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Analysis » Funktionalanalysis » Funktionalanalysis: Zeigen, dass Kern linearer abgeschlossener Teilraum ist
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Autor
Universität/Hochschule J Funktionalanalysis: Zeigen, dass Kern linearer abgeschlossener Teilraum ist
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-24


Hallo alle zusammen,

da ich eben gerade Lust hatte, etwas zu texen, schicke ich meine Frage als Bild:


Was meint ihr zu meinem letzten Satz?

Gruß
Neymar



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-24


Das läuft in beiden Fällen auf dasselbe Argument hinaus. Also kein echter Unterschied. Ein Hinweis: Was weißt Du denn so schönes über Urbilder von Mengen unter einer stetigen Abbildung, d.h. $f:X\to Y$ stetig, $V\subset Y$. Welche Eigenschaften werden dann von $V$ auf $f^{-1}(V)$ übertragen?



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-24


Hallo TomTom,

danke dir für deine Nachricht.

Urbilder offener Mengen sind unter stetigen Abbildungen offen. Aber was bringt mir das hier? Ich habe doch keine offene Menge geben, oder?

Anyway, sei $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine CF (Cauchy-Folge) in $\text{ker} \ T$, i.e. $\forall n \in \mathbb{N}$ gilt: $Tx_n = 0$. zu zeigen: $\exists x := \lim_{n \to \infty} x_n \in \text{ker} \ T$. So, es gilt:
$$Tx_n = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} Tx_n = T \ \lim_{n \to \infty} x_n = 0$$





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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-24


Das läuft in beiden Fällen auf dasselbe Argument hinaus.
Hier muß ich mich korrigieren. X ist nicht als vollständig vorrausgesetzt. Daher ist der Kern nicht zwingend vollständig.

... sei $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine CF (Cauchy-Folge) ...
Daher sollte hier statt CF eine konvergente Folge stehen, wobei Du dann über den Grenzwert noch nichts genaues weißt. Die Rechnung bleibt in etwa gleich.

Urbilder offener Mengen sind unter stetigen Abbildungen offen.
Dazu gibt es ein entsprechende Aussage für abgeschlossene Mengen.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25


Ich habe mal in ein altes Skript nachgeschaut:

Für eine Abbildung $F: X \rightarrow Y$ zwischen metrischen Räumen sind äquivalent:

(i) $F$ ist stetig.
(i) Urbilder $F^{-1}(A)$ aller abgeschlossenen Mengen $A$ sind abgeschlossen.

Da eine Norm eine Metrik festlegt, denke ich, dass ich diesen Satz hier anwenden darf. Damit muss ich eine abgeschlossene Menge $A$ so finden, dass $T^{-1}(A) = \text{ker} \ T$. Dies gilt, falls $A = \{0\}$. Nun ist nur die Frage, ob $A$ abgeschlossen ist. Da $A(\{0\}) \subseteq X$ keine Berührungspunkte enthält (abgesehen von $0$), ist diese Menge abgeschlossen.

Damit bin ich doch fertig, oder? :-)



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-25



Für eine Abbildung $F: X \rightarrow Y$ zwischen metrischen Räumen sind äquivalent:

(i) $F$ ist stetig.
(ii) Urbilder $F^{-1}(A)$ aller abgeschlossenen Mengen $A$ sind abgeschlossen.
Das gilt sogar allgemein für topologische Räume, d.h. für alle stetigen Abbildungen - immer wieder nützlich.

$A = \{0\}$
Metrische Räume haben die Hausdorff-Eigenschaft. Daher ist ein einzelner Punkt eine abgeschlossene Menge. Deine Begründung stimmt auch.

Damit bin ich doch fertig, oder? smile
Ja!  cool



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25


Danke dir, TomTom!



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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