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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Majorisierte Konvergenz - 2
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Autor
Universität/Hochschule J Majorisierte Konvergenz - 2
markus0607
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 02.07.2015
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-24


Hallo zusammen  smile !

Folgendes setting: Gegeben ist eine Folge von Funktionen
\((f_k)_{k\in\mathbb{N}}\), \(f_k:\mathbb{Z}\rightarrow R\), wobei folgendes gilt:
\[
f_k(h)\rightarrow f(h),\ \forall h\in\mathbb{Z},\ k\rightarrow\infty \\
\sum\limits_{h\in\mathbb{Z}}|f_k(h)|<\infty,\ \forall k\in\mathbb{N}\\
\sum\limits_{h\in\mathbb{Z}}|f(h)|<\infty.
\] Was ich zeigen/begründen möchte, ist dass
\[
\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\sum_{h\in\mathbb{Z}}f_k(h)
=
\sum_{h\in\mathbb{Z}}f(h).
\] Mein Argument wäre jetzt: \(f_k(h)\) ist beschränkt, also gibt es ein \(K>0\), sodass \(|f_k(h)|\leq K\cdot |f(h)|\) für alle \(k\in\mathbb{N},\ h\in\mathbb{Z}\). Mit dieser Majorante folgt dann mit der absoluten Summierbarkeit von \(f\) und dem Satz der majorisierten Konvergenz die Aussage.

Macht das Sinn oder sieht jemand einen Fehler?

Oder fällt jemandem noch ein kürzeres/eleganteres Argument ein, oder ein Satz der das schon besagt?

Freue mich auf Antworten, vielen Dank!  



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Anyon99
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.08.2018
Mitteilungen: 21
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-25


Hallo markus0607,
$\forall x\in\mathbb{Z}\colon f_n(x)\rightarrow f(x)\Rightarrow \forall x\in\mathbb{Z}\colon(f_n(x))_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R}\text{ beschränkt}\nRightarrow\exists K>0\colon\forall n\in\mathbb{N}\forall x\in\mathbb{Z}\colon\vert f_n(x)\vert\leq K \vert f(x)\vert$
Gegenbeispiele sind Funktionenfolgen, die gegen 0 konvergieren:
Betrachte: $f_n\colon\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{R}\colon x\mapsto \frac{1}{(x n)^{2}}$. Dann konvergiert $f_n$ punktweise gegen 0. Aber $\forall x\forall n\colon\vert \frac{1}{(x n)^{2}}\vert>0$.
Beschränktheit der Folge bedeutet lediglich: $\forall x\in\mathbb{Z}\exists K_x>0\forall n\in\mathbb{N}\colon\vert f_n(x)\vert\leq K_x$



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markus0607
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 02.07.2015
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-25


@Anyon99 Hi und danke für die Antwort!

Mit Beschränktheit meinte ich, dass sich aus
\[
\sum\limits_{h\in\mathbb{Z}}|f_k(h)|<\infty,\ \forall k\in\mathbb{N},
\] ergibt, dass ein \(C_1>0\) (unabhängig von \(k\) und \(h\)) existiert, s.d. \(|f_k(h)|<C_1\), da sonst die obige Konvergenz nicht gelten würde.
Mit dem gleichen Argument muss ein \(C_2>0\) existieren, s.d. \(f(h)<C_2\).
Daher sollte es ein \(K>0\) existieren, s.d.
\[
|f_k(h)|<K\cdot |f(h)|,\ \forall h\in\mathbb{Z}.
\]
Oder ist das falsch?




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markus0607
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 02.07.2015
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-25


Könnte nochmal jemand drüber schauen, bzw. Tipps geben, wie ich in diesem Fall
\[
\lim\limits_{m\rightarrow\infty}\sum\limits_{h\in\mathbb{Z}}f_k(h)=
\sum\limits_{h\in\mathbb{Z}}f(h)
\] zeigen könnte?



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