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| Autor |
 Alte Olympiadeaufgaben |
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2591
 |  Beitrag No.400, eingetragen 2019-05-11
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\quoteon(2019-05-11 22:24 - cyrix in Beitrag No. 399)
Ab morgen geht es dann erst einmal um aktuelle Aufgaben.
\quoteoff
Viel Erfolg (und Spaß)! Bring ein paar Medaillen mit zurück ins schönste Bundesland!
Viele Grüße,
Küstenkind
edit: @Steffen: Die 400. Antwort hier im Thread ist doch sicherlich auch ein Bierchen wert?! :-P
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 Profil
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weird
Senior 
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5301
 | Beitrag No.401, eingetragen 2019-05-11
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Hier noch eine kürzere Alternativlösung zu
Aufgabe 021125:
Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen $n$ stets
\[5^{2n+1}\cdot 2^{n+2}+3^{n+2}\cdot 2^{2n+1}\]
stets durch 19 teilbar ist.
Lösung: Unter Verwendung der Umformung
\[5^{2n+1}\cdot 2^{n+2}+3^{n+2}\cdot 2^{2n+1}=10\cdot 25^n\cdot 2^{n+1}+9\cdot 2^{n+1}\cdot 3^n\]
sowie
\[25^n \equiv 6^n=2^n\cdot 3^n \mod 19\]
gilt dann
$10\cdot 25^n\cdot 2^{n+1}+9\cdot 2^{n+1}\cdot 3^n\equiv 10\cdot 2^{2n+1}\cdot 3^n+9\cdot 2^{2n+1}\cdot 3^n=19\cdot 2^{2n+1}\cdot 3^n\equiv 0 \mod 19$
was die Behauptung beweist.
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Ex_Senior
| Beitrag No.402, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-11
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\quoteon(2019-05-11 22:24 - cyrix in Beitrag No. 399)
Ab morgen geht es dann erst einmal um aktuelle Aufgaben. ;)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.397 begonnen.]
\quoteoff
Danke für die vielen Lösungen.
Ich wünsche eine problemlose Reise. Vielleicht sehen wir uns schon am Montag, da bin ich den ganzen Tag im "Keller", wo die Informatik bei uns untergebracht ist.
\quoteon(2019-05-11 22:40 - Kuestenkind in Beitrag No. 400)
Viel Erfolg (und Spaß)! Bring ein paar Medaillen mit zurück ins schönste Bundesland!
edit: @Steffen: Die 400. Antwort hier im Thread ist doch sicherlich auch ein Bierchen wert?! :-P
\quoteoff
cyrix reist in das schönste Bundesland.
Viele Berge (aber nicht zu hoch), schöne Flussgebiete, wunderschöne Landschaften wie das Vogtland, das Erzgebirge oder das Elbsandsteingebirge, viele Schlösser und Burgen, viele Technikmuseen, viel Kunst und Kultur, tolles Essen, außerordentlich gute Gymnasien :-P und (fast) nur supernette, freundliche, hilfsbereite und vor allem gebildete Menschen. :-)
Für diesen Satz bekomme ich bestimmt den sächsischen Verdienstorden; wenn es so etwas gibt.
Jetzt ganz ernst: Chemnitz ist viel schöner als die meisten glauben.
Natürlich ist auch die 400.Antwort ein Bier wert.
Und nebenbei: 450 Lösungen sind online.
LG Steffen
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Kornkreis
Senior 
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 903
Wohnort: Chemnitz
 | Beitrag No.403, eingetragen 2019-05-12
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@Steffen: Bitte noch bei der 131044 meine Lösung (vom Beitrag 291) hinzufügen! Außerdem ist mir aufgefallen, dass du nicht mit deutschem Sprachpaket arbeitest (oder so), denn manche Ausdrücke der Form "... werden verunstaltet, z.B. wird "a zu ä und "z zu ß.
101243
Es ist der folgende Satz zu beweisen: Haben je drei von vier in der gleichen Ebene liegenden konvexen Vielecksflächen jeweils einen
Punkt gemeinsam, so gibt es einen Punkt, der jeder der vier Vielecksflächen angehört.
\showon Lösung
Bezeichne die gegebenen Flächen mit $F_i$, $i\in \{1,2,3,4\}$. Betrachte die Dreier-Schnitte $A_i:= \cap_{j \in \{1,2,3,4\}\setminus \{i\}} F_j$, welche nach Voraussetzung alle nicht leer sind, und wähle für jedes $A_i$ einen Punkt $P_i \in A_i$.
Wir betrachten das Problem für allgemeine konvexe Flächen und nutzen die eine konvexe Fläche definierende Eigenschaft aus, dass mit zwei Punkten auch die Verbindungslinie der zwei Punkte in der Fläche enthalten ist.
Daraus folgt, dass die Verbindungslinie $P_iP_j$ in $F_k \cap F_m$ enthalten ist (mit $k,m \in \{1,2,3,4\}\setminus \{i,j\}$ und $k\neq m$, $i \neq j$).
Wenn zwei der Punkte $P_i$ übereinstimmen, so ist dies der gesuchte Punkt, da er in allen der gegebenen Flächen enthalten ist.
Seien die $P_i$ nun also alle verschieden.
Wenn drei der $P_i$ auf einer Linie liegen, so ist der mittlere von ihnen in allen vier Flächen enthalten (denn der linke und rechte Punkt, sowie deren Verbindungslinie [wegen Konvexität], sind in der für den mittleren Punkt noch eventuell fehlenden Fläche enthalten) und damit der gesuchte Punkt.
Wenn keine drei der $P_i$ auf einer Linie liegen, so bilden sie ein nicht-entartetes Viereck, sodass es zwei sich schneidende Verbindungslinien $P_iP_j$ und $P_kP_m$ gibt, mit $i,j,k,m$ paarweise verschieden. Der Schnittpunkt ist in allen Flächen enthalten und damit der gesuchte Punkt.
\showoff
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Ex_Senior
| Beitrag No.404, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-12
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@Kornkreis: Ich habe alles übernommen.
Anschließend bin ich den ganzen Text durchgegangen und habe (hoffentlich) alle Anführungsstrich durch \dq ersetzt.
\@alle: Da die Aufgaben der 1.Stufe der Klasse 11 zu schön sind, habe ich sie wieder aufgenommen.
D.h., 468 Lösungen online.
Schönen Sonntag
Steffen
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 3268
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.405, eingetragen 2019-05-12
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Hallo stolpster
Du hast meine Lösung zu 081041 übersehen.
Hier eine Ergänzung zu 09129:
Der Numerus des Zählers liegt zwischen 1000 und 10000, lg(1000)=3, lg(10000)=4
Der Zähler beträgt also 3.
Der Numerus des Nenners liegt zwischen 0,01 und 0,001, lg(0,01)=-2, lg(0,001)=-3
Der Zähler beträgt also -2.
Gruß Caban
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weird
Senior 
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5301
| Beitrag No.406, eingetragen 2019-05-12
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Hier noch eine einfache Alternativlösung zu
Aufgabe 051231:
Es ist zu beweisen, dass die Zahl $z=2^n+1$ für keine natürliche Zahl $n$ eine Kubikzahl ist.
Lösung: Dies folgt einfach daraus, dass im Falle der Lösbarkeit von
\[2^n+1=k^3\quad (k,n\in\mathbb N)\]
bei einer Division durch 7 die linke Seite dieser Gleichung einen Rest in $\{2,3,5\}$, die rechte aber einen Rest in $\{0,1,6\}$ ergeben würde, Widerspruch!
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.407, eingetragen 2019-05-12
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\quoteon(2019-05-11 21:21 - HyperPlot in Beitrag No. 398)
Uppss, da ist scheints noch ein Fehler drin.
Muss ich nochmal überarbeiten...
