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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Quadrate der Bahndrehimpuls-Komponenten in Kugelkoord.
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Universität/Hochschule Quadrate der Bahndrehimpuls-Komponenten in Kugelkoord.
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-24


Hallo zusammen!

Meine Aufgabe besteht darin, dass ich die einzelnen Komponenten des Bahndrehimpulses in Kugelkoordinaten berechnen soll, diese sind uns gegeben durch:

\(\hat{L_x} = -i \hbar(- \sin \phi \partial_\theta - \frac{\cos \theta \cos \phi}{\sin \theta} \partial_\phi)\)

\(\hat{L_y} = -i \hbar( \cos \phi \partial_\theta - \frac{\cos \theta \sin \phi}{\sin \theta} \partial_\phi)\)

\(\hat{L_z} = -i \hbar\partial_\phi \)

Da Operatoren im Allgemeinen nicht kommutieren, kann ich hier nicht die Binomische Formel anwenden und erhalte somit für
\(\hat{L_x} ^2 = \hbar(\sin^2\phi \partial^2_\phi + \frac{\cos^2 \theta \cos^2 \phi}{\sin^2 \theta}{\partial_\phi}^2\ + \sin \phi \partial_\theta(\frac{\cos \theta \cos \phi}{\sin \theta}\partial_\phi) + \frac{\cos \theta \cos \phi}{\sin \theta}\partial_\phi (\sin \phi \partial_\theta))\)

(Falls ich hier schon einen Fehler gemacht habe, nehme ich auch gern diese Hinweise an :) )

Mein Problem ist jetzt Folgendes:
Ich bin mir nicht sicher, ob ich die jeweiligen partiellen Ableitungen jetzt einfach auf die trigonometrischen Terme anwenden kann oder ich mir zu jedem Term noch eine Wellenfunktion hinzudenken muss und somit eine Produktregel bei den letzteren beiden habe, also
\(\hat{L_x} ^2 \Psi = \hbar(\sin^2\phi \partial^2_\phi \Psi + \frac{\cos^2 \theta \cos^2 \phi}{\sin^2 \theta}{\partial_\phi}^2\ \Psi + \sin \phi \partial_\theta(\frac{\cos \theta \cos \phi}{\sin \theta}\partial_\phi\Psi) + \frac{\cos \theta \cos \phi}{\sin \theta}\partial_\phi (\sin \phi \partial_\theta\Psi))\) mit \(\Psi = \Psi(r,\theta,\phi)\)

Mir ist nämlich so, als ob das mal irgendwer zu mir gesagt hatte, man müsse das immer beachten.

Vielen Dank schon mal für die Hilfe :)


p.s. \(\hat{L_z}^2 = \hbar^2 {\partial_\phi}^2\) müsste ja auch korrekt sein, oder?



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