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 Neutrale Faser bestimmen beim Biegebalken |
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sulky
Aktiv 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1964
 |  Themenstart: 2019-04-28
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Hallo zusammen,
Ich stehe vor einem Repetorium in der Festigkeitsrechnung
und habe folgende Frage:
Bei einem Biegebalken stellt sich die Frage wo in seinem Querschnitt
die Phase liegt, welche weder gestaucht noch gedehnt wird.
Wegen der Hookschen gerade ist dies bei Symmetrischen Profilen
selbstverständlich die Mitte.
Bei unsymmetrischen Profilen ist die Sache schwieriger.
Ohne viele Worte zu verlieren nimmt die Literatur die Linie, welche Rechtwinklig zur Krafteinwirkung und Rechtwinklig zum Balken verläuft und durch den Schwerpunkt geht.
Meine Frage: Wieso der Schwerpunkt?
Wenn ich mir irgend ein Flächenelement dA des Querschnittes vorstelle,
dann hat dieses einen Abstand y zur Phase.
Das Drehmoment, welches dA aufgrund der Schwerkraft bezüglich der Phase ausübt ist dann proportional zu y*dA
Anders ist das Drehmoment, welches dA aufgrund der Biegung auf die Phase ausübt. Das Drehmoment ist einerseits proprional zu y weil bei gegebener Balkenkrümmung ist die Dehnung bei dA proportional zu y und mit der Dehnung auch die Kraft (Hooksches Gesetz).
Andererseits ist das Drehmoment welches dA auf die Phase ausübt gleich nochmals proportional zu y, weil y ja der Hebel ist.
Zusammenfassend ist das Drehmoment welches durch dA infolge Biegung auf die Phase ausübt proportional zu $y^2$ und nicht zu $y$
Diese überlegung kommt nicht von mir. Den in unseren Unterlagen wurde zur berechnung der Biegung die Profileingenschaft W=Axiales Wiederstandsmoment verwendet, welches nichts anderes ist als
$\int_{Profil}y^2 dA$
Daher verstehe ich nicht, weshalb man zur Berechnung der neutralen Biegefase den Schwerpunkt nehmen kann.
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hgseib
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 04.04.2019
Mitteilungen: 172
| Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-28
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Hallo
Einmal mehr steht Realität und Abstraktion im Zwietracht.
Der Bereich, in dem Materialien wie z.B. Stahl oder Gusseisen ohne bleibende Verformung gebogen werden kann ist eh sehr minimal. Stahl verträgt besser Zug als Druck, Gusseisen eher Druck als Zug. Das alleine verschiebt eine Neutrale Linie.
Selbst bei hochwertigster Fertigung ist das Material nicht wirklich Homogen. Überschreitet man den elastischen Bereich, dann ist's sowieso schon zu weit gegangen und jegliche Rechnung eh falsch gewesen.
Nicht umsonst kommt je nach Anwendung nach einer Festigkeitsberechnung 200% .. 300% und (wesentlich) mehr Sicherheitszuschlag drauf. Wen interessiert es da, ob die Neutrale Linie jetzt einen Millimeter versetzt anzunehmen ist? Du verstehst? Es muss im Rahmen berechenbar sein, das Ergebnis sollte annähernd der Realität entsprechen, Sicherheitszuschlag (= Erfahrungswert) drauf, passt.
Und so falsch kann's nicht sein? Sonst würden noch mehr Brücken und Häuser einstürzen. Und was da ein- und abstürzt hat i.d.R. andere Gründe als ein falsch angenommener neutraler Biegeradius.
Rein Abstrakt betrachtet sollte der Schwerpunkt schon richtig sein. Von ihm aus befindet sich in alle Richtungen (Schnittebene) die Kräfte im Gleichgewicht.
mfg
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sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1964
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-28
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hallo hgseib,
In diesem Falle geht es ja nicht darum zu berechnen bei welcher Last der Träger einzubrechen droht.