\quoteoff
So, war irgendwie doch richtig, bloß die Argumentation war nicht so toll. Naja.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51007_15_55555555.png
$
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %
\pgfmathsetmacro{\hbMax}{\b/2*(1/sin(\Beta)+sqrt(1/sin(\Beta)^2-1))} % 5
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\noindent\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\b,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (-\Alpha:\c);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
% Annotationen - Planfigur
% Winkel
\draw pic [angle radius=5mm, angle eccentricity=1.5,
draw, "$\beta$"
] {angle =C--B--A};
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %
\coordinate[Punkt={left}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];
% Höhe
\draw[] (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[Punkt={above}{H_b}] (Hb) node[pos=0.4, right]{$h_b$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$"
] {angle =B--Hb--C};
% Mittelsenkrechte
\draw[] (U) -- ($(A)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={above}{M_b}] (Mb);
% Umkreisradien
\path[] (A) -- (U) node[pos=0.4, left] {$R$};
\path[] (C) -- (U) node[pos=0.4, left] {$R$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$"
] {angle =U--Mb--C};
% Mittelpunktswinkel
\draw[densely dashed] (A) -- (U) node[midway, left]{$$};
%\draw[densely dashed] (C) -- (U) node[midway, right]{$$};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.5,
draw, "$\beta$"
] {angle =Mb--U--A};
\draw pic [angle radius=7mm,% angle eccentricity=1.5,
draw, "$\beta$"
] {angle =C--U--Mb};
% Parallele zu UC
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (U) --+ (0,-2.1) coordinate[Punkt={anchor=north west}{P}] (P);
\draw[densely dashed] (P) --+ (90-\Beta:1.7*\R) node[fill=black!1, pos=0.6]{$p_1$} coordinate(Ps);
\draw pic [angle radius=7mm,% angle eccentricity=1.5,
draw, "$\beta$"
] {angle =Ps--P--U};
\draw[densely dashed] (U) -- ($(U)!1.3!(C)$) node[fill=black!1, inner sep=1pt, pos=0.95]{$p_2$};
% Parallele im Abstand hb
\draw[densely dashed] (B) --+ ($(C)-(A)$) node[fill=black!1, pos=0.8]{$p$};
\draw[densely dashed] (B) --+ ($0.5*(A)-0.5*(C)$) ;
%% Punkte
\foreach \P in {A,B,C,U, Hb,Mb,P}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
$
\showon 200936
$
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} % 7
\pgfmathsetmacro{\hb}{4.898979485566} % 5
\pgfmathsetmacro{\Beta}{38.572650822228} % 40
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\v}{\b^2+2*\b*\hb/tan(\Beta)} %
\pgfmathsetmacro{\w}{(\b*\hb/sin(\Beta))^2} % (a*c)²
\pgfmathsetmacro{\D}{2} %
\pgfmathsetmacro{\aI}{sqrt(\v/2+sqrt((\v/2)^2-\w))} %
\pgfmathsetmacro{\cI}{sqrt(\w)/\aI} %
\pgfmathsetmacro{\aII}{sqrt(\v/2-sqrt((\v/2)^2-\w))} %
\pgfmathsetmacro{\cII}{sqrt(\w)/\aII} %
\pgfmathsetmacro{\a}{\aI} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cI} %
\pgfmathsetmacro{\a}{\aII} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cII} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.5,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
% Annotationen - Dreieck
\draw[thick] (A) -- (C) node[near start, left]{$b$};
\draw[thick] (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[Punkt={left}{H_b}] (Hb) node[midway, right]{$h_b$};
\draw[densely dashed] (Hb) -- (C);
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};
\draw[densely dashed] (Hb) -- (C);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, angle eccentricity=1.3,
%"$\beta$",
pic text={$\beta$}, pic text options={yshift=-2pt}, thick,
] {angle =C--B--A};
%% Punkte
\foreach \P in {Hb}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-0mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {b/b,hb/h_b}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Beta}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-12mm)$)}] (\Winkel:1) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\beta$",
] {angle =R--Q--P};
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%b = \b \text{ cm} & \\
%h_b = \hb \text{ cm} & \\
%\beta = \Beta^\circ & \\ \hline
%a = \a \text{ cm} & \\
%c = \c \text{ cm} & \\
%\alpha = \Alpha^\circ & \\
%\gamma = \Gamma^\circ & \\
%%v\v, w\w,% y\y
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};
\end{tikzpicture}
$
$
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %
\pgfmathsetmacro{\hbMax}{\b/2*(1/sin(\Beta)+sqrt(1/sin(\Beta)^2-1))} % 5
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\noindent\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\b,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (-\Alpha:\c);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
% Annotationen - Planfigur
% Winkel
\draw pic [angle radius=5mm, angle eccentricity=1.5,
draw, "$\beta$"
] {angle =C--B--A};
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %
\coordinate[Punkt={left}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];
% Höhe
\draw[] (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[Punkt={above}{H_b}] (Hb) node[pos=0.4, right]{$h_b$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$"
] {angle =B--Hb--C};
% Mittelsenkrechte
\draw[] (U) -- ($(A)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={above}{M_b}] (Mb);
% Umkreisradien
\path[] (A) -- (U) node[pos=0.4, left] {$R$};
\path[] (C) -- (U) node[pos=0.4, left] {$R$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$"
] {angle =U--Mb--C};
% Mittelpunktswinkel
\draw[densely dashed] (A) -- (U) node[midway, left]{$$};
%\draw[densely dashed] (C) -- (U) node[midway, right]{$$};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.5,
draw, "$\beta$"
] {angle =Mb--U--A};
\draw pic [angle radius=7mm,% angle eccentricity=1.5,
draw, "$\beta$"
] {angle =C--U--Mb};
% Parallele zu UC
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (U) --+ (0,-2.1) coordinate[Punkt={anchor=north west}{P}] (P);
\draw[densely dashed] (P) --+ (90-\Beta:1.7*\R) node[fill=black!1, pos=0.6]{$p_1$} coordinate(Ps);
\draw pic [angle radius=7mm,% angle eccentricity=1.5,
draw, "$\beta$"
] {angle =Ps--P--U};
\draw[densely dashed] (U) -- ($(U)!1.3!(C)$) node[fill=black!1, inner sep=1pt, pos=0.95]{$p_2$};
% Parallele im Abstand hb
\draw[densely dashed] (B) --+ ($(C)-(A)$) node[fill=black!1, pos=0.8]{$p$};
\draw[densely dashed] (B) --+ ($0.5*(A)-0.5*(C)$) ;
%% Punkte
\foreach \P in {A,B,C,U, Hb,Mb,P}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw=none, align=left, fill=none,
PosUnten, text width=1.6*\b cm, yshift=-1mm, font=\normalsize,
%PosLinks,
](XXX){%hbMax=\hbMax \\
Bedingungen für die Konstruktion. Sei $R$ der Umkreisradius; dann entliest man der Abbildung: im Grenzfall ist $h_{b,\max}
=R+|UM_b|
= R+\sqrt{R^2-\dfrac{b^2}{4}}$. Mit $
\sin(\beta) = \dfrac{b/2}{R}
~\Leftrightarrow~
R = \dfrac{b}{2\sin(\beta)}$ wird
$h_{b,\max}
= \dfrac{b}{2\sin(\beta)} +\sqrt{ \dfrac{b^2}{4\sin^2(\beta)}- \dfrac{b^2}{4}}
= \dfrac{b}{2} \cdot \left[\dfrac{1}{\sin(\beta)} +\sqrt{\dfrac{1}{\sin^2(\beta)}-1} \right]$. \\
Also muss
$$h_b \leq \dfrac{b}{2} \cdot \left[\dfrac{1}{\sin(\beta)} +\sqrt{\dfrac{1}{\sin^2(\beta)}-1} \right]$$
gelten.
};
\draw[] (XXX.north east) -- (XXX.south east);
% Annotation =====================
\tikzset{PosRechts/.style={shift={($(dreieck.north)+(2.5*\c cm,3mm)$)}, anchor=north east,}}
\newcommand\No[1]{\texttt{(#1)}~}
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\node[PosRechts, yshift=0cm,
draw=none, align=left, fill=none, text width=1.8*\c cm, font=\normalsize,
] {%
Planfigur und Konstruktion. Der Umkreismittelpunkt $U$ liegt auf der Mittelsenkrechten von $|AC|=b$. Der Mittelpunkstwinkel $2\beta$ hat die doppelte Größe des Umfangswinkels $\beta$ bei $B$ (Kreiswinkelsatz). Damit kann der Umkreismittelpunkt und der Umkreis konstruiert werden. \\
Der Punkt $B$ liegt auf dem Umkreis und auf derjenigen Parallen zu $|AC|$ im Abstand $h_b$. \\
Damit ergibt sich folgende Konstruktion:
\begin{enumerate}
\item Konstruktion des Umkreismittelpunktes als Grundkonstruktion $WWS$.
\item[(1a)] Lege durch die Strecke $b = |AC|$ die Punkte $A$ und $C$ fest.
\item[(1b)] Errichte die Mittelsenkrechte auf $|AC|$.
\item[(1c)] Wähle einen beliebigen Punkt $P$ auf der Mittelsenkrechten; und lege durch $P$ eine Gerade $p_1$ so, dass sie mit der Mittelsenkrechten den Winkel $\beta$ einschließt.
\item[(1d)] Lege zu $p_1$ eine Parallele $p_2$ durch $C$; Schnittpunkt der Parallelen mit der Mittelsenkrechten ist der Umkreismittelpunkt $U$.
\item Konstruktion des Punktes $B$.
\item[(2a)] Beschreibe einen Kreis $\bigodot(U, |UA|)$ um $U$ vom Radius $|UA|$, um den Umkreis zu erhalten.
\item[(2b)] Lege eine Parallele $p$ zu $|AC|$ im Abstand $h_b$; Schnittpunkte der Parallelen mit dem Umkreis liefern den Punkt $B$. \\
Es hängt also von den Größen $h_b$ und $\beta$ ab, ob es keinen oder zwei Schnittpunkte oder einen Berühpunkt gibt.
\end{enumerate}
};
\end{tikzpicture}
$
Zusatz: Berechnung der fehlenden Seitenlängen und Innenwinkel.
$% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\b}{7} % 7
\pgfmathsetmacro{\hb}{5} % 5
\pgfmathsetmacro{\Beta}{40} % 40
\pgfmathsetmacro{\hbMax}{\b/2*(1/sin(\Beta)+sqrt(1/sin(\Beta)^2-1))} % 5
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\v}{\b^2+2*\b*\hb/tan(\Beta)} %
\pgfmathsetmacro{\w}{(\b*\hb/sin(\Beta))^2} % (a*c)²
\pgfmathsetmacro{\D}{2} %
\pgfmathsetmacro{\aI}{sqrt(\v/2+sqrt((\v/2)^2-\w))} %
\pgfmathsetmacro{\cI}{sqrt(\w)/\aI} %
\pgfmathsetmacro{\aII}{sqrt(\v/2-sqrt((\v/2)^2-\w))} %
\pgfmathsetmacro{\cII}{sqrt(\w)/\aII} %
\pgfmathsetmacro{\a}{\aI} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cI} %
\pgfmathsetmacro{\AlphaI}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\GammaI}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %
% Verwendeter Wert
\pgfmathsetmacro{\a}{\aII} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cII} %
\pgfmathsetmacro{\AlphaII}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\GammaII}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{\AlphaII} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
% Annotationen - Dreieck
\draw[thick] (A) -- (C) node[midway, above]{$b$};
\draw[thick] (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[Punkt={above}{H_b}] (Hb) node[midway, right]{$h_b$};
\draw[densely dashed] (Hb) -- (C);
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};
\draw[densely dashed] (Hb) -- (C);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\beta$", thick,
] {angle =C--B--A};
%% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
%
%\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
%\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
%\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
%\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %
%
%\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
%
%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
%%\draw[] (U) circle[radius=\R];
%% Punkte
\foreach \P in {Hb}
\draw[fill=black!1, scale=2] (\P) circle (1.75pt);
%% Annotationen - Aufgabe
%\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \hb)} %
%\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
%% Strecken
%\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {b/b,hb/h_b}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*10mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
%};}%%
%\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Beta}
%\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-20mm)$)}] (\Winkel:2) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (2,0) coordinate(R);
%\draw pic [draw, angle radius=0.7cm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
%"$\beta$",
%] {angle =R--Q--P};
% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=none,
PosUnten,
%PosLinks,
]{Beispielwerte: \\
$\begin{array}{l | l}
\multicolumn{2}{l}{b = \b \text{ cm} } \\
\multicolumn{2}{l}{h_b = \hb \text{ cm} } \\
\multicolumn{2}{l}{\beta = \Beta^\circ } \\ \hline
\multicolumn{2}{l}{h_{b,\max} = \hbMax \text{ cm} } \\ \hline
%b = \b \text{ cm} & \\
%h_b = \hb \text{ cm} & \\
%\beta = \Beta^\circ & \\ \hline
\text{1. Lösung:} & \text{2. Lösung:} \\
a_1 = \aI \text{ cm} & a_2 = \aII \text{ cm} \\
c_1 = \cI \text{ cm} & c_2 = \cII \text{ cm} \\
\alpha_1 = \AlphaI^\circ & \alpha_2 = \AlphaII^\circ \\
\gamma_1 = \GammaI^\circ & \gamma_2 = \GammaII^\circ \\
%v\v, w\w,% y\y
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
\end{array}$
};
% Annotation =====================
\tikzset{PosRechts/.style={shift={($(dreieck.north)+(1.3*\c cm,3mm)$)}, anchor=north east,}}
\newcommand\No[1]{\texttt{(#1)}~}
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\node[PosRechts, yshift=7mm,
draw=none, align=left, fill=none, text width=1.8*\cI cm, font=\normalsize,
] {%
Es ist $A=\dfrac12 bh_b = \dfrac12 ac\sin(\beta)
~\Leftrightarrow~
a\cdot c = \dfrac{b\cdot h_b}{\sin(\beta)} =: p$. \\
Zudem ist nach dem Kosinussatz
$b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos(\beta)$ \\
$\Leftrightarrow~
a^2+c^2 = b^2 + 2 a c \cos(\beta) = b^2 + 2 p \cos(\beta) =: q$. \\
Damit genügen die Größen $a$ und $c$ dem Gleichungssystem \\
$\begin{array}{l | l }
\texttt{(1)} & a\cdot c := p = \dfrac{b\cdot h_b}{\sin(\beta)} \\[1em]
\texttt{(2)} & a^2+c^2 :=q = b^2 + 2 p \cos(\beta)
\end{array}$ \\
%
Einsetzen von \texttt{(1)} in \texttt{(2)} liefert die biquadratische Gleichung $a^2+ \dfrac{p^2}{a^2} = q
~\Leftrightarrow~
a^4-q\cdot a^2 +p^2=0$ mit den grundsätzlich nicht-negativen Lösungen \\
$a_{1/2} = \sqrt{\dfrac{q \pm\sqrt{q^2-4p^2 }}{2}}$ und, gemäß \texttt{(1)}, $c_{1/2} = \dfrac{p}{a_{1/2}}$. \\
Da damit alle drei Seitenlängen bekannt sind, lassen sich die fehlenden Innenwinkel mit dem Kosinussatz berechnen.
