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Funktionentheorie » Holomorphie » Funktionentheorie: Satz von Casorati-Weierstraß
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Universität/Hochschule J Funktionentheorie: Satz von Casorati-Weierstraß
Neymar
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  Themenstart: 2019-05-12

Hallo alle zusammen, ich habe im Lehrbuch von Freitag, Busam einen Beweis zum Satz gefunden. (Sei $U \subseteq \mathbb{C}$ offen und sei $z_0 \in U$ wesentliche Singularität der holomorhpen Funktion $f: U\backslash \{z_0\} \rightarrow \mathbb{C}$. Man zeigt mittels eines Widerspruchsbeweises, dass $f(z)$ eine Polstelle haben muss. Konkret: 1.) $\exists b \in \mathbb{C}, \epsilon >0$ mit $|f(z) - b| \geq \epsilon$. 2.) Definiere $g(z) := \frac{1}{f(z) - b}$. Diese Funktion ist beschränkt in einer Umgebung von $z_0$. 3.) Aus dem RIEMANN'schen Hebbarkeitssatz folgt, dass $g$ in $z = z_0$ eine hebbare Singularität hat. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Fragen: (i) Warum ist $g$ überhaupt wohldefiniert, wenn $b \in \mathbb{C}$ beliebig? (ii) Warum liefert der Hebbarkeitssatz, dass g in $z_0$ eine hebbare Singularität hat? Die VORAUSSEZTUNG ist doch, dass in $z_0$ eine hebbare Singularität vorliegt. Weiß man das nicht schon aus der Def. von hebbarer Singularität, denn $g$ ist in einer Umgebung $B_\epsilon(\zeta)\backslash \{\zeta\}$ definiert, beschränkt und diff.bar? (Hier gilt dann $\zeta = z_0$.) Gruß Neymar


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-12

\quoteon(2019-05-12 09:18 - Neymar im Themenstart) (i) Warum ist $g$ überhaupt wohldefiniert, wenn $b \in \mathbb{C}$ beliebig? \quoteoff Es ist nicht $b \in \mathbb{C}$ beliebig, sondern es ist $b$ so gewählt, dass $|f(z) - b| \geq \epsilon$ gilt. \quoteon(2019-05-12 09:18 - Neymar im Themenstart) Die VORAUSSEZTUNG ist doch, dass in $z_0$ eine hebbare Singularität vorliegt. \quoteoff Der Satz von Casorati-Weierstraß sagt "wesentliche Singularität $\iff$ Bild jeder Umgebung dicht". Du bist dabei, die $\Rightarrow$-Richtung mit einem Widerspruchsbeweis zu zeigen. Wo soll da die Voraussetzung "hebbare Singularität" für $g$ herkommen?


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Neymar
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-12

\quoteon Der Satz von Casorati-Weierstraß sagt "wesentliche Singularität $\iff$ Bild jeder Umgebung dicht". Du bist dabei, die $\Rightarrow$-Richtung mit einem Widerspruchsbeweis zu zeigen. Wo soll da die Voraussetzung "hebbare Singularität" für $g$ herkommen? \quoteoff $>$ Sorry, da habe ich mich falsch ausgedrückt. Ich meinte die Voraussetzung des Riemann'schen Hebbarkeitssatzes ist es doch, dass in $z_0$ eine hebbare Singularität vorliegt ... Aber mein Missverständnis hat sich mittlerweile geklärt, denn laut Wikipedia gilt: $$\text{Isolierte Singul. ist hebbar} \Leftrightarrow \text{Funktion ist in einer Umgebung beschränkt.}$$ Gruß Neymar


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