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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Matrix partiell ableiten nach mehreren Variablen
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Universität/Hochschule Matrix partiell ableiten nach mehreren Variablen
Jojo4037
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-24 20:13


Hallo zusammen,

ich bin neu hier in diesem Forum und freue mich sehr da sein zu dürfen :)
Aber nun zu meiner Frage, bei der ich gerade etwas auf dem Schlauch zu stehen scheine.

Ich versuche gerade eine Differentialgleichung zweiter Ordnung numerisch zu lösen und hänge hier an einer Stelle ziemlich fest. Die DGL ist das Ergebnis der Anwendung des Lagrange Formalismus auf ein mechanisches System. Das Ergebnis ist folgende Gleichung:

\(M_{gb}\cdot\ddot{q} + \dot{M_{gb}}\cdot\dot{q} - \frac{1}{2}\dot{q}^T\cdot\frac{\partial M_{gb}}{\partial q}\cdot\dot{q} = F_b\)

Dabei ist \(M_{gb}\) eine 6X6-Matrix und q ein [6X1] Vektor mit den sechs zeitabhängigen Zustandsgrößen \(q = [X(t), Y(t), Z(t), Phi(t), Theta(t), Psi(t)]^T\).

Mein Problem ist jetzt die Bestimmung der Ableitungen von \(M_{gb}\). Besonders die Bestimmung der partiellen Ableitung \(\frac{\partial M_{gb}}{\partial q}\).
Unzwar ist meine Frage hierbei, wie ich zum einen diese partielle Ableitung der Matrix \(M_{gb}\) konkret bestimme und zum anderen, was für Dimensionen dann dabei rauskommen. Also die partielle Ableitung von \(M_{gb}\) nach einer Variablen von q (zum Beispiel X) kann ich natürlich bestimmen, aber wie setze ich am Ende die einzelnen partiellen Ableitungen von \(M_{gb}\) nach den Elementen von q zu einer Matrix \(\frac{\partial M_{gb}}{\partial q}\) zusammen? Denn damit ich \(\frac{\partial M_{gb}}{\partial q}\) oben in die Gleichung einsetzen kann, muss diese ja eigentlich auch wieder eine [6X6]-Matrix sein.

Ich hoffe mein Problem ist einigermaßen klar geworden und jemand kann für ein wenig Erkenntisgewinn bei sorgen. Bin für jede Hilfe und jeden Ansatz dankbar.


Lg




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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-24 21:10


2019-05-24 20:13 - Jojo4037 im Themenstart schreibt:
Denn damit ich \(\frac{\partial M_{gb}}{\partial q}\) oben in die Gleichung einsetzen kann, muss diese ja eigentlich auch wieder eine [6X6]-Matrix sein.

Das ist ein $6\times6\times6$-Tensor dritter Stufe. Mit sowas möchte man nicht freiwillig rechnen. Also schreib das Ganze lieber in Komponenten hin, dann ist dein Problem nicht mehr da.



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Jojo4037
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-24 23:06


Hey zippy,

vielen Dank für deine Antwort! Tut mir leid, aber ich frage nochmal einfach. Bist du sicher, dass dabei ein 6X6X6 Tensor rauskommt? Ich bin eigentlich immer noch der Meinung, damit das oben in der Gleichung eingesetzt werden kann, die partielle Ableitung von \(M_{gib}\) nach q eine 6X6-Matrix ergeben muss. Wie genau würde sich denn der Tensor zusammenbauen?

Was genau meinst du damit das ganze in Komponenten zu schreiben?

Lg



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-25 00:21


2019-05-24 23:06 - Jojo4037 in Beitrag No. 2 schreibt:
Bist du sicher, dass dabei ein 6X6X6 Tensor rauskommt?

Das kannst du doch leicht abzählen: Du brauchst einen Index für das linke $\dot q$, einen für das rechte $\dot q$ und einer muss frei bleiben, weil als Ergebnis ja ein Vektor herauskommt. Also brauchst du insgesamt 3 Indizes.

2019-05-24 23:06 - Jojo4037 in Beitrag No. 2 schreibt:
Was genau meinst du damit das ganze in Komponenten zu schreiben?