};
\end{tikzpicture}
$
\showoff
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
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Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.408, eingetragen 2019-05-12
|
081224
Es sind alle reellen Zahlen x anzugeben, für die die Gleichung
|x+1|·|x−2|·|x+3|·|x−4| = |x−1|·|x+2|·|x−3|·|x+4|
erfüllt ist.
Lösung:
Für die linke Seite der Gleichung gilt:
\(|x+ 1|\cdot|x−2|\cdot|x+ 3|\cdot|x−4|=\pm(x+1)\cdot(x−2)\cdot(x+ 3)\cdot(x−4)\)
Und für die rechte Seite:
\(|x- 1|\cdot|x+2|\cdot|x-3|\cdot|x+4|=\pm(x-1)\cdot(x+2)\cdot(x-3)\cdot(x+4)\)
Somit folgt aus der Ausgangsgleichung
Fall 1: \((x+1)(x−2)(x+3)(x−4)=(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)\) oder
Fall 2: \((x+1)(x−2)(x+3)(x−4)=-(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)\)
Wir ermitteln nun, für welche (nicht ganzzahligen) Werte \(x\) die Terme \(a=(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)\) und \(b=(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)\) das gleiche oder unterschiedliche Vorzeichen haben, also für welche Werte \(x\) Fall 1 oder Fall 2 zu betrachten ist.
\sourceon
| x<-4 | -44
a | >0 | >0 | <0 | <0 | >0 | >0 | >0 | <0 | <0 | >0
b | >0 | <0 | <0 | >0 | >0 | >0 | <0 | <0 | >0 | >0
|Fall 1| Fall 2 | Fall 1 | Fall 2 | Fall 1 | Fall 1| Fall 2| Fall 1| Fall 2| Fall 1
\sourceoff
Ausmultiplizieren liefert
\((x+1)(x−2)(x+3)(x−4)=x^4-2x^3-13x^2+14x+24\) und \((x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=x^4+2x^3-13x^2-14x+24\)
Fall 1:
Zu lösen ist
\(x^4-2x^3-13x^2+14x+24 =x^4+2x^3-13x^2-14x+24\)
\(\iff\)
\(4x^3-28x=0\)
\(\iff\)
\(x^3-7x=0\)
\(\iff\)
\(x=0\) oder \(x=\sqrt7\) oder \(x=-\sqrt7\)
\(x_0=0\) ist offenbar eine Lösung der Ausgangsgleichung.
Für \(x_1=\sqrt7\) gilt \(2\sqrt{\frac{13+\sqrt{64}}2}=\sqrt{10,5}>3\). Somit liegt \(x_3\) im Fall-2-Bereich und ist daher eine Lösung der Ausgangsgleichung.
Analog folgt mit \(x_4=-\sqrt{\frac{13+\sqrt{73}}2}\), \(x_5=\sqrt{\frac{13-\sqrt{73}}2}\) und \(x_6=-\sqrt{\frac{13-\sqrt{73}}2}\), dass \(-4[Die Antwort wurde nach Beitrag No.404 begonnen.]
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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3782
| Beitrag No.409, eingetragen 2019-05-12
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
\quoteon(2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart)
Aufgabe 061246:
Man beweise folgenden Satz:
Liegen die $n$ paarweise voneinander verschiedene Punkte $P_i$, $i = 1, 2, ..., n$; $n > 2$, so im dreidimensionalen Raum, dass jeder von ihnen von ein und demselben Punkt $Q$ einen kleineren Abstand hat als von jedem anderen der $P_i$, dann ist $n < 15$.
\quoteoff
Wir legen alle Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem, wobei o.B.d.A. $Q=0$ sei.
Nach Annahme ist in jedem der Dreiecke $P_iP_jQ$ die Seite $P_iP_j$ am längsten. Insbesondere schließen also die Vektoren $P_i$ und $P_j$ einen Winkel von mindestens $60°$ ein.
Daher genügt es zu zeigen: Wenn $n$ paarweise verschiedene Vektoren $p_1,p_2,\ldots, p_{n}\in \IR^3\setminus\{0\}$ paarweise miteinander Winkel von jeweils mindestens 60° einschließen, dann gilt $n<15$.
Da der Winkel zwischen zwei Vektoren nicht von der Länge der Vektoren sondern nur von deren Orientierung abhängt, können wir für den Beweis dieser neuen Behauptung sogar o.B.d.A. annehmen, dass $p_1,p_2,\ldots, p_{n}$ auf der Einheitskugel liegen.
Es sei für $i=1,\ldots,n$ die Menge $S_i\subset \IR^3$ definiert als die Menge derjenigen Punkte auf der Einheitskugel, deren Ortsvektor mit $p_i$ einen Winkel kleiner als 30° einschließen.
$
\begin{tikzpicture}
\def \r{2.5cm}
\draw (0,0) circle (\r);
\filldraw (0,0) circle (1.5pt) node[left] {$0$};
\filldraw (\r,0) circle (1.5pt) node[right] {$p_i$};
\draw (0,0) -- ([shift=(-30:\r)]0,0) node[midway, below]{$1$};
\draw (0,0) -- ([shift=(30: \r)]0,0) node[midway, above]{$1$};
\draw[thick, red] ([shift=(-30:\r)]0,0) arc (-30:30:\r) node[right]{$S_i$};
\draw ([shift=(-30:\r)]0,0) -- ([shift=(30:\r)]0,0);
\draw (0,0) -- (\r, 0);
\draw[very thick] ({\r*cos(30)}, 0) -- (\r,0) node[midway, below] {$h$};
\draw (0,0) -- ({\r*cos(30)}, 0) node[midway, below]{$\cos 30^\circ$}
\end{tikzpicture}
$
Die $S_i$ sind Kugelsegmente der Höhe $h = 1-\cos(30°) = 1-\frac {\sqrt 3}2$ und haben somit eine Mantelfläche von $2\pi h= (2-\sqrt 3)\pi$.
Aus den Voraussetzungen folgt, dass diese Kugelsegmente paarweise disjunkt sind, also $S_i\cap S_j = \emptyset$ für $i\not= j$.
Da die Oberfläche der Einheitskugel $4\pi$ ist muss somit gelten $(2-\sqrt 3)\pi n\leq 4\pi$, also
\[n \leq \frac 4{2-\sqrt 3} = 4(2+\sqrt 3) = 8+\sqrt{48} < 8+7=15.\]
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.405 begonnen.]\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
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Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.410, eingetragen 2019-05-12
|
@Nuramon: Toll!
\quoteon(2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart)
Aufgabe 061246:
Man beweise folgenden Satz:
Liegen die $n$ paarweise voneinander verschiedene Punkte $P_i$, $i = 1, 2, ..., n$; $n > 2$, so im dreidimensionalen Raum, dass jeder von ihnen von ein und demselben Punkt $Q$ einen kleineren Abstand hat als von jedem anderen der $P_i$, dann ist $n < 15$.
\quoteoff
Interessant wäre es jetzt noch, ob man tatsächlich auf der Einheitskugel 15 solche Punkte finden kann. Aber das gehört natürlich nicht zur Aufgabe.
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Kornkreis
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Dabei seit: 02.01.2012
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Wohnort: Chemnitz
| Beitrag No.411, eingetragen 2019-05-12
|
Im Beitrag #98 stand übrigens auch schon eine Lösung der Aufgabe.
@Steffen: Die 081246 und 101242 stimmen überein - ich glaube da hat sich ein Fehler eingeschlichen.
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3782
| Beitrag No.412, eingetragen 2019-05-12
|
@StrgAltEntf: Du meinst 14 Punkte.
@Kornkreis: Danke für den Hinweis. Die Lösung hatte ich übersehen, ist aber mit meiner praktisch identisch.
Im Engel steht leider keine Bemerkung dazu, ob es mit 14 Punkten möglich ist.
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
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Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.413, eingetragen 2019-05-12
|
\quoteon(2019-05-12 16:47 - Nuramon in Beitrag No. 412)
@StrgAltEntf: Du meinst 14 Punkte.
Im Engel steht leider keine Bemerkung dazu, ob es mit 14 Punkten möglich ist.
\quoteoff
Ja, ich meine 14. Aber so knapp, wie die Abschätzug ist, glaube ich nicht, dass es solche 14 Punkte gibt.
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Ex_Senior
| Beitrag No.414, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-12
|
\quoteon(2019-05-12 16:26 - Kornkreis in Beitrag No. 411)
@Steffen: Die 081246 und 101242 stimmen überein - ich glaube da hat sich ein Fehler eingeschlichen.
\quoteoff
Ich habe im Text bei Manuela Kugel nachgesehen und da steht es genau so drin.
Nun gibt es mehrere Möglichkeiten:
1. Auch bei ihr ist ein Fehler.
2. Die Aufgabe wurde ein zweites Mal gestellt.
Ich werde mal sehen, ob ich es klären kann.
