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Analysis » Funktionalanalysis » Sind Niveaumengen von C^1-Funktionen Lebesgue'sche Nullmengen?
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Universität/Hochschule J Sind Niveaumengen von C^1-Funktionen Lebesgue'sche Nullmengen?
Toasten47
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-06


Liebes Forum,

ich bin ein wenig eingerostet, was geometrische Maßtheorie betrifft, und scheitere daher an folgendem vermeintlich simplen Problem:

Sei $f\in C^1(\mathbb R^d)$ für ein $d\in\mathbb N$. Ist $\partial f^{-1}\left(\left\{0\right\}\right)$ eine Nullmenge bzgl. dem Lebesguemaß auf $\mathcal B(\mathbb R^d)$?

Meine Überlegungen gingen dahin, dass ja $N:=\left\{x\in\mathbb R^d:f(x)=0\text{ und }\nabla f(x)\ne0\right\}$ eine $(d-1)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit sein sollte und offenbar $\overline N\subseteq\partial f^{-1}\left(\left\{0\right\}\right)$. Aber das bringt micht nicht weiter.

Ich würde mich sehr über jegliche Anregungen freuen. Dazu sei gesagt, dass ich lediglich mit Begriffen wie "Untermannigfaltigkeit", "Kompaktum mit glattem Rand" oder "Oberflächenmaß" vertraut bin, wohingegen ich mit allg. Mannigfaltigkeiten und Hausdorffmaßen noch keine Berührung hatte.


Liebe Grüße
Toasten



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Toasten,

was ergibt sich für die konstante Funktion \(f\equiv 0\)? was für \(f\equiv 1\)?

Wally
\(\endgroup\)


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Toasten47
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-06


Hallo Wally,

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)2019-05-06 14:26 - Wally in Beitrag No. 1 schreibt:
was ergibt sich für die konstante Funktion \(f\equiv 0\)? was für \(f\equiv 1\)?
\(\endgroup\)

nun, in beiden Fällen ist der Rand die leere Menge. Ein Gegenbeispiel ist das also nicht, falls du darauf hinaus wolltest.

Gruß
Toasten



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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-06


Hallo Toasten47,

siehe hier und hier.

Viele Grüße

doglover



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