Die Frage betrift ja hier das elastische Biegeverhalten bei leichter Last.
Rein abstrakt betrachtet - wie du das nennst- ist mir völlig unklar, weshalb die Schwerpunktlinie die neutrale Biegeachse sein soll.
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hgseib
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 04.04.2019
Mitteilungen: 172
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-29
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ich habe einen Dubbel von 1974
Da steht viel drinn, aber nie das, was man sucht.
Im Internet findet man auch nichts mehr. Das war früher besser.
Heute erhält man auf eine Suchanfrage nur noch Werbung :-(
Dann habe ich da ein Buch:
Festigkeitslehre im Maschinenbau /Vogel-Verlag /1976
Kapitel 7: Die Biegung stark gekrümmter Träger
Vielleicht ist dir das ein Strichwort um weitere Infos zu finden?
Dort steht im Buch:
Die neutrale Faser fällt nicht mit der Schwerachse zusammen.
Ist reine Biegung vorhanden, so muss die Längenkraft N=0 gesetzt werden und ..
Entfernung der neutrale Faser von der Schwerachse
y0 = - rK / (K+1)
Also der Radius der neutrale Faser ist kleiner als der der Schwerachse.
r = Krümmungradius der Schwerachse
K = von der Geometrie des Querschnittes und der Balkengrümmung abhängig.
Mehr lese ich da leider nichts zu K.
Dann kommt eine Übungsaufgabe mit einem T-Profil und natürlich dessen Schwerpunkt. Aber kein K.
Es wird wohl so sein, wie ich geschrieben hatte? Für die gebräuchlichen Berechnungen liefert die Schwerpunktlinie hinlänglich genaue Ergebnisse. Mehr muss nicht sein.
Hast du Zugang zu Leuten, die FEM-Berechnungen machen? Die können vielleicht noch was dazu sagen?
mfg
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10900
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-29
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Hallo sulky,
viel mehr als Erinnerung habe auch ich nicht anzubieten auf diesem Gebiet.
Du nimmst ja die Gültigkeit des Hookschen Gesetzes an. Dann sind wir aber - vorbehaltlich eines Irrtums meinerseits - bei der guten alten Biegetheorie 1. Ordnung, die auf unterschiedlichen Annahmen von Jakob Bernoulli basiert.
Eine weitere dieser Annahmen ist die, dass das Material, aus dem der Balken besteht, isotrop ist. Und aus dieser Annahme wiederum folgt dann, dass die neutrale Faser die Schwerelinie längs des Balkens enthält (oder eventuell ist es eine weitere Grundannahme der Theorie 1. Ordnung. Ist alles sehr lange her bei mir...).
Gruß, Diophant
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MontyPythagoras
Senior 
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3414
Wohnort: Werne
 | Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-29
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@hgseib,
ich verstehe nicht genau, was Du eigentlich aussagen willst. Dies ist ein Mathematik-Forum und die Frage, die sulky gestellt hat, ist klipp und klar mathematisch-präzise zu beantworten. Das typische Gelabere in der Art "da packe ich 200 bis 300% drauf, dann passt das schon" hat mich als Ingenieur schon immer genervt und es ist weder die Art der Arbeit, wie sie an der Uni gelehrt wird, noch wie sie ausgeübt werden sollte, denn dann mache ich grundsätzlich etwas falsch. Riesige Sicherheitsfaktoren werden nur dann aufgeschlagen, wenn die tatsächlichen Betriebslasten unbekannt sind oder nur geschätzt werden können. In den klar berechenbaren Fällen sind die Faktoren typischerweise nur bei 1,5, im Flugzeugbau sind Sicherheitsaufschläge in der Größenordnung um 15% (ja, richtig gelesen) üblich. Diese "Passt scho"-Sichtweise bringt meines Erachtens den Berufsstand des Ingenieurs, der Lösungen einfach schätzt, statt sie zu berechnen, in Verruf. Dass man dagegen auch im Bereich der Biegung durchaus sehr präzise Berechnungen anstellen kann, kannst Du zum Beispiel in meinem Artikel nachlesen.