LG Steffen
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3782
| Beitrag No.415, eingetragen 2019-05-12
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
@061246:
Mit 12 Punkten scheint es so eine Anordnung auf der Einheitskugel zu geben: https://de.wikipedia.org/wiki/Kusszahl
Mit 13 Punkten gibt es immer zwei, die einen Winkel von höchstens $\approx 57.1367^\circ$ einschließen, bei 14 Punkten gibt es zwei, die einen Winkel von höchstens $\approx 55.67057^\circ$ einschließen: https://arxiv.org/abs/1410.2536\(\endgroup\)
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Ex_Senior
| Beitrag No.416, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-12
|
\quoteon(2019-05-12 16:26 - Kornkreis in
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weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5301
| Beitrag No.417, eingetragen 2019-05-12
|
Aufgabe 081236:
Es sind alle reellen Zahlen $a$ anzugeben, für die die Gleichung
\[\sin^6x+\cos^6x=a(\sin^4x+\cos^4x)\]
mindestens eine reelle Lösung hat. Ferner sind sämtliche reelle Lösungen für $a=\frac56$ anzugeben.
Lösung: Unter Verwendung von
\[\sin^6x+\cos^6x=(\sin^2x+\cos^2x)^3-3\sin^2x\cos^2x(\sin^2x+\cos^2x)=1-\frac34\,\sin^2(2x)\]
sowie
\[\sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=1-\frac12\,\sin^2(2x)\]
wird die Ausgangsgleichung zu
\[1-\frac34\,\sin^2(2x)=a\left(1-\frac12\,\sin^2(2x)\right)\]
woraus sich unmittelbar
\[\sin^2(2x)=\frac{4(a-1)}{2a-3}\quad (*)\]
und wegen $0\le \sin^2(2x)\le 1$ die Bedingung
\[\frac12\le a\le 1\]
für $a$ ergibt. Speziell für $a=\frac56$ ist (*) dann äquivalent zu
\[\sin(2x)=\pm\frac {\sqrt2}2\]
mit den offensichtlichen Lösungen
\[x=(2k+1)\frac{\pi}8\quad (k\in \mathbb Z)\]
|
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.418, eingetragen 2019-05-13
|
\quoteon(2019-05-11 18:00 - Caban in Beitrag No. 391)
091021
Ist das wirklich so einfach?
3/(-2)=-1,5?????????
Gruß Caban
\quoteoff
Ich würde das ja gerne bestätigen oder verneinen, aber:
Sei doch so gut und poste immer auch den Aufgabentext.
|
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.419, eingetragen 2019-05-13
|
Falls jmd. Lust hat, bitte ich darum sich in #407 einmal den Randteil "Bedingungen für die Konstruktion" anzuschauen.
Irgendwie bin ich doch skeptisch. Also numerisch scheint es hinzuhauen, zumindest bei allen Beispielen, die ich getestet habe.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=241352&post_id=1759237
Ne, sollte passen. Mir ist jetzt auch klar, wieso.
|
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3782
| Beitrag No.420, eingetragen 2019-05-13
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
\quoteon
Aufgabe 2 - 101242
Es ist der folgende Satz zu beweisen:
Wenn $h$ eine reelle Zahl ist und wenn eine ganzrationale Funktion $f$ vom Grade $n$ mit reellen Koeffizienten keine reellen Nullstellen besitzt, so gilt dasselbe von der ganzrationalen
Funktion $F$, die durch
\[F(x)=f(x)+h\cdot f'(x)+h^2\cdot f''(x)+\ldots+ h^n\cdot f^{(n)}(x)\]
definiert ist.
\quoteoff
Es ist unmittelbar klar, dass $F$ ebenfalls ein Polynom vom Grade $n$ mit reellen Koeffizienten ist.
Da $f$ keine reellen Nullstellen hat, muss $n$ gerade sein und es muss entweder $\forall x\in \IR: f(x)>0$ oder $\forall x\in \IR: f(x)<0$ gelten. O.B.d.A. gelte $\forall x\in \IR: f(x)>0$.
Da $F$ den gleichen Grad und den gleichen Leitkoeffizienten wie $f$ hat, hat $F$ ein globales Minimum, d.h. es existiert ein $x_0\in\IR$ mit $\forall x\in \IR: F(x)\geq F(x_0)$. Es genügt daher zu zeigen, dass $F(x_0)>0$ gilt.
Für alle $x\in \IR$ gilt $f(x)=F(x)-hF'(x)$. Das kann man leicht nachrechnen oder es sich abstrakt mit der geometrischen Reihe herleiten (beachte, dass die Ableitung auf der Menge der Polynome vom Grad $\leq n$ ein nilpotenter Operator ist):
\[F= \sum_{k=0}^\infty h^k\frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}f = \left(1-h\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^{-1}f.\]
Wegen $F'(x_0)=0$ folgt somit
\[F(x_0)= f(x_0)+hF'(x_0) = f(x_0) >0.\]
\(\endgroup\)
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Ex_Senior
| Beitrag No.421, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-13
|
Hallo Nuramon,
Danke für die Antwort.
Könntest du bitte einmal prüfen, ob die Aufgabe
Aufgabe 6 - 081246:
Es seien $n$ eine positive ganze Zahl, $h$ eine reelle Zahl und $f(x)$ ein Polynom (ganze rationale Funktion) mit reellen Koeffizienten vom Grade $n$, das keine reellen Nullstellen besitzt.
Man beweise, dass dann auch das Polynom
\[
F(x) = f(x) + h \cdot f'(x) + h^2 \cdot f''(x) + ... + h^n \cdot f^{(n)}(x)
\]
keine reellen Nullstellen hat!
nicht das Gleiche verlangt. Oder sehe ich den Unterschied nicht.
Wenn das die gleiche Aufgabe ist, wäre nach nur zwei Jahren die gleiche Aufgabe gestellt worden.
LG Steffen
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3782
| Beitrag No.422, eingetragen 2019-05-13
|
Ich sehe keinen inhaltlichen Unterschied zwischen den beiden Aufgaben.
|
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.423, eingetragen 2019-05-13
|
Hinweis: 200936 (#407) ist so richtig und kann übernommen werden.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=241352&post_id=1759367
Ich hatte mich geirrt.
____________________
PS: Schlaumeierhinweis.
Bereits das 2. Wort im Dokument (siehe unten), zählt man nicht selbst, sondern lässt es auszählen.
Man benutzt kein LaTeX, nur um einen aufgedonnerten Formeleditor zu haben.
Aber da musst Du halt mal anfangen, Arbeit in die Vorlage zu investieren (#254 etc.).
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51007_16_55555555.png
|
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.424, eingetragen 2019-05-14
|
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51007_17_55555555.png
$% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\R}{5} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{70} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{50} %
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} %
\pgfmathsetmacro{\a}{2*\R*sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\b}{2*\R*sin(\Beta)} %
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %
\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];
% Annotationen - Dreieck
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\alpha$", thick
] {angle =B--A--C};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\gamma$", thick
] {angle =A--C--B};
\draw[thick] (U) --+ (45:\R) node[midway, above]{$R$};
% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\R cm-15mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {R/R}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
\begin{scope}[scale=2]
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Alpha}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-12mm)$)}] (\Winkel:1) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha$",
] {angle =R--Q--P};
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Gamma}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift+15mm,-12mm)$)}] (\Winkel:1) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\gamma$",
] {angle =R--Q--P};
%% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{scope}
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%R = \R \text{ cm} & \\
%\alpha = \Alpha^\circ & \\
%\gamma = \Gamma^\circ & \\ \hline
%\beta = \Beta^\circ & \\
%a = \a \text{ cm} & \\
%b = \b \text{ cm} & \\
%c = \c \text{ cm} & \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};
\end{tikzpicture}
$
\showon 210914
$% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\R}{5} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{70} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{50} %
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} %
\pgfmathsetmacro{\a}{2*\R*sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\b}{2*\R*sin(\Beta)} %
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %
\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];
% Annotationen - Dreieck
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\alpha$", thick
] {angle =B--A--C};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\gamma$", thick
] {angle =A--C--B};
\draw[thick] (U) --+ (45:\R) node[midway, above]{$R$};
% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\R cm-15mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {R/R}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
\begin{scope}[scale=2]
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Alpha}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-12mm)$)}] (\Winkel:1) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha$",
] {angle =R--Q--P};
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Gamma}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift+15mm,-12mm)$)}] (\Winkel:1) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\gamma$",
] {angle =R--Q--P};
%% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{scope}
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%R = \R \text{ cm} & \\
%\alpha = \Alpha^\circ & \\
%\gamma = \Gamma^\circ & \\ \hline
%\beta = \Beta^\circ & \\
%a = \a \text{ cm} & \\
%b = \b \text{ cm} & \\
%c = \c \text{ cm} & \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};
\end{tikzpicture}
$
$% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\R}{5} % 5
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{70} % 70
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{50} % 50
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} %
\pgfmathsetmacro{\a}{2*\R*sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\b}{2*\R*sin(\Beta)} %
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
]
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={right}{U}] (U) at (0,0);
\draw[local bounding box=umkreis] (U) circle[radius=\R];
\coordinate[Punkt={left}{A}] (A) at (180:\R);
\draw[densely dashed] (U) -- (A) node[midway, below]{$R$};
\coordinate[Punkt={anchor=north west}{B}] (B) at (180+2*\Gamma:\R);
\draw[densely dashed] (U) -- (B) node[midway, left]{$R$};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$2\gamma$"
] {angle =A--U--B};
\draw[] (B) -- (A);
\pgfmathsetmacro{\AlphaI}{(180-2*\Gamma)/2} % 70
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (A) --+ (\Alpha-\AlphaI:\b) coordinate[Punkt={above}{C}] (C) node[pos=1.2, below]{$g_C$};
\draw pic [angle radius=4mm, angle eccentricity=1.4,
draw,
pic text={$\alpha$}, pic text options={yshift=5pt},
%"$\alpha$"
] {angle =B--A--C};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\gamma$"
] {angle =A--C--B};
%\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (C) -- (B);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
%% Punkte
\foreach \P in {U, A, B, C}
\draw[fill=black!1,scale=2] (\P) circle (1.75pt);
%% Test
%\draw[red, thick] (A) -- ($(A)!\c cm!(B)$);
%\draw[red, thick] (B) -- ($(B)!\a cm!(C)$);
%\draw[red, thick] (A) -- ($(A)!\b cm!(C)$);
% Annotation =====================
\tikzset{PosRechts/.style={shift={($(umkreis.north)+(2.25*\R cm,3mm)$)}, anchor=north east,}}
\newcommand\No[1]{\texttt{(#1)}~}
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\node[PosRechts, yshift=0cm,
draw=none, align=left, fill=none, text width=1.5*\R cm, font=\normalsize,
] {%
Planfigur und Konstruktion. Gemäß dem Kreiswinkelsatz besitzt der Mittelpunktswinkel die doppelte Größe des Umfangwinkels; daher liegt die Seite $|AB| = c$ unter dem Mittelpunkts\-winkel $2\gamma$. \\
Damit ergibt sich folgende Konstruktion:
\begin{enumerate}
\item Beschreibe einen Kreis $\bigodot(U, R)$ um einen Punkt $U$ vom Radius $R$, um den Umkreis zu erhalten.
