiger Ballast ist? Der Sinn einer Formel, die von 3 Seiten und einem Winkel statt von 3 Seiten abhängt erschließt sich mir beim besten Willen nicht.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.317 begonnen.]
Nachtrag: Wenn Du gleich $a,b,c/2$ statt $x,y,m$ verwendest, ist ein zweites Bild vollkommen überflüssig.
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