Und ob ein Werkstoff eher Zug oder eher Druck verträgt, wirkt sich im elastischen Bereich überhaupt nicht auf die Lage der neutralen Faser aus.
@sulky:
In der Balkenbiegungstheorie 1. Ordnung wird davon ausgegangen, dass an dem gebogenen Balken die Querschnitte eben bleiben. Strenggenommen ist das nicht der Fall. Genauere Berechnungen, bei denen die Airysche Spannungsfunktion herangezogen werden muss, zeigen, dass aufgrund der Schubspannungen im Balken die Querschnitte tatsächlich nicht eben bleiben. Etwas, was praktisch immer unter den Tisch gekehrt wird, ist die Forderung, dass ein Biegebalken nicht nur deutlich länger sein muss als seine Querschnittsabmessungen, sondern dass der Querschnitt auch eigentlich deutlich höher sein muss als breit. Ich benutze immer ein hochkant gestelltes Plastiklineal als Idealvorstellung. 30cm Balkenlänge, 3cm Balkenhöhe, 2mm Balkenbreite. Wenn Du das Lineal nämlich flach hinlegst, hast Du auch noch eine Behinderung der Querdehnung, was dazu führt, dass die Balkendurchbiegung ca. 9% geringer ist (genauer: Faktor $1-\nu^2$), als die Rechnung vorhersagen würde. Dann sind wir aber im Bereich der Plattenbiegung.
Wenn wir aber nun einen idealen Balken haben, dann kann man recht leicht die Lage der neutrale Faser berechnen. Die liegt keineswegs immer im Schwerpunkt, sondern beim idealen Balken nur bei reiner Biegung, ohne zusätzliche Normalkraft (sei es Zug oder Druck) im Querschnitt. Wenn der Querschnitt eben bleibt (per Brnoulli-Bedingung), dann gilt
$$\varepsilon=k(y-y_n)$$wobei $k$ irgendein Proportionalitätsfaktor ist und $y_n$ die Ordinate der neutralen Faser. Die Spannung aufgrund des Hookeschen Gesetzes ist $\sigma=E\varepsilon$, also
$$\sigma=Ek(y-y_n)$$Da wir reine Biegung haben wollen, aber keine Normalkraft, muss gelten:
$$N=\intop_AEk(y-y_n)\mathrm dA=0$$und somit
$$\intop_Ay\mathrm dA-\intop_Ay_n\mathrm dA=0$$$$\intop_Ay\mathrm dA-y_n\intop_A\mathrm dA=0$$$$\intop_Ay\mathrm dA-Ay_n=0$$$$y_n=\frac1A\intop_Ay\mathrm dA$$und das ist zufällig auch genau die Lage des Schwerpunktes. Wenn aber nun $N$ nicht gleich null wäre, läge die neutrale Faser ganz woanders.
Bei stark gekrümmten Trägern ist diese Berechnung nicht anwendbar, aber zumindest in meiner Dubbel-Ausgabe ist der Formbeiwert $\kappa$ übrigens klar erklärt. Es ist
$$\kappa=\intop_A\frac{y}{R-y}\mathrm dA$$wobei $R$ der Abstand des Flächenschwerpunkts vom Krümmungskreismittelpunkt des unbelasteten, gekrümmten Trägers ist.
Ciao,
Thomas
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sulky
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Dabei seit: 21.12.2009
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-01
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Hallo MonthyPythagoras,
Vielen Dank für deine Präzision.
Was du vorrechnest ist sehr klar nachvollziehbar und führt zu einem Resultat welches ich nicht erwartet hätte.
überigens, ist der Proporionalitätsfaktor $k$ nichts anderes als der Biegeradius.
