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Universität/Hochschule Gaußsche Wellenpakete
Stefanboltzmann
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 14.11.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-24


Guten Abend,

ich hänge an folgender Aufgabe fest:

Es ist eine Wellenfunktion eines freien Masseteilchens m im eindimensionalen Fall geben, sowie ein Spezialfall (das Gaußsche Wellenpaket).

fed-Code einblenden

i) Die erste Aufgabe besteht darin die Wahrscheinlichkeitsdichte fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
zu berechnen
Hier habe ich das Wellenpaket eingesetzt und lustig drauf los integriert:
fed-Code einblenden

ii) Die zweite Aufgabe besteht darin, die charakteristische Zeit (d.h die Zeit bis zur Verdopplung der Breite des Wellenpakets) für einen Tennisball mit m=50g und d=10cm zu berechnen.

Hier habe ich leider keinen Ansatz und weiß auch nicht, wie ich die Wellenfunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte gewinnbringend einsetzen kann.

iii) Der letzte Teil der Aufgabe besteht darin, durch explizite Rechnung zu zeigen, dass die Normierung der Wellenfunktion zu jedem Zeitpunkt erhalten ist. Und die Konstante A zu berechnen.

Die Normierung heißt ja, dass die gesamte Wahrscheinlichkeitsdichte über den Raum integriert gleich 1 sein muss. Nur wie zeige ich, dass dies immer gegeben ist? So bekomme ich jedenfalls die konstante A hinaus doch fragte mich, wie ich meine Wahrscheinlichkeitsdichte nach x integrieren soll? Das wäre sehr schwer, wenn es denn überhaupt möglich ist.

Ich hoffe mir kann einer helfen.


Grüße

Stefanboltzmann




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Neymar
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 437
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-24


ad (iii).

(Einschub: Wir betrachten Wellenfunktionen $\Psi(x,t) \in L^2(\mathbb{R})$, wobei $L^2(\mathbb{R})$ ein Hilbertraum ist. Man kann allgemein LP-Räume betrachten; anyway, das Skalarprodukt auf diesem Hilbertraum $L^2(\mathbb{R})$ ist per definitionem $\langle f, g \rangle := \int_{^\mathbb{R}}f^\star(x) \cdot g(x)dx$. Dass dies tatsähchlich ein Skalarprodukt im Sinne von Axiomen (vgl. etwa Wikipedia), kann gezeigt werden. Nun induziert ein Skalarprodukt eine Norm mit $||\Psi(x,t)||:= \sqrt{\langle \Psi, \Psi \rangle} = \sqrt{\int_{\mathbb{R}}|\Psi|^2 dx} = \sqrt{P(x,t)}$, wobei $P(x)$ die Wahrscheinlichkeit beschreibe. Das der kleine Exkurs von mir, warum Wahrscheinlichkeit und Normierung Hand in Hand gehen. Vielleicht hilft es, vielleicht auch nicht ...)


So, ich würde folgendermaßen rangehen: Entweder bestimmst du $\frac{d}{dt} \int_{\mathbb{R}} |\Psi(x,t)|^2dx$ und zeigst, dass das $= 0$ ist (siehe an dieser Stelle auch in ein Lehrbuch, falls unklar, warum) oder du berechnest $\int_{-\infty}^{\infty} \Psi^\star(x,t)\cdot \Psi(x,t)dx \overset{!}{=}1$, damit du die Konstante $A$ bestimmen kannst. Ich bin mir gerade nicht so sicher, würde aber vermutlichen den letzten Weg erst einmal ausprobieren.


Neymar




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Stefanboltzmann
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 14.11.2018
Mitteilungen: 60
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-24


Hallo Neymar,

erst einmal Danke für die Antwort.

iii) deine Idee/Ansatz für iii) leuchtet mir ein und ich werde das mal versuchen.

Hast du mal über i) und ii) drüber geguckt und kannst mir da auch behilflich sein?



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