Ich kann ja nur raten, wie die Gleichung eigentlich zu lesen ist, weil nicht klar ist, ob $g$ und $b$ an deinem $M_{gb}$ schon als Indizes zu lesen sind (dann wäre $M_{gb}$ eine Zahl) oder nicht (dann wäre $M_{gb}$, wie du schreibst, eine Matrix). Unter der Annahme, dass ersteres zutrifft, würde die Gleichung konsequent mit Indizes geschrieben möglicherweise so lauten:$$
\sum_{i=1}^6M_{ki}\,\ddot q_i +
\sum_{i=1}^6\dot M_{ki}\,\dot q_i -
\frac12\sum_{i,j=1}^6\dot q_i\,\frac{\partial M_{ij}}{\partial q_k}\,\dot q_j =
F_k$$Klar zu erkennen ist, dass die Ableitung der Matrix $M$ nach dem Vektor $q$ eine Gebilde mit drei Indizes ($i$, $j$ und $k$) ist.



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Jojo4037
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 10:35


Nein, g und b sind keine Indizes, sondern M_gb ist eine Matrix, in der jedes Element eine Funktion von Variablen von q sein kann. M_gb könnte auch einfach M heißen. Das heißt, jedes Element von M_gb nach q abgeleitet würde also einen [6X1]-Vektor ergeben und zusammengesetzt entstünde so ein [6X6X6]-Tensor, meinst du das so? Allerdings habe ich immer noch ein Problem damit, wie das ganze oben in die Gleichung passt. Denn das Ergebnis muss ja wieder ein [6X1]-Vektor sein, wie du völlig richtig gesagt hast.

Ich glaube auch gestern war hier noch eine weitere Antwort auf die Frage, die ich recht hilfreich fand und leider nur kurz überflogen hatte. Ist wohl leider wieder zurückgenommen wurden.

Nochmal danke zippy, für deine Hilfe!



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-25 11:02


2019-05-25 10:35 - Jojo4037 in Beitrag No. 4 schreibt:
Allerdings habe ich immer noch ein Problem damit, wie das ganze oben in die Gleichung passt.

Kannst du dein Problem auch in Worte fassen?



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Jojo4037
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 11:21


Natürlich...

Unzwar ganz einfach: Das Ergebnis der Gleichung oben \(F_b\) ist ein [6X1]-Vektor. Schaue ich mir nun die einzelnen Summanden der Gleichung an, Stelle ich fest:

\(M_{gb}\cdot\ddot{q}\) entspricht [6X6] X [6X1] ergibt [6X1] ==> passt

\(\dot{M_{gb}}\cdot\dot{q}\) entspricht [6X6] X [6X1] ergibt [6X1] ==> passt

\(\frac{1}{2}\cdot\dot{q}^T\cdot\frac{\partial M_{gb}}{\partial q}\cdot\dot{q}\) entspricht [1X6] X [6X6X6]? X [6X1] ergibt [???]

Daher auch meine anfängliche Vermutung, dass \(\frac{\partial M_{gb}}{\partial q}\) eigentlich auch wieder eine [6X6]-Matrix ergeben müsste.


Also damit das Gleichungssystem oben gelöst werden kann müssen doch die Dimesionen der Matrizen auch zueinander passen, oder wo liegt mein Denkfehler?





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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-25 11:33


2019-05-25 11:21 - Jojo4037 in Beitrag No. 6 schreibt:
\(\frac{1}{2}\cdot\dot{q}^T\cdot\frac{\partial M_{gb}}{\partial q}\cdot\dot{q}\) entspricht [1X6] X [6X6X6]? X [6X1] ergibt [???]

Also damit das Gleichungssystem oben gelöst werden kann müssen doch die Dimesionen der Matrizen auch zueinander passen, oder wo liegt mein Denkfehler?

Sie passen ja auch: Den $6\times6\times6$-Tensor in der Mitte kannst du dir als eine $6\times6$-Matrix vorstellen, deren Elemente keine Zahlen sondern Vektoren (bzw. $6\times1$-Matrizen) sind.

Du merkst aber, dass das ungewohnte und auch unübliche Überlegungen sind. Daher mein Rat, zur Komponentenschreibweise zu wechseln, wo diese Probleme einfach nicht mehr auftreten.



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Jojo4037
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 11:43


Ok, super danke. Dann schaue ich mal, wie ich das am besten angehe, aber deine Infors haben mir auf jeden Fall schon mal ein besseres Verständnis gegeben als ich vorher hatte. Danke nochmal wink



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