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Universität/Hochschule Abschätzung
Flummies
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.11.2015
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-24


Hallo Matheplanet,
Ich bin etwas am verzweifeln,
Ich möchte die unten aufgeführte Abschätzung zeigen, aber ich komme nicht weiter. Die -1 im Nenner macht mir alles kaputt, was ich bisher versucht habe. Hat jemand einen Tipp für mich wie das gehen soll?
Die Randbedingungen: \(s=\sigma+it ,~~\vert z\vert =\rho\leq \pi,~~ \sigma > 1,~~ \rho>0\)

Ich hab schon mal angefangen, kann aber sein, dass es irgendwo einen Fehler gibt
 
\[\vert \frac{z^{s-1}}{e^z-1}\vert = \vert \frac{z^{\sigma-1+it}}{e^z-1}\vert=\frac{\vert z^{\sigma-1}\vert}{\vert e^z-1\vert}=\frac{\vert z\vert^{\sigma-1}}{\vert e^z-1\vert}  = \frac{ \rho^{\sigma-1}}{\vert e^z-1\vert} =~~~???~~~ \leq \rho^{\sigma-2}   \]
Ohne die -1 wüsste ich wie es machbar ist aber so weiß ich nicht weiter.



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Vercassivelaunos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 380
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Hallo Flummies,

du könntest $\vert x-y\vert\geq\left\vert\vert x\vert-\vert y\vert\right\vert$ verwenden.
\(\endgroup\)


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Flummies
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.11.2015
Mitteilungen: 17
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-24


Ich hab das schon versucht, irgendwie klappt das bei mir nicht, oder ich habe einen Denkfehler

Hier einmal mein Weg, wie er dann wäre:
\(\leq \frac{ \rho^{\sigma-1}}{\vert \vert e^z\vert-\vert 1\vert\vert}
=\frac{ \rho^{\sigma-1}}{\vert \vert e^x\vert-1\vert}=\frac{ \rho^{\sigma-1}}{ e^x-1}   ~~~ (z=x+iy)~~~\)
Da weiß ich nicht, wie ich das abschätzen soll, da ich wegen dem -1 durch einen kleineren Wert teile und der Bruch dann nur größer wird.



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TomTom314
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-24


Einspruch*. $\vert \vert e^z\vert-1\vert$ wird null für $z=\pm i\rho$.

$|e^z-1|$ nimmt auf $\partial B_{\rho}(0)$ Maximum/Minimum an. Wo das geschieht, läßt sich über Lagrange-Multiplikatoren (oder eine kleine Symmentrieüberlegung) bestimmen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

* Der bezieht sich auf die Verwendung von $\vert x-y\vert\geq\left\vert\vert x\vert-\vert y\vert\right\vert$



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 380
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-24


TomTom hat Recht. Ich habe da im Kopf falsch mit Exponenten gerechnet. Mein Ansatz ist tatsächlich nicht zielführend.



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Flummies
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.11.2015
Mitteilungen: 17
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-24


Also meine Überlegung ist (bitte Korrigieren),
Das \(\vert e^z-1\vert\)das Maximum bei \(z=\rho\) und Minimum bei
\(z=-\rho\). Kann ich das dann gegen entsprechendes z abschätzen?



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TomTom314
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Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1253
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-24


Das Ergebnis hätte ich mir gewünscht, bin mir gerade aber nicht mehr so sicher. Ein Gedanke. Min/Max von \(\vert e^z-1\vert\) wird an den selben Stellen angenommen wie Min/Max von \(\vert e^z-1\vert^2 =e^{2 Re(z)}-2Re(e^z) + 1\). Ggf. kommst Du über die Abschätzung des Quadrats zum Ziel.

Wenn Du schon eine Rechnung/Beweis zum vermuteten Min/Max hast, können wir die auch durchgehen, wenn Du nicht sicher bist.

Nachtrag: Unter der Annahme, dass Min/Max bei $z=\pm \rho$ liegen, sollte man mit reellen Abschätzung $e^x \geq 1+x$ weiter kommen.



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Flummies
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-24


ok mein Versuch:
\(\frac{ \rho^{\sigma-1}}{\vert e^z-1\vert}\leq \frac{ \rho^{\sigma-1}}{\vert e^{-\rho}-1\vert}\leq \frac{ \rho^{\sigma-1}}{\vert 1-\rho-1\vert}=\frac{ \rho^{\sigma-1}}{\vert -\rho\vert}=\rho^{\sigma-2}\)



Wie sieht das aus?



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-24


Bin ich mit einverstanden.  cool



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