\item Lege durch einen beliebigen Radius $|UA| = R$ den Punkt $A$ fest.
Lege einen weiteren Radius $|UB|=R$ so, dass er mit $|UA|$ den Mittelpunktswinkel $2\gamma$ einschließt; durch seinen Endpunkt ist der Punkt $B$ festgelegt.
\item Lege eine eine Gerade $g_C$ durch $A$ so, dass sie mit $|AB|$ den Winkel $\alpha$ einschließt. Schnittpunkt von $g_C$ mit dem Umkreis ist die Ecke $C$.
\item Erhalte durch entsprechende Verbindung der Punkte $A,B,C$ das Dreieck $ABC$.
\end{enumerate}
};
% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=none,
PosUnten, text width=0.46*\R cm, xshift=0.58*\R cm, yshift=-1.5mm,
%PosLinks,
]{
$\begin{array}{l l}
\text{Beispielwerte:} \\
R = \R \text{ cm} \\
\alpha = \Alpha^\circ \\
\gamma = \Gamma^\circ \\ \hline
\beta = \Beta^\circ \\
a = \a \text{ cm} \\
b = \b \text{ cm} \\
c = \c \text{ cm} \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
\end{array}$
};
% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north east,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw=none, align=left, fill=none,
PosUnten, text width=0.75*\R cm, xshift=0.35*\R cm,
%PosLinks,
]{
Anmerkung: Mit zwei bekannten Winkeln ist auch der dritte Winkel bekannt: $\beta = 180^\circ -\alpha- \gamma$. \\
Mit Hilfe des erweiterten Sinussatzes berechnen sich die Seitenlängen ohne Weiteres zu $a=2R\cdot\sin(\alpha)$, $b=2R\cdot\sin(\beta)$, $c=2R\cdot\sin(\gamma)$.
};
% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north east,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw=none, align=left, fill=none,
PosUnten, text width=1.3*\R cm, xshift=0.9*\R cm, yshift=-3.1cm,
%PosLinks,
]{
Bedingungen an die Konstruktion: Keine besonderen Bedingungen. Da der erweiterte Sinussatz aus einem rechtwinkligen Dreieck abgeleitet wird, sind die Seitenlängen und damit die Konstruktion eindeutig.
};
\end{tikzpicture}
$
\showoff
|
Profil
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.425, eingetragen 2019-05-15
|
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$% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{50} %
\pgfmathsetmacro{\ha}{6} %
\pgfmathsetmacro{\R}{4} %
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{2*\R*sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\z}{\ha/(2*\R)} %
\pgfmathsetmacro{\BetaI}{(acos(cos(\Alpha)-2*\z)-\Alpha)/2} %
\pgfmathsetmacro{\GammaI}{180-\Alpha-\BetaI} %
\pgfmathsetmacro{\bI}{\a*sin(\BetaI)/sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\cI}{sqrt(\a^2+\bI^2-2*\a*\bI*cos(\GammaI))} %
\pgfmathsetmacro{\GammaII}{\BetaI} %
\pgfmathsetmacro{\BetaII}{180-\Alpha-\GammaII} %
\pgfmathsetmacro{\bII}{\a*sin(\BetaII)/sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\cII}{sqrt(\a^2+\bII^2-2*\a*\bI*cos(\GammaII))} %
% Verwendete Werte
%\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{\bI} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cI} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={anchor=north east, inner sep=1pt}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west,inner sep=1pt}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Annotationen - Dreieck
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %
\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];
% Radius
\draw[thick] (U) --+ (45:\R) node[midway, below]{$R$};
% Höhe
\draw[thick] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{H_a}] (Ha) node[midway, right]{$h_a$};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =A--Ha--B};
% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.4, thick,
pic text={$\alpha$}, pic text options={yshift=-2pt},
%"$\alpha$",
] {angle =B--A--C};
%% Punkte
\foreach \P in {U, Ha}
\draw[fill=black!1, scale=2] (\P) circle (1.75pt);
% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-0.7*\x cm-3mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {ha/h_a,R/R}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*10mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
\begin{scope}[scale=2]
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Alpha}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-12mm)$)}] (\Winkel:1) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha$",
] {angle =R--Q--P};
\end{scope}
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=none,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{Beispielwerte: \\
%$\begin{array}{l | l}
%\multicolumn{2}{l}{h_a = \ha \text{ cm} } \\
%\multicolumn{2}{l}{\alpha = \Alpha^\circ } \\
%\multicolumn{2}{l}{R = \R \text{ cm} } \\ \hline
%%\multicolumn{2}{l}{h_{b,\max} = \hbMax \text{ cm} } \\ \hline
%%b = \b \text{ cm} & \\
%%h_b = \hb \text{ cm} & \\
%%\beta = \Beta^\circ & \\ \hline
%\text{1. Lösung:} & \text{2. Lösung:} \\
%a_1 = \a \text{ cm} & a_2 = \a \text{ cm} \\
%b_1 = \bI \text{ cm} & b_2 = \bII \text{ cm} \\
%c_1 = \cI \text{ cm} & c_2 = \cII \text{ cm} \\
%\beta_1 = \BetaI^\circ & \beta_2 = \BetaII^\circ \\
%\gamma_1 = \GammaI^\circ & \gamma_2 = \GammaII^\circ \\
%%v\v, w\w,% y\y
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};
\end{tikzpicture}$
\showon 210934
$% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{50} %
\pgfmathsetmacro{\ha}{6} %
\pgfmathsetmacro{\R}{4} %
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{2*\R*sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\z}{\ha/(2*\R)} %
\pgfmathsetmacro{\BetaI}{(acos(cos(\Alpha)-2*\z)-\Alpha)/2} %
\pgfmathsetmacro{\GammaI}{180-\Alpha-\BetaI} %
\pgfmathsetmacro{\bI}{\a*sin(\BetaI)/sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\cI}{sqrt(\a^2+\bI^2-2*\a*\bI*cos(\GammaI))} %
\pgfmathsetmacro{\GammaII}{\BetaI} %
\pgfmathsetmacro{\BetaII}{180-\Alpha-\GammaII} %
\pgfmathsetmacro{\bII}{\a*sin(\BetaII)/sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\cII}{sqrt(\a^2+\bII^2-2*\a*\bI*cos(\GammaII))} %
% Verwendete Werte
%\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{\bI} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cI} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={anchor=north east, inner sep=1pt}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west,inner sep=1pt}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Annotationen - Dreieck
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %
\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];
% Radius
\draw[thick] (U) --+ (45:\R) node[midway, below]{$R$};
% Höhe
\draw[thick] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{H_a}] (Ha) node[midway, right]{$h_a$};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =A--Ha--B};
% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.4, thick,
pic text={$\alpha$}, pic text options={yshift=-2pt},
%"$\alpha$",
] {angle =B--A--C};
%% Punkte
\foreach \P in {U, Ha}
\draw[fill=black!1, scale=2] (\P) circle (1.75pt);
% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-0.7*\x cm-3mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {ha/h_a,R/R}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*10mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
\begin{scope}[scale=2]
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Alpha}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-12mm)$)}] (\Winkel:1) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha$",
] {angle =R--Q--P};
\end{scope}
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=none,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{Beispielwerte: \\
%$\begin{array}{l | l}
%\multicolumn{2}{l}{h_a = \ha \text{ cm} } \\
%\multicolumn{2}{l}{\alpha = \Alpha^\circ } \\
%\multicolumn{2}{l}{R = \R \text{ cm} } \\ \hline
%%\multicolumn{2}{l}{h_{b,\max} = \hbMax \text{ cm} } \\ \hline
%%b = \b \text{ cm} & \\
%%h_b = \hb \text{ cm} & \\
%%\beta = \Beta^\circ & \\ \hline
%\text{1. Lösung:} & \text{2. Lösung:} \\
%a_1 = \a \text{ cm} & a_2 = \a \text{ cm} \\
%b_1 = \bI \text{ cm} & b_2 = \bII \text{ cm} \\
%c_1 = \cI \text{ cm} & c_2 = \cII \text{ cm} \\
%\beta_1 = \BetaI^\circ & \beta_2 = \BetaII^\circ \\
%\gamma_1 = \GammaI^\circ & \gamma_2 = \GammaII^\circ \\
%%v\v, w\w,% y\y
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};
\end{tikzpicture}$
$% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{50} %
\pgfmathsetmacro{\ha}{6} %
\pgfmathsetmacro{\R}{4} %
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{2*\R*sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\z}{\ha/(2*\R)} %
\pgfmathsetmacro{\BetaI}{(acos(cos(\Alpha)-2*\z)-\Alpha)/2} %
\pgfmathsetmacro{\GammaI}{180-\Alpha-\BetaI} %
\pgfmathsetmacro{\bI}{\a*sin(\BetaI)/sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\cI}{sqrt(\a^2+\bI^2-2*\a*\bI*cos(\GammaI))} %
\pgfmathsetmacro{\GammaII}{\BetaI} %
\pgfmathsetmacro{\BetaII}{180-\Alpha-\GammaII} %
\pgfmathsetmacro{\bII}{\a*sin(\BetaII)/sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\cII}{sqrt(\a^2+\bII^2-2*\a*\bII*cos(\GammaII))} %
% Verwendete Werte
\pgfmathsetmacro{\b}{\bI} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cI} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={right}{U}] (U) at (0,0);
\draw[local bounding box=umkreis, name path=umkreis] (U) circle[radius=\R];
\draw[densely dashed] (U) -- (-\R,0) coordinate[Punkt={left}{B}] (B) node[midway, below]{$R$};
\draw[densely dashed] (U) --+ (180+2*\Alpha:\R) coordinate[Punkt={below}{C}] (C) node[midway, right, inner sep=1pt]{$R$};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$2\alpha$",
] {angle =B--U--C};
% Parallele im Abstand ha
\draw[densely dashed, shorten >=-4mm] (B) -- ($(B)!-12mm!(C)$) coordinate[Punkt={left}{}] (Bs);
\draw[|<->|, >=latex,shorten <=-0.5\pgflinewidth, shorten >=-0.5\pgflinewidth] (Bs) -- ($(Bs)!\ha cm!90:(C)$) coordinate[Punkt={left}{}] (Bss) node[midway, left]{$h_a$};
\pgfmathsetmacro{\s}{1.2} %
\draw [name path=parallele, densely dashed, shorten <=-4mm] (Bss) --+ ($\s*(C)-\s*(B)$);
\path[name intersections={of=umkreis and parallele, name=A}];
\coordinate[Punkt={right, above}{A_2}] (A2) at (A-1);
\coordinate[Punkt={right}{A_1}] (A1) at (A-2);
\draw[local bounding box=dreieck, thick] (A1) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha$",
] {angle =B--A1--C};
%% Punkte
\foreach \P in {U, B,C,A1,A2}
\draw[fill=black!1, scale=2] (\P) circle (1.75pt);
%% Test
%\draw[red, thick] (B) -- ($(B)!\a cm!(C)$);
%% Test 1
%\draw[red, thick] (A1) -- ($(A1)!\cI cm!(B)$);
%\draw[red, thick] (A1) -- ($(A1)!\bI cm!(C)$);
%% Test 2
%\draw[red, thick] (A2) -- ($(A2)!\cII cm!(B)$);
%\draw[red, thick] (A2) -- ($(A2)!\bII cm!(C)$);
%% Annotationen - Dreieck
%% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
%
%\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
%\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
%\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
%\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %
%
%\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
%
%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
%\draw[] (U) circle[radius=\R];
%
%% Radius
%\draw[thick] (U) --+ (45:\R) node[midway, below]{$R$};
%
%% Höhe
%\draw[thick] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{H_a}] (Ha) node[midway, right]{$h_a$};
%\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
%"$\cdot$",
%] {angle =A--Ha--B};
%
%% Winkel
%\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.4, thick,
%pic text={$\alpha$}, pic text options={yshift=-2pt},
%%"$\alpha$",
%] {angle =B--A--C};
%
%%% Punkte
%\foreach \P in {U, Ha}
%\draw[fill=black!1, scale=2] (\P) circle (1.75pt);
%
%
%% Annotationen - Aufgabe
%\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
%\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-0.7*\x cm-3mm,0)$)}]
%% Strecken
%\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {ha/h_a,R/R}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*10mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
%};}%%
%\end{scope}
%\begin{scope}[scale=2]
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Alpha}
%\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-12mm)$)}] (\Winkel:1) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
%"$\alpha$",
%] {angle =R--Q--P};
%\end{scope}
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=none,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{Beispielwerte: \\
%$\begin{array}{l | l}
%\multicolumn{2}{l}{h_a = \ha \text{ cm} } \\
%\multicolumn{2}{l}{\alpha = \Alpha^\circ } \\
%\multicolumn{2}{l}{R = \R \text{ cm} } \\ \hline
%%\multicolumn{2}{l}{h_{a,\max} = \haMax \text{ cm} } \\ \hline
%%b = \b \text{ cm} & \\
%%h_b = \hb \text{ cm} & \\
%%\beta = \Beta^\circ & \\ \hline
%\text{1. Lösung:} & \text{2. Lösung:} \\
%a_1 = \a \text{ cm} & a_2 = \a \text{ cm} \\
%b_1 = \bI \text{ cm} & b_2 = \bII \text{ cm} \\
%c_1 = \cI \text{ cm} & c_2 = \cII \text{ cm} \\
%\beta_1 = \BetaI^\circ & \beta_2 = \BetaII^\circ \\
%\gamma_1 = \GammaI^\circ & \gamma_2 = \GammaII^\circ \\
%%v\v, w\w,% y\y
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};
% Annotation =====================
\tikzset{PosRechts/.style={shift={($(umkreis.north)+(2.25*\R cm,3mm)$)}, anchor=north east,}}
\newcommand\No[1]{\texttt{(#1)}~}
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\node[PosRechts, yshift=7mm,
draw=none, align=left, fill=none, text width=1.5*\R cm, font=\normalsize,
] {%
Planfigur und Konstruktion. Gemäß dem Kreiswinkelsatz besitzt der Mittelpunktswinkel die doppelte Größe des Umfangwinkels; daher liegt die Seite $|BC| = a$ unter dem Mittelpunkts\-winkel $2\alpha$. \\
Der Punkt $A$ liegt auf dem Umkreis und auf einer Parallelen zu $|BC|$ im Abstand $h_a$. \\
Es hängt also von den Größen $h_a$ und $\alpha$ ab, ob es keinen oder zwei Schnittpunkte oder einen Berührpunkt gibt.
};
% Konstruktion
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw=none, align=left, fill=none,
font= \normalsize,
text width=3*\R cm, anchor=north west, xshift=-7mm, yshift=-0.725*\R cm,
%PosLinks,
]at (Bs){
Damit ergibt sich folgende Konstruktion:
\begin{enumerate}
\item Beschreibe einen Kreis $\bigodot(U, R)$ um einen Punkt $U$ vom Radius $R$, um den Umkreis zu erhalten.
\item Lege durch einen beliebigen Radius $|UB| = R$ den Punkt $B$ fest.
Lege einen weiteren Radius $|UC|=R$ so, dass er mit $|UB|$ den Mittelpunktswinkel $2\alpha$ einschließt; durch seinen Endpunkt ist der Punkt $C$ festgelegt.
\item Lege eine Parallele zu $|BC|$ im Abstand $h_a$. Schnittpunkte der Parallelen mit dem Umkreis liefern die Ecke $A$.
\item Erhalte durch entsprechende Verbindung der Punkte $A,B,C$ das Dreieck $ABC$.
\end{enumerate}
};
\end{tikzpicture}$
$% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{50} %
\pgfmathsetmacro{\ha}{6} %
\pgfmathsetmacro{\R}{4} %
\pgfmathsetmacro{\haMax}{\R*(1+cos(\Alpha))} %
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{2*\R*sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\z}{\ha/(2*\R)} %
\pgfmathsetmacro{\BetaI}{(acos(cos(\Alpha)-2*\z)-\Alpha)/2} %
\pgfmathsetmacro{\GammaI}{180-\Alpha-\BetaI} %
\pgfmathsetmacro{\bI}{\a*sin(\BetaI)/sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\cI}{sqrt(\a^2+\bI^2-2*\a*\bI*cos(\GammaI))} %
\pgfmathsetmacro{\GammaII}{\BetaI} %
\pgfmathsetmacro{\BetaII}{180-\Alpha-\GammaII} %
\pgfmathsetmacro{\bII}{\a*sin(\BetaII)/sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\cII}{sqrt(\a^2+\bII^2-2*\a*\bII*cos(\GammaII))} %
% Verwendete Werte
%\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{\bI} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cI} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={right}{U}] (U) at (0,0);
\draw[local bounding box=umkreis, name path=umkreis] (U) circle[radius=\R];
\draw[densely dashed] (U) -- (-\R,0) coordinate[Punkt={left}{B}] (B) node[midway, below]{$R$};
\draw[densely dashed] (U) --+ (180+2*\Alpha:\R) coordinate[Punkt={below}{C}] (C) node[midway, right, inner sep=1pt]{$R$};
%\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
%"$2\alpha$",
%] {angle =B--U--C};
% Parallele im Abstand ha
\draw[densely dashed, shorten >=-4mm] (B) -- ($(B)!-12mm!(C)$) coordinate[Punkt={left}{}] (Bs);
\draw[|<->|, >=latex,shorten <=-0.5\pgflinewidth, shorten >=-0.5\pgflinewidth] (Bs) -- ($(Bs)!\ha cm!90:(C)$) coordinate[Punkt={left}{}] (Bss) node[midway, left]{$h_a$};
\pgfmathsetmacro{\s}{1.2} %
\draw [name path=parallele, densely dashed, shorten <=-4mm] (Bss) --+ ($\s*(C)-\s*(B)$);
\path[name intersections={of=umkreis and parallele, name=A}];
\coordinate[Punkt={right, above}{A_2}] (A2) at (A-1);
\coordinate[Punkt={right}{A_1}] (A1) at (A-2);
\draw[local bounding box=dreieck, thick] (A1) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha$",
] {angle =B--A1--C};
%% Test
%\draw[red, thick] (B) -- ($(B)!\a cm!(C)$);
%% Test 1
%\draw[red, thick] (A1) -- ($(A1)!\cI cm!(B)$);
%\draw[red, thick] (A1) -- ($(A1)!\bI cm!(C)$);
%% Test 2
%\draw[red, thick] (A2) -- ($(A2)!\cII cm!(B)$);
%\draw[red, thick] (A2) -- ($(A2)!\bII cm!(C)$);
%% Annotationen - Dreieck
% Seitenmitte
\coordinate[Punkt={anchor=north east, inner sep=1pt}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\draw[densely dashed] (Ma) -- (U);
\draw[densely dashed, red] (U) -- ($(U)!-\R cm!(Ma)$) node[midway, left]{$R$};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha$",
] {angle =B--U--Ma};
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha$",
] {angle =Ma--U--C};
%% Punkte
\foreach \P in {U, B,C,A1,A2,Ma}
\draw[fill=black!1, scale=2] (\P) circle (1.75pt);
% Annotation =====================
\tikzset{PosRechts/.style={shift={($(umkreis.north)+(2.25*\R cm,3mm)$)}, anchor=north east,}}
\newcommand\No[1]{\texttt{(#1)}~}
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\node[PosRechts, yshift=5mm,
draw, align=left, fill=none, text width=1.5*\R cm, font=\normalsize,
] {%
Beispielwerte: \\
$\begin{array}{l | l}
\multicolumn{2}{l}{h_a = \ha \text{ cm} } \\
\multicolumn{2}{l}{\alpha = \Alpha^\circ } \\
\multicolumn{2}{l}{R = \R \text{ cm} } \\ \hline
\multicolumn{2}{l}{h_{a,\max} = \haMax \text{ cm} } \\ \hline
%b = \b \text{ cm} & \\
%h_b = \hb \text{ cm} & \\
%\beta = \Beta^\circ & \\ \hline
\text{1. Lösung:} & \text{2. Lösung:} \\
a_1 = \a \text{ cm} & a_2 = \a \text{ cm} \\
b_1 = \bI \text{ cm} & b_2 = \bII \text{ cm} \\
c_1 = \cI \text{ cm} & c_2 = \cII \text{ cm} \\
\beta_1 = \BetaI^\circ & \beta_2 = \BetaII^\circ \\
\gamma_1 = \GammaI^\circ & \gamma_2 = \GammaII^\circ \\
%v\v, w\w,% y\y
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
\end{array}$
};
% Konstruktion
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw=none, align=left, fill=none,
font= \normalsize,
text width=3*\R cm, anchor=north west, xshift=-7mm, yshift=-0.725*\R cm,
%PosLinks,
]at (Bs){%
Bedingungen für die Konstruktion. Sei $M_a$ die Seitenmitte von $|BC|$; dann entliest man der Abbildung: im Grenzfall ist $h_{a,\max}
=R+|UM_a|
= R+R \cos(\alpha)$.
Also muss
$$h_a \leq R\cdot \bigl( 1+ \cos(\alpha) \bigr)$$
gelten.
