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Mathematik » Analysis » The Projection Theorem - Questions concerning proof
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Universität/Hochschule The Projection Theorem - Questions concerning proof
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-25 12:10


Hello altogether,

I was just going through "Functional Analysis"  by M. Reed and B. Simon when I found the following interesting proof of the $projection$ $theorem$:

"Let $\mathcal{H}$ be a Hilbert space, $\mathcal{M}$ a closed subspace. Then every $x \in \mathcal{H}$ can be uniquely written $x = z+w$ where $z \in M$ and $w \in M^{\perp}$.

$Proof.$ Let $x$ be in $\mathcal{H}$. Then by the lemma there is a unique element $z \in \mathcal{M}$ closest to $x$. Define $w = x-z$, then we clearly have $x = z + w$. Let $y \in \mathcal{M}$ and $t\in \mathbb{R}.$ If $d = ||x-z||$, then $d^2 \leq ||x-(z+ty)||^2 = ||w-ty||^2 = d^2 - 2t \text{Re}(w, y) + t^2||y|^2$. [...]"

(i) $>$ Okay, I am afraid that I have not understood the notation $\text{Re}(w,y)$ yet and where it suddenly comes from. What is $\text{Re}(w,y)$ anyway?
The real part of $two$ complex numbers? (I do not think so, however, since $\mathcal{H}$ could for instance equally be the Hilbert space $\ell^2$.) And: Why does the last equality hold? I tried it with the parellelogram law, but failed to prove it.


Kind regards,
Neymar



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-25 12:19


2019-05-25 12:10 - Neymar im Themenstart schreibt:
(i) $>$ Okay, I am afraid that I have not understood the notation $\text{Re}(w,y)$ yet and where it suddenly comes from. What is $\text{Re}(w,y)$ anyway?

Das ist der Realteil von $(w,y)$. Und $(w,y)$ ist das Skalarprodukt von $w$ und $y$.

2019-05-25 12:10 - Neymar im Themenstart schreibt:
And: Why does the last equality hold?

$\|a+b\|^2=(a+b,a+b)=\|a\|^2+(a,b)+(b,a)+\|b\|^2=\|a\|^2+2\operatorname{Re}(a,b)+\|b\|^2$.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 13:22


Yeah, now I see it as well!

Okay, continuing the proof:

"Thus, $-2t \ \text{Re}(w,y) + t^2 ||y||^2 \geq 0$ for all $t$, which implies $\text{Re}(w,y) = 0$. [...]"

$>$ Okay, I fail to understand the implication. (It is obvious that $-2t \text{Re}(w,y) + t^2||y||^2 \geq 0$.) Would you show me how to obtain the implication? (I am actually surprised that the equality hold for $t = 0$ as well.)
 




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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-25 13:34


2019-05-25 13:22 - Neymar in Beitrag No. 2 schreibt:
It is obvious that $-2t \text{Re}(w,y) + t^2||y||^2 \geq 0$.

Das ist keineswegs offensichtlich, denn es gilt eben nur für $\operatorname{Re}(w,y)=0$.

(Wenn du das nicht siehst: Erinnere dich an die Kurvendiskussion in der Schule.)



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 15:58


Trivial ist Folgendes:

$d^2 \leq d^2 - 2t \text{Re}(w, y) + t^2||y|^2 \Leftrightarrow 0 \leq - 2t \text{Re}(w, y) + t^2||y|^2$

Das meinte ich mit ,,offensichtlich". Ich verstehe aber nicht, wie aus der letzten Ungleichung $Re(w,t) = 0$ folgt. Warum kann z.B. nicht $\text{Re}(w,y) = -7$ sein und $t = 1$: $-2 \dot (-7) + t^2 ||y||^2 \geq 0$, aufgrund der Nicht-Negativität der Norm und $t^2 \geq 0$ für alle $t \in \mathbb{R}$.
Ich kann mir aber einen Fehler erst einmal kaum vorstellen.

Dein Hinweis ist mir noch nicht klar. Wo suche ich hier ein Minimum, Maximum, Sattelpunkt, o.Ä.?


Gruß




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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-25 17:08


2019-05-25 15:58 - Neymar in Beitrag No. 4 schreibt:
Dein Hinweis ist mir noch nicht klar.

$t\mapsto-2t\operatorname{Re}(w,y)+t^2\|y\|^2$ ist eine quadratische Funktion. Jetzt kannst du dich fragen: Für welche Werte des Parameters $\operatorname{Re}(w,y)$ wird diese Funktion nie negativ?



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 22:29


(i) Jop, ich habe es (ohne Kurvendiskussion).

Es ist bekannt: $0 \leq - 2t \text{Re}(w, y) + t^2||y|^2 \quad \mathbf{\forall t \in \mathbb{R}} \quad (\star)$.

$||y||^2 \geq 0 \ \forall y$, meine folgende Argumentation sollte auch für $y = 0$ funktionieren.

Sei $\text{Re}(w,y) < 0$. Dann ist $\forall t \in \mathbb{R}_{<0}$ die Gleichung $(\star)$ verletzt. Widerspruch.  

Sei $\text{Re}(w,y) > 0$. Dann ist $\forall t \in \mathbb{R}_{>0}$ die Gleichung $(\star)$ verletzt. Widerspruch.  

Ergo kann nur $\text{Re}(w,y) = 0$ gelten.



   




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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-25 22:45


2019-05-25 22:29 - Neymar in Beitrag No. 6 schreibt:
Sei $\text{Re}(w,y) < 0$. Dann ist $\forall t \in \mathbb{R}_{<0}$ die Gleichung $(\star)$ verletzt. Widerspruch.  

Sei $\text{Re}(w,y) > 0$. Dann ist $\forall t \in \mathbb{R}_{>0}$ die Gleichung $(\star)$ verletzt. Widerspruch.  

Das "$\forall t$" ist in beiden Fällen falsch.

Um nachmal an die Schulzeit zu erinnern: Du hast es wegen $\|y\|^2>0$ mit einer nach oben geöffneten Parabel zu tun. Die kann nicht für alle positiven oder für alle negativen $t$ negativ sein.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26 20:10


Eine Frage bleibt mir noch: Warum gilt $U \cap U^{\bot} = \{0\}$? Also ich dachte erst einmal: Zeige erst einmal $U \cap U^{\bot} \subseteq \{0\}$ und dann $\{0\} \cap \subseteq U \cap U^{\bot}$. Also die letzte Relation ist einfach, bei ersten bin ich mir nicht ganz sicher, wie man da argumentieren kann.

Hättest du sonst einen Hinweis für mich?





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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-26 20:37


2019-05-26 20:10 - Neymar in Beitrag No. 8 schreibt:
Warum gilt $U \cap U^{\bot} = \{0\}$?

Für $x\in U\cap U^\perp$ gilt aufgrund der Definition des orthogonalen Komplements $(x,x)=\|x\|^2=0$.



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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