Was habe ich dann falsch überlegt? ich überlegte mir welche bedingungen dass erfüllt sein müssen, damit gleichviel Drehmoment um $y_n$ wirkt.
und das drehmoment berechnet sich doch mit $dM=y\cdot dF=y\cdot \sigma \cdot dA=y\cdot \epsilon E \cdot dA=y\cdot k\cdot y \cdot E\cdot dA=kE\cdot y^2\cdot dA$
Und es erscheint mir y in der 2. Potenz
Also deine Rechung ist so einfach, dass da kaum zweifel entstehen. Entweder ich habe einen überlegungsfehler, oder mein Resultat und das richtige Resultat wiedersprechen sich gar nicht.
Ich setzt mich gerade intensiv mit Schweissen auseinander.An einigen Stellen scheint mir, dass unsere Lehrmittel gewisse überlegungen aus der Statik ein bischen sehr voreilig auf schweissverbindungen übertragen.
Aber um es besser zu verstehen will ich erst einmal die "Basics" der Festigkeitsrechung repetieren.
\quoteon(2019-04-29 12:13 - MontyPythagoras in Beitrag No. 5)
Etwas, was praktisch immer unter den Tisch gekehrt wird, ist die Forderung, dass ein Biegebalken nicht nur deutlich länger sein muss als seine Querschnittsabmessungen, \quoteoff
Betrachten wir einen Träger, der in der Mitte Geschnitten wird und dann aber wieder zusammengeschweisst wird. Die Schweissverbindung hat dann die gleiche Querschnittsgeometrie wie der Träger.
Hat die Schweissverbindung aber auch eine deutlich längere Länge?
Jein! Es ist mir unklar ob hier überlegungen von den Biegebalken einfach so auf Schweissverbindungen angewendet werden dürfen.
Was mich daran stört ist, dass unsere Kursleiter ausschliesslich Ingenieure sind. Der Ingenieur will immer den Spannungsnachweis sehen.
Anders ist der Physiker. Der will den Experimentalnachweis.
Ein Spannungsnachweis nütz überhaupt nichts wenn die zu Grunde gelegten Annahmen ungenau sind.
Bei einigen Beispielen zu statischen Berechnungen von Schweissverbindungen würde ich gerne einemal das Experiment sehen.
Als Ingenieur würde ich meine Unterschrift nicht unter socherlei Berechnungen schreiben.
Ausserdem wäre der experimentelle belastbarkeitstest einer Schweissverbindung ohne grosse Kosten durchführbar.
Aber für den moment geht es nur darum in Festigkeitsrechnung wieder Sattelfest zu werden.
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MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3414
Wohnort: Werne
| Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-01
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Hallo sulky,
\quoteon(2019-05-01 01:05 - sulky in Beitrag No. 6)
Was du vorrechnest ist sehr klar nachvollziehbar und führt zu einem Resultat welches ich nicht erwartet hätte.
\quoteoff
Warum nicht? Ich habe doch nur das rechnerisch bestätigt, was man überall nachlesen kann.
\quoteonüberigens, ist der Proporionalitätsfaktor $k$ nichts anderes als der Biegeradius.
\quoteoff
Ich weiß, aber für die Herleitung war nur die Proportionalität wichtig, denn wie Du siehst fällt der Proportionalitätsfaktor sowieso raus.
\quoteonWas habe ich dann falsch überlegt? ich überlegte mir welche bedingungen dass erfüllt sein müssen, damit gleichviel Drehmoment um $y_n$ wirkt.
und das drehmoment berechnet sich doch mit $dM=y\cdot dF=y\cdot \sigma \cdot dA=y\cdot \epsilon E \cdot dA=y\cdot k\cdot y \cdot E\cdot dA=kE\cdot y^2\cdot dA$
Und es erscheint mir y in der 2. Potenz
\quoteoff
Wir rechnen doch völlig unterschiedliche Dinge. In meiner Herleitung oben berechne ich die Normalkraft, um sie dann null zu setzen. Das Biegemoment berechne ich doch gar nicht.
