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Funktionentheorie » Holomorphie » biholomorph äquivalent
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Universität/Hochschule biholomorph äquivalent
erik92
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  Themenstart: 2019-05-22

Guten Morgen wir haben diesen Montag den Begriff der biholomorphen Abbildung und in diesem Zusammenhang den Begriff biholomorph äquivalent eingeführt. Die Definition bei uns lautet wie folgt: Seien Ω1, Ω2 zwei nichtleere, offene Teilmengen von \IC. Eine Abbildung f : Ω1 → Ω2 heißt biholomorph, falls sie eine holomorphe und bijektive Funktion ist, deren Umkehrabbildung ebenfalls holomorph ist. Gibt es eine biholomorphe Abbildung f : Ω1 → Ω2, so nennen wir Ω1 und Ω2 biholomorph äquivalent. Dazu haben wir natürlich direkt auch eine Aufgabe bekommen bei der ich nicht weiterkomme. a) Zeigen Sie: Sind zwei Gebiete biholomorph äquivalent, so sind entweder beide einfach zusammenhängend oder beide nicht einfach zusammenhängend. b) Zeigen Sie: \IC und \ID sind nicht biholomorph äquivalent. c) Sei f : \ID -> \IC gegeben durch f(z) = 1/(z−1), z ∈ \ID. Zeigen Sie, dass f( \ID ) ein unbeschränktes, zu D biholomorph äquivalentes Gebiet ist. Nun denke ich, dass ich c) kann. Die Unbeschränktheit von f klar ist, da wenn man z beliebig nah an 1 wählt f(z) beliebig groß wird. Das f holomorph ist ist auch klar, da f holomorph auf \IC ohne {1} ist. Zudem bin ich mir auch sicher, dass ich bereits die Umkehrabbildung gefunden habe f(z)=z/(z+1). Diese ist holomorph auf \IC ohne 0 aber da 0 nicht im Bild von f liegt müsste dies kein Problem sein (oder?). Zuletzt bleibt zu zeigen, dass f bijektiv auf f( \ID) abbildet. Die Surjektivität ist hier klar z.z. bleibt also nur die Injektivität, was aber auch klar ist. Mein Problem sind nun aber a) und b). Zunächst weiß ich nicht wie ich a) zeigen soll. Mein Gedanke war, aus den Eigenschaften, dass das Urbild von f einfach zusammenhängend (oder eben nicht) und der Holomorphie und Bijektivität von f zu folgern, dass das selbe auch für das Bild von f gilt. Allerdings weiß ich nicht wie ich dieses sauber formuliere. Reicht es hier auf die Verallgemeinerung des Zwischenwertsatz zu verweisen? Bei b) hatte ich überlegt a) zu benutzen, allerdings glaube ich, dass dies nicht funktioniert. Meine Idee war anzunehmen, dass \IC und \ID biholomorph äquivalent sind und dann zu zeigen, dass eine Menge einfach zusammenhängend ist und die andere nicht. Es sind aber beide einfach zusammenhängend oder? Hat jemand eine Idee für a) und b)? Und ist meine Überlegung für c) richtig?


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo erik, ich bin kein Spezialist in dieser Sache. Vielleicht lässt sich bei a) was mit der Cauchy-Formel machen, wenn man um ein Loch herum $\frac{1}{z-z_0}$ integriert, wobei $z_0$ im "Loch" ist, also eine Kurve, auf der ein Integral ungleich Null ist abgebildet wird auf eine Kurve wo das Integral der holomorphen Funktion Null geben muss, weil die Menge einfach zusammenhängend ist. Bei b) kann man überlegen, ob es beschränkte nicht konstante holomorphe Funktionen gibt. Wally \(\endgroup\)


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erik92
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-23

Hallo Wally, vielen Dank für deine Antwort. Ich hab gestern Abend mit deinen Hinweisen noch einmal die Aufgabe versucht und natürlich kann man b) mit dem Satz von Liouville lösen :-D . Vielen Dank für den Tipp. Leider komme ich bei a) noch nicht weiter. Das Prinzip mit dem Loch kannte ich noch nicht aber ich werde heute Abend noch einmal versuchen weiterzukommen. (Hättest du ansonsten evtl. noch eine Idee?) Vielen Dank nochmal. Erik


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