\\
Zusatz: Berechnung der fehlenden Seitenlängen und Innenwinkel aus den gegebenen Größen $h_a,\, \alpha,\, R$.
\begin{enumerate}
\item $a = 2R\sin(\alpha)$ ~~(erweiterter Sinussatz)
\item Es ist
\begin{itemize}
\item $A = \dfrac12 a h_a$ ~ sowie \\
\item $A=2R^2\, \sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)$ \\
Beweis: $A=\dfrac12 b h_b = \dfrac12 b c \sin(\alpha)$ und nach \texttt{(1)} ist $
R = \dfrac{a}{2\,\sin(\alpha)}$
$\Rightarrow~~
R\cdot A
= \dfrac{a}{2\,\sin(\alpha)} \cdot \dfrac{b\, c}{2}\,\sin(\alpha)
= \dfrac{a\, b\, c}{4} \hspace{2cm}$
$\begin{array}{l l}
\Rightarrow~~ A
&= \dfrac{a\, b\, c}{4R}
= \dfrac{2R\sin(\alpha)\cdot 2R\sin(\beta)\cdot 2R\sin(\gamma)}{4R} \\[1em]
&=2R^2\, \sin(\alpha)\,\sin(\beta)\,\sin(\gamma) \hspace{2cm}\square
\end{array} $
\end{itemize}
Also genügen die Innenwinkel dem Gleichungssystem
$\begin{array}{|l l}
\alpha+\beta+\gamma=180^\circ \\[1em]
z= \sin(\beta)\sin(\gamma)
\end{array}
$
mit $
z = \dfrac{A}{2R^2\cdot \sin(\alpha)}
= \dfrac{A}{2R^2\cdot \dfrac{a}{2R}}
= \dfrac{A}{a\cdot R}
= \dfrac{h_a}{2 R} = z
$
$\Rightarrow~~
\sin(\beta)\cdot\sin(180^\circ-\alpha-\beta) = z
$
$\begin{array}{@{}l l}
\Leftrightarrow~~
\sin(\beta)\cdot\sin(\alpha+\beta) = z &\big|{\footnotesize\text{$\text{ da }
\sin(180^\circ-x) = \sin(x)$}} \\
%
\Leftrightarrow~~
\frac12\bigl[ \cos(\alpha)-\cos(\alpha+2\beta)\bigr]
= z &\big|{\footnotesize\text{$\text{ da }
\sin(x)\cdot\sin(y)=\dfrac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}$}}
\end{array}$
% (siehe hier)
$\Leftrightarrow~~
\cos(\alpha+2\beta) = \cos(\alpha)-2z
$
$\Rightarrow~~
\alpha+2\beta = \arccos\bigl(\cos(\alpha)-2z \bigr)
$
$\Leftrightarrow~~
\begin{array}[t]{|l }
\beta_1 = \dfrac{\arccos\bigl(\cos(\alpha)-2z \bigr)-\alpha}{2} \\[1em]
\gamma_1 = 180^\circ -\alpha -\beta_1
\end{array}$
Analog ergibt sich
$\begin{array}[t]{|l }
\gamma_2 = \dfrac{\arccos\bigl(\cos(\alpha)-2z \bigr)-\alpha}{2} \\[1em]
\beta_2 = 180^\circ -\alpha -\gamma_2
\end{array}$
\item $b_{1/2}
= a\cdot \dfrac{\sin(\beta_{1/2})}{\sin(\alpha)}
$ ~~(Sinussatz)
\item $c_{1/2}
= \sqrt{a^2+b^2_{1/2}-2\cdot a\cdot b_{1/2}\cdot \cos(\gamma_{1/2})}
$ ~~(Kosinussatz)
\end{enumerate}
};
\end{tikzpicture}$
\showoff
|
Profil
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weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5301
| Beitrag No.426, eingetragen 2019-05-15
|
Und hier noch eine kürzere Alternativlösung zu
Aufgabe 2 - 011222:
Wenn die drei natürlichen Zahlen x,y und z der Bedingung $x^2+y^2=z^2$ genügen, ist ihr Produkt $x\cdot y\cdot z$ stets durch 60 teilbar. Beweisen Sie diese Behauptung.
Beweis: Es genügt offenbar der Nachweis, dass $xyz$ durch jede der drei Zahlen $3,4,5$ teilbar ist, weil daraus wegen deren Teilerfremdheit auch die Teilbarkeit durch deren Produkt $60$ folgt.
Wäre nun $3\nmid xyz$, so würde daraus sofort \[z^2=x^2+y^2\equiv (\pm1)^2+(\pm1)^2=2 \mod 3\] folgen, im Widerspruch dazu, dass 2 quadratischer Nichtrest mod $3$ ist. Genauso wenig kann auch $5\nmid xyz$ gelten, da dies \[x^2\equiv \pm 1\mod 5,\ y^2\equiv \pm 1\mod 5,\ z^2\equiv \pm 1\mod 5\] zur Folge hätte, womit $x^2+y^2\equiv z^2 \mod 5$ ebenfalls nicht gelten kann.
Für den Nachweis von $4\mid xyz$ bemerken wir zunächst, dass die Zahlen $x,y$ nicht beide ungerade sein können, da daraus \[z^2\equiv x^2+y^2\equiv (\pm1)^2+(\pm1)^2=2 \mod 4\] folgen würde, im Widerspruch dazu, dass 2 ein quadratischer Nichtrest mod $4$ ist. Ist also dann o.B.d.A. $x$ gerade, und damit $y$ und $z$ ungerade, so folgt dann daraus und der Tatsache, dass $u^2\equiv 1\mod 8$ für ein beliebiges ungerades $u$ gilt, dass \[x^2= z^2-y^2\equiv 1-1 =0 \mod 8\] d.h., $x$ muss wie behauptet sogar durch $4$ teilbar sein.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.424 begonnen.]
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2591
| Beitrag No.427, eingetragen 2019-05-15
|
Huhu,
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2019-05-15_um_20.15.52.png
ich habe eine Anmerkung so der Lösung von Manuela Kugel zu dieser Aufgabe. Sie schreibt:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2019-05-15_um_20.16.13.png
Das stimmt so einfach nicht. Zunächst mal ist das Relationszeichen verkehrt herum (der Kosinus ist schließlich konkav auf \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\)), zum anderen ist der Kosinus konvex auf \(\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]\), d.h. die Jensensche Ungleichung lässt sich nur anwenden, falls es ein spitzwinkliges Dreieck ist. Das steht so aber nicht in der Aufgabe.
Gruß,
Küstenkind
edit: Die 180° in der Klammer sind natürlich auch Blödsinn!
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Profil
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3782
| Beitrag No.428, eingetragen 2019-05-15
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
\quoteon
Aufgabe 140922
Es sei $\triangle ABC$ ein spitzwinkliges Dreieck, $H$ sei der Schnittpunkt seiner Höhen und $D, E, F$ deren Fußpunkte,
wobei $D$ auf $BC$, $E$ auf $CA$ und $F$ auf $AB$ liegen mögen.
Man beweise, dass dann $AH \cdot HD = BH \cdot HE = CH \cdot HF$ gilt.
\quoteoff
$
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (1,2.5);
\node at (A) [below left]{$A$};
\node at (B) [below right]{$B$};
\node at (C) [above]{$C$};
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw[name path=ha] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) node (D)[above right]{$D$};
\draw[name path=hb] (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) node (E)[above left]{$E$};
\node (H) at (intersection of A--D and B--E) [below]{$H$};
\draw (A) arc (180:0:2);
\end{tikzpicture}
$
Da $\sphericalangle AEB = 90^\circ = \sphericalangle ADB$ gilt, ist das Viereck $ABDE$ nach Umfangswinkelsatz ein Sehnenviereck.
Nach Sehnensatz gilt daher $AH \cdot HD = BH \cdot HE$.
Die andere Gleichung folgt analog.
\(\endgroup\)
|
Profil
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.429, eingetragen 2019-05-16
|
@stolpster
Da Du den Code -wie gewohnt- sofort übernimmst (das Einpflegen später), übernimmtst Du auch sämtliche Typos, Lapsusse,....
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51007_19_55555555.png
Zum anderen setzt Du die formschöne Nummerierung (1), (2), ...
\sourceon (latex)
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
% kann auch lokal innerhalb einer Gruppe verwendet werden
\sourceoff
auf Default 1., 2., 3.,... zurück
|
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StrgAltEntf
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Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.430, eingetragen 2019-05-17
|
Aufgabe 101246
Definition: Eine Menge M von Elementen u,v,w,...heißt genau dann eine Gruppe bezüglich der algebraischen Operation A, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:
a) Jedem geordneten Paar [u,v] von Elementen aus M ist vermöge der Operation A ein Element w aus M zugeordnet (man schreibt u◦v=w).
b) Die algebraische Operation A ist assoziativ, d.h., für alle Elemente u,v,w aus M gilt: (u◦v)◦w=u◦(v◦w).
c) Zu je zwei Elementen u und v aus M existiert mindestens ein Element x aus M, so dass u◦x=v gilt, und mindestens ein Element y aus M, so dass y◦u=v gilt.
Es sei nun P die Menge aller Polynome ersten Grades f(x)=a0+a1x, wobei a0,a1 rationale Zahlen sind und a1 != 0 gilt. Ferner sei in P eine algebraische Operation A wie folgt definiert: Sind f(x) und g(x) Polynome aus P, so ist f(x)◦g(x)=g[f(x)]. Es ist zu entscheiden, ob P eine Gruppe bezüglich A ist.
Lösung:
Bei $P$ mit der Operation $A$ handelt es sich um eine Gruppe. Zu zeigen sind die Eigenschaften a, b und c.
a) Seien $f(x)=a_0+a_1x$ und $g(x)=b_0+b_1x$ Elemente aus $P$. Dann ist $f(x)\circ g(x) = g(f(x)) = b_0+b_1(a_0+a_1x) = b_0+b_1a_0+b_1a_1x = c_0+c_1x$ mit $c_0= b_0+b_1a_0$ und $c_1=b_1a_1$. Da $a_1,b_1\neq0$, ist auch $c_1\neq0$ und somit $f(x)\circ g(x)=c_0+c_1x$ ein Element aus $P$.
b) Seien $f(x)$, $g(x)$ und $h(x)$ Elemente aus $P$. Dann ist $(f(x)\circ g(x))\circ h(x) = g(f(x))\circ h(x) = h(g(f(x))) = f(x)\circ h(g(x)) = f(x)\circ(g(x)\circ h(x))$.
c) Seien $f(x)=a_0+a_1x$ und $g(x)=b_0+b_1x$ Elemente aus $P$. Definiere dann $h(x) = b_0-\frac{a_0b_1}{a_1}+\frac{b_1}{a_1}x$. Da $a_1,b_1\neq0$, ist $h(x)$ ein Element aus $P$, und es ist $f(x)\circ h(x) = h(f(x)) = b_0-\frac{a_0b_1}{a_1}+\frac{b_1}{a_1}( a_0+a_1x) = b_0+b_1x = g(x)$. Sei weiterhin $k(x) = \frac{b_0-a_0}{a_1}+\frac{b_1}{a_1}x$. $k(x)$ ist ebenfalls ein Element aus $P$, und es ist $k(x)\circ f(x) = f(k(x)) = a_0+a_1(\frac{b_0-a_0}{a_1}+\frac{b_1}{a_1}x) = b_0+b_1x=g(x)$.
|
Profil
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Mitteilungen: 8460
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.431, eingetragen 2019-05-17
|
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35803_101244.PNG
Die Antwort zu b (und damit auch zu a) lautet ja.
