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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Koprodukt abelscher Gruppe/Polynomalgebra
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Universität/Hochschule Koprodukt abelscher Gruppe/Polynomalgebra
Kaazul
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  Themenstart: 2019-06-03

Hi, Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe (bzw. auch mit der zugrundeliegenden Kathegorientheorie): Sei Ab die Klasse aller abelschen Gruppen G=(G,+0,-) Beschreiben Sie möglichst explizit das Koprodukt einer abelschen Gruppe G mit der von einem Element frei erzeugten abelschen Gruppe, also die Polynomalgebra G[x] in Ab Sei X eine beliebige Menge von Variablen. Beschreiben Sie die Polynomalalgebra G[X]. Ich weiß, dass in abelschen Gruppen das Koprodukt der direkten Summe entspricht. Ich weiß aber leider gar nicht wie diese Polynomalgebra G[x] ausschauen soll (auch was dann der Unterschied zu G[X] ist). Für Erklärungshinweise wäre ich extrem dankbar!


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ligning
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-03

\quoteon(2019-06-03 12:23 - Kaazul im Themenstart) Ich weiß, dass in abelschen Gruppen das Koprodukt der direkten Summe entspricht. \quoteoff Gut, dann weißt du eigentlich schon alles was man hier braucht. \quoteon Ich weiß aber leider gar nicht wie diese Polynomalgebra G[x] ausschauen soll (auch was dann der Unterschied zu G[X] ist). \quoteoff $x$ soll hier wohl der Erzeuger des einen Operanden sein. Hätte man in der Aufgabe eigentlich erwähnen sollