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Funktionentheorie » Holomorphie » Folge finden zu Funktion und nicht isolierter Singularität
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Universität/Hochschule J Folge finden zu Funktion und nicht isolierter Singularität
freeclimb
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  Themenstart: 2019-05-06

Guten Abend! Zu später Stunde wurmt mich noch ein Problem. Sei $G\subseteq \mathbb{C}$ offen, $w\in G$ und $f$ eine in $G\setminus \{w\}$ mit Ausnahme isolierter Singularitäten analytische Funktion. Sei vorausgesetzt, dass sich die nicht-hebbaren Singularitäten von $f$ bei $w$ häufen. Zeige, dass es für ejden Wert $a \in \mathbb{C}$ eine Folge $(z_n)$ aus dem Analytizitätsbereich von $f$ gibt, sodass gilt: \[\lim\limits_{n\to \infty} z_n=w \qquad \lim\limits_{n\to\infty}f(z_n)=a\] Mein Ansatz: Wenn ich mir aus der Menge der Häufungspunkte eine Folge von Punkten mit wesentlichen SIngularitäten für $f$ wählen kann, dann wäre ich fertig mit dem Satz von Casorati-Weierstrass. Auf die technische Ausformulierung verzichte ich jetzt, aber hier hätte ich mir die Funktionswerte immer passend gleich $a$ wählen können. Was aber tun, falls es ab einer gewissen Umgebung um $w$ nur noch Polstellen gibt? Meine Vermutung ist, dass der Fall nicht auftreten kann, aber ich kanns auch nicht beweisen. Danke für sachdienliche Hinweise. :)


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freeclimb
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-07

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Nuramon
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  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\) Hallo, leider habe ich nur einen destruktiven Beitrag :-P : \quoteon(2019-05-06 23:08 - freeclimb im Themenstart) Was aber tun, falls es ab einer gewissen Umgebung um w nur noch Polstellen gibt? Meine Vermutung ist, dass der Fall nicht auftreten kann, aber ich kanns auch nicht beweisen. \quoteoff Deine Vermutung ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist $\frac 1{\sin(\frac 1z)}$.\(\endgroup\)


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freeclimb
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-07

Trotzdem Danke! Scheinbar übersehe ich etwas ganz entscheidendes, damit sich das doch noch ausgeht.


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Ex_Senior
  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-07

\quoteon mit Ausnahme isolierter Singularitäten analytische Funktion \quoteoff Das sollte es sein: Zu jeder Singularität findet sich eine kleine Umgebung, s.d. $f$ auf einer punktierten Kreisscheibe holomorph ist.


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Nuramon
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  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\) So dürfte es gehen (angelehnt an den Beweis des Satzes von Weierstraß-Casorati): Sei $S\subset G$ die Menge der Singularitäten von $f$ (es gilt $w\in S$). Angenommen, die Aussage wäre falsch. Dann gäbe es ein $a\in \IC$, eine Umgebung $U\subseteq G$ von $w$ und ein $r>0$ so, dass $|f(z)-a|>r$ für alle $z\in U\setminus S$. Also ist $\frac 1{f(z)-a}$ auf $U\setminus S$ beschränkt. Da die Singularitäten $\not=w$ isoliert sind, lässt sich nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz $\frac 1{f(z)-a}$ zu einer auf $U$ holomorphen Funktion $g$ fortsetzen (zuerst hebt man alle Singularitäten $\not=w$ und dann noch die bei $w$). Da $g$ nicht die Nullfunktion ist, gibt es eine Umgebung $U'\subset U$ von $w$, mit $g(z)\not=0$ für $z\in U'\setminus\{w\}$. Für $z\in U'\setminus S$ gilt dann $f(z)=\frac 1{g(z)}+a$. Da die rechte Seite holomorph auf $U'\setminus\{w\}$ ist, kann $f$ auf $U'\setminus\{w\}$ nur hebbare Singularitäten haben. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass sich die nicht hebbaren Singularitäten bei $w$ häufen. \(\endgroup\)


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freeclimb
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-10

Perfekt danke! Die von dir verwendete Funktion hatte ich nicht am Schirm, so funktionierts tatsächlich. Sehr schön, nochmals Danke!


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freeclimb hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
freeclimb hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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