A wählt \(a_1=a_3=0\) und \(a_2=a_4=1\). Das Gleichungssystem lautet dann
(1) \(x=b_1\)
(2) \(y+b_2z=0\)
(3) \(b_3x+z=b_4\)
Dieses Gleichungssystem besitzt die eindeutige und ganzzahlige Lösung
\(x=b_1\),
\(y=b_1b_2b_3-b_2b_4\),
\(z=b_4-b_1b_3\).
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.432, eingetragen 2019-05-18
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Guten Morgen!
101241
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35803_101241.png
Lösung:
Mit (*) bezeichnen wir im folgenden die Ungleichung \(\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}>a\).
Wir betrachten zunächst den Fall, dass \(a=0\). In diesem Fall sind die beiden Wurzeln nur für \(x=0\) reell, (*) ist dann aber nicht erfüllt.
Für \(a<0\) können für keinen Wert \(x\) beide Wurzeln reell sein, da ansonsten \(x\geq-a\) und \(x\leq a\) gelten müsste.
Sei von nun an \(a>0\).
Dann sind genau für alle \(x\in[-a,a]\) beide Wurzeln reell.
Quadrieren von (*) ist eine Äquivalenzumformung, da beide Seiten positiv sind; (*) ist also äquivalent zu
\(a+x+2\sqrt{a^2-x^2}+a-x>a^2\)
\(\iff\)
(**) \(2\sqrt{a^2-x^2}>a^2-2a\)
Für \(0a^4-4a^3+4a^2\)
\(\iff\)
(***) \(4x^2<4a^3-a^4=a^2a(4-a)\).
Falls \(a\geq4\), ist die rechte Seite von (***) \(\leq0\), (***) kann also von keinem \(x\) erfüllt werden.
Schließlich sei nun \(2\leq a<4\).
Dann ist (***) äquivalent zu \(|x|<\frac12a\sqrt{a(4-a)}\). Da
\(\frac12a\sqrt{a(4-a)}\leq a\iff a(4-a)\leq4\) und letzteres für alle \(a\in[2,4)\) erfüllt ist, ist das Intervall \(I=\left(-\frac12a\sqrt{a(4-a)},\frac12a\sqrt{a(4-a)}\right)\) im intervall \([-a,a]\) enthalten und somit erfüllen alle \(x\in I\) die Ungleichung (***).
Zusammenfassend:
- \(a<0\): Für kein \(x\) sind beide Wurzeln reell und somit ist (*) für kein \(x\) erfüllt.
- \(a=0\): Genau für \(x=0\) sind beide Wurzeln reell, aber für kein \(x\) ist (*) erfüllt.
- \(0
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Nuramon
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| Beitrag No.433, eingetragen 2019-05-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Ein kleiner Fehler:
\quoteon(2019-05-18 13:06 - StrgAltEntf in Beitrag No. 432)
Für \(a<0\) sind die beiden Wurzeln für alle Werte \(x\) im Intervall \([a,-a]\) reell und insbesondere \(\geq0\). (*) ist also für alle diese \(x\) erfüllt.
\quoteoff
Die Wurzeln sind auch in diesem Fall für $x\in [-a,a]$ definiert, nur ist das Intervall für negative $a$ halt leer.\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.434, eingetragen 2019-05-18
|
Hallo Nuramon,
\quoteon(2019-05-18 14:22 - Nuramon in Beitrag No. 433)
Ein kleiner Fehler:
\quoteon(2019-05-18 13:06 - StrgAltEntf in Beitrag No. 432)
Für \(a<0\) sind die beiden Wurzeln für alle Werte \(x\) im Intervall \([a,-a]\) reell und insbesondere \(\geq0\). (*) ist also für alle diese \(x\) erfüllt.
\quoteoff
Die Wurzeln sind auch in diesem Fall für $x\in [-a,a]$ definiert, nur ist das Intervall für negative $a$ halt leer.
\quoteoff
Ich verstehe deinen Einwand nicht und warum du das als Fehler ansiehst. Fehlt dir hier ein "genau", so wie ich es in der Zusammenfassung formuliert habe?
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Nuramon
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| Beitrag No.435, eingetragen 2019-05-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
\quoteon(2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart)
Aufgabe 140924:
$AB$ sei eine in der Ebene $\epsilon$ gegebene Strecke der Länge $a$. In $\epsilon$ sei $g$ die Gerade durch $A$, die senkrecht zu
$AB$ ist.
In $B$ sei die Senkrechte $s$ auf die Ebene $\epsilon$ errichtet. Schließlich seien $C$ ein von $A$ verschiedener
Punkt auf $g$ und $D$ ein von $B$ verschiedener Punkt auf $s$.
a) Man beweise, dass es eine Kugel gibt, die durch die Punkte $A, B, C$ und $D$ geht.
b) Man berechne den Radius einer solchen Kugel für den Fall, dass $CA = a \sqrt{2}$ und $BD = a \sqrt{3}$ gilt.
\quoteoff
$
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below left:{$A$}] (A) at (0,0,0);
\coordinate[label=below right:{$B$}] (B) at (3,0,0);
\coordinate[label=above left:{$C$}] (C) at (0,2,0);
\coordinate[label=above right:{$D$}] (D) at (3,0,-2.5);
\coordinate[label=above:{$M$}] (M) at ($(C)!0.5!(D)$);
\draw[very thick,->] (A)--(B) node[midway, below]{$x$};
\draw[very thick,->] (A)--(C)node[midway, left]{$y$};
\draw[very thick,->] (B)--(D)node[midway, right]{$z$};
\draw (B)--(C)--(D);
\draw[dotted] (A)--(D);
\draw[dashed] (M)--(B)
(M)--(A);
\end{tikzpicture}
$
Behauptung: Der Mittelpunkt $M$ der Strecke $CD$ hat von den Punkten $A,B,C,D$ jeweils den gleichen Abstand und kann somit als Mittelpunkt der gesuchten Kugel gewählt werden.
Beweis: Die Vektoren $x:= B-A, y:= C-A, z:= D-B$ stehen per Definition paarweise aufeinander senkrecht.
Es gilt:
\[\begin{align*}
B&=A+x,\\
C&=A+y,\\
D&=B+z=A+x+z,\\
M&=\frac 12(C+D)=A+\frac{x+y+z}2.
\end{align*}\]
Somit folgt
\[\begin{align*}
M-A &= \frac{x+y+z}2,\\
M-B &= \frac{-x+y+z}2,\\
M-C &= \frac{x-y+z}2\\
M-D &= \frac{-x+y-z}2
\end{align*}\]
Wegen der Orthogonalität von $x,y,z$ folgt
\[\left\|\frac{\pm x\pm y\pm z}2\right\| = \frac 12\sqrt{\|x\|^2+\|y\|^2+\|z\|^2},\]
was die Behauptung impliziert.
b) In diesem Fall ist $\|x\|=a, \|y\|=a\sqrt 2, \|z\|=a\sqrt 3$. Der Radius $r$ der Kugel ist somit
\[r=\frac 12 \sqrt{a^2+2a^2+3a^2}= \frac a2\sqrt 6\]
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.433 begonnen.]\(\endgroup\)
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Nuramon
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| Beitrag No.436, eingetragen 2019-05-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
\quoteon(2019-05-18 14:31 - StrgAltEntf in Beitrag No. 434)
Hallo Nuramon,
\quoteon(2019-05-18 14:22 - Nuramon in Beitrag No. 433)
Ein kleiner Fehler:
\quoteon(2019-05-18 13:06 - StrgAltEntf in Beitrag No. 432)
Für \(a<0\) sind die beiden Wurzeln für alle Werte \(x\) im Intervall \([a,-a]\) reell und insbesondere \(\geq0\). (*) ist also für alle diese \(x\) erfüllt.
\quoteoff
Die Wurzeln sind auch in diesem Fall für $x\in [-a,a]$ definiert, nur ist das Intervall für negative $a$ halt leer.
\quoteoff
Ich verstehe deinen Einwand nicht und warum du das als Fehler ansiehst. Fehlt dir hier ein "genau", so wie ich es in der Zusammenfassung formuliert habe?
\quoteoff
Der Einwand ist, dass du aus irgendeinem Grund das Intervall $[a,-a]$ anstatt das Intervall $[-a,a]$ betrachtest, und damit fälschlicherweise schließt, dass es für negative $a$ Zahlen $x$ gibt, die die Ungleichung erfüllen.\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.437, eingetragen 2019-05-18
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\quoteon(2019-05-18 15:35 - Nuramon in Beitrag No. 436)
\quoteon(2019-05-18 14:31 - StrgAltEntf in Beitrag No. 434)
Hallo Nuramon,
\quoteon(2019-05-18 14:22 - Nuramon in Beitrag No. 433)
Ein kleiner Fehler:
\quoteon(2019-05-18 13:06 - StrgAltEntf in Beitrag No. 432)
Für \(a<0\) sind die beiden Wurzeln für alle Werte \(x\) im Intervall \([a,-a]\) reell und insbesondere \(\geq0\). (*) ist also für alle diese \(x\) erfüllt.
\quoteoff
Die Wurzeln sind auch in diesem Fall für $x\in [-a,a]$ definiert, nur ist das Intervall für negative $a$ halt leer.
\quoteoff
Ich verstehe deinen Einwand nicht und warum du das als Fehler ansiehst. Fehlt dir hier ein "genau", so wie ich es in der Zusammenfassung formuliert habe?
\quoteoff
Der Einwand ist, dass du aus irgendeinem Grund das Intervall $[a,-a]$ anstatt das Intervall $[-a,a]$ betrachtest, und damit fälschlicherweise schließt, dass es für negative $a$ Zahlen $x$ gibt, die die Ungleichung erfüllen.
\quoteoff
Ah, jetzt habe ich begriffen, danke! Das war dumm, habe es oben verbessert. Bist du nun einverstanden?
@stpolster: Kannst du das bitte übernehmen?
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Nuramon
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| Beitrag No.438, eingetragen 2019-05-18
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@StrgAltEntf: Ja, jetzt passt es.
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.439, eingetragen 2019-05-18
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Hallo,
bei dieser Aufgabe verstehe ich nicht ganz die Aufgabenstellung.
101235
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35803_101235.PNG
Ist hier gemeint, dass P der Mittelpunkt der Strecke \(P_1P_2\) ist?
Und: Was soll die Anmerkung? Von einer Geraden, die parallel zu einer Ebene liegt, ist doch in der Aufgabe gar keine Rede.
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