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Analysis » Funktionalanalysis » Operatornorm bestimmen
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Universität/Hochschule J Operatornorm bestimmen
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-28


Hallo alle zusammen.

Gegeben sei der lineare Operator $$a: L^2(\mathbb{R})  \rightarrow L^2(\mathbb{R}), \quad af = \chi_{[0,1]} \cdot f,$$ wobei $\chi_{[0,1]}$ die charakeristische Funktion auf dem Intervall $[0,1]$ sei.

zu zeigen: $a$ ist  stetig.

Um dies zu zeigen, möchte ich die Operatornorm berechnen. die Lösung geht dabei folgendermaßen vor: $$||af||^2 \leq ||f||^2$$. Okay, heißt das dann, dass die Operatornorm $||a||_{\mathcal{L}} = \sup_{f \ne 0}\{ \frac{||af||}{||f||}  \} = 1$ oder $\leq 1$? (Dies ist natürlich irrelevant, da $$||a||_{\mathcal{L}} < \infty$$, aber dennoch frage ich aus Interesse.


Gruß
Neymar



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Hallo Neymar,

die Ungleichung heißt zunächst nur, dass $\Vert a\Vert_\mathcal L\leq1$. Wenn es ein $f$ gibt, sodass in deiner Ungleichung Gleichheit herrscht, dann ist die Operatornorm gleich 1. $f=\chi_{[0,1]}$ wäre eine solche Funktion.

Viele Grüße, Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-29


Danke dir, ich denke, es ergibt Sinn.

Gruß
Neymar



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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