Du verwendest hier implizit die Annahme, dass $y$ bei der neutralen Faser beginnt, also $y_n=0$ ist. Es ist nicht falsch, aber mehr kannst Du damit nicht zeigen.
Obwohl - man kann schon noch etwas zeigen:
$$\intop_A(y-y_n)^2dA=\intop_Ay^2dA-2y_n\intop_AydA+y_n^2\intop_AdA=\intop_Ay^2dA-2y_n^2A+y_n^2A=\intop_Ay^2dA-y_n^2A$$Also:
$$\intop_Ay^2dA=\intop_A(y-y_n)^2dA+Ay_n^2$$Das ist der Steinersche Satz, mit dessen Hilfe Du mehrere einfache Querschnitte, deren Daten du kennst, zu einem komplexeren Querschnitt zusammensetzen kannst, was beim Zusammenschweißen von mehreren Querschnitten ja durchaus nützlich ist.
\quoteonAlso deine Rechung ist so einfach, dass da kaum zweifel entstehen. Entweder ich habe einen überlegungsfehler, oder mein Resultat und das richtige Resultat wiedersprechen sich gar nicht.
\quoteoffDito.
\quoteonDer Ingenieur will immer den Spannungsnachweis sehen.
Anders ist der Physiker. Der will den Experimentalnachweis.
\quoteoffEinspruch, Euer Ehren, unzulässige Verallgemeinerung.
\quoteonEin Spannungsnachweis nütz überhaupt nichts wenn die zu Grunde gelegten Annahmen ungenau sind.
Bei einigen Beispielen zu statischen Berechnungen von Schweissverbindungen würde ich gerne einemal das Experiment sehen.
Als Ingenieur würde ich meine Unterschrift nicht unter socherlei Berechnungen schreiben.
\quoteoffMeinst Du wirklich, dass solche Untersuchungen nicht schon längst durchgeführt wurden? Es gibt ganze Institute für Schweißtechnik (TU Clausthal, Braunschweig, Aachen und was weiß ich wo noch), die sich den ganzen Tag mit solchen Dingen befassen.
\quoteonAber für den moment geht es nur darum in Festigkeitsrechnung wieder Sattelfest zu werden.
\quoteoffSehr löblich. Viel Erfolg dabei.
Ciao,
Thomas
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Profil
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sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1964
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-01
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Soll ein kleiner Träger an einen Grossen träger angeschweisst werden wie auf der Zeichnung:
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/27687_Schweissung.png
Natürlich kann man von der Schweissnaht ein axiales Wiederstandsmoment und ein Flächenträgheitsmoment berechnen.
Aber ich stelle mir verschiedene Fragen dazu.
Beispielsweise wird der Vertikale Träger nicht gestaucht. Ich bin da nicht sicher, ob die Schweissnaht auch eine neutrale Phase in der Mitte hat.
überhaupt bin ich mir alles andere als sicher ob man hier die Überlegungen
von Biegebalken einfach so auf die Schweissnaht übertragen kann.
Ich wäre schwer enttäuscht von unserer Ausbildung, wenn wir nicht
noch experimentell ermittelte Werte anschauen würden.
Mit meinem aktuellen Wissensstand würde ich es nicht wagen eine soche Schweissverbindung statisch zu berechnen. Dies obwohl ich die Übungsaufgabe im Buch richtig lösen konnte.
Der Spannungsnachweis basiert meiner Meinung nach einfach auf zu vielen
Annahmen, die mir unvollständig scheinen.
Ich verstehe insbedondere nicht, weshalb man nicht eine genormte Schweissnaht testen kann und dann die Statischen Berechnungen auf diesen
Messergebnisse basieren kann.
Festigkeitsrechnung scheint mir für Schweissverbindungen ungeeignet.
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| sulky hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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