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Mathematik » Geometrie » Zwischenrelation Abstandsformel
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Universität/Hochschule J Zwischenrelation Abstandsformel
ichbins0215
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.12.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-24


Hallo, ich bräuchte da mal eure Hilfe.
Wir sollen mit der Abstandsformel d(A,B)=sqrt((A1-B1)^2+(A2-B2)^2) zeigen, dass in der euklidischen Ebene genau dann A|B|C (B liegt zwischen C und A) gilt, wenn d(A,C)=d(A,B)+d(B,C). Als Definition für A|B|C hatten wir dabei, dass das Skalarprodukt von <BA,BC><0 ist. Mit dieser Aussage sollen wir dann auch zeigen, dass wenn A|B|C und A|C|D gilt, dann auch A|B|D und B|C|D.

Irgendwie fehlt mir bei beiden Teilaufgaben der Ansatz, ich hab nur überlegt, dass man B z.B. durch B=A+r*AC ersetzt für ein r aus (0,1). Beim zweiten hab ich versucht das aus den ersten beiden Aussagen umzustellen, bin aber auch nicht wirklich zum Ziel gekommen.

Danke für eure Hilfe



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 956
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-24


Hallo,

ich habe dir mal einen alten MP-Thread herausgesucht.

Hilft dir das für Teilaufgabe 1) weiter?

Ich denke, dass man für die zweite Teilaufgabe einfach die bekannten Eigenschaften von Relationen überprüfen und anwenden kann.


Gruß, Diophant



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ichbins0215
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-24


Leider nicht wirklich, da dass mit der Abstandsformel nicht ganz analog machbar ist.



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Caban
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 368
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-24


Hallo

Wenn du  d(A,C)=d(A,B)+d(B,C) quadraierst, solltest du den Kosinussatz anwenden können.

Gruß Caban



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ichbins0215
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Mitteilungen: 19
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-24


Ich verstehe zwar, was du meinst, allerdings bin ich mir unsicher ob wir das benutzen dürfen, da wir den Satz offiziell nicht in der Vorlesung hatten.
Trotzdem danke für die Antwort :)



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Caban
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 368
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-24


Hallo

Dann leite ihn selbst her!

Gruß Caban



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Creasy
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 238
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-24


Hey
Ich habe dazu eine Frage. Wenn ich jetzt zb wähle A=(-2,0), B=(0,1), C=(2,0), dann sollte diese Formel d(A,c)=d(A,B)+d(B,C) nicht stimmen (hab es ehrlich gesagt nicht nachgerechnet) aber das besagte Skalarprodukt ist doch -4+1=-3<0?  
Habe ich einen Fehler gemacht oder ist die Aufgabe nicht richtig?

Beste Grüße
Creasy

SorrY, tippe vom handy


-----------------
Smile (:



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ichbins0215
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-24


Hallo, creasy. Ich hab vergessen dazu zu schreiben, dass A,B und C dann auch kollinear, also auf einer Geraden sein müssen.



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Creasy
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-24


Aha :)
Sorry erneut.. das wird eventuell nicht schön geschrieben:
Schreibe wie ähnlich wie im Link von diophant

A-B=t(C-A) und C-B=(t-1)(C-A). nutze nun d(A,C)=|C-A|. Die Gleichung d(A,C)=d(A,B)+d(B,C) ist durch umformulierung äquivalent zu 1=|t|+|t-1| . Und die Ungleichung <BA,BC><0 ist äquivalent zu $t^2-t<0$. (Hier nutzt man <C-A,C-A>>0).
Hilft das weiter?

Grüße Creasy



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ichbins0215
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.12.2018
Mitteilungen: 19
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-24


Ich verstehe zwar den Ansatz, stehe aber gerade auf dem Schlauch wie ich damit jetzt das zeigen kann was ich zeigen wollte.



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 956
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-04-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo nochmals,

also im Prinzip sind ja zwei Dinge zu zeigen:

- dass die Vektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{BC}\) (im Fall der Gleichheit in der Dreiecksungleichung) linear abhängig sind
- dass der Punkt B zischen den Punkten A und C liegt, wass sich bspw. in \(<\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}><0\) niederschlägt.

Um nun zum ersten Punkt zurückzukehren. Dass es auch ohne Anwendung der Euklidischen Norm geht, haben dir der verlinkte Thread und auch die Antwort von Creasy gezeigt.

Du sollst es aber ja über die Metrik der Euklidischen Ebene machen. Und da wirst du nicht darum herumkommen, die Gleichung

\[d(A,B)+d(B,C)=d(A,C)\quad\Leftrightarrow\quad\sqrt{(A-B)^2}+\sqrt{(B-C)^2}=\sqrt{(A-C)^2}\]
zu quadrieren und dann so umzuformen, dass du am Ende bei der Gleichung

\[(A-B)\cdot(B-C)=\sqrt{(A-B)^2}\cdot\sqrt{(B-C)^2}\]
landest und daraus die lineare Abhängigkeit bzw. den Spezialfall der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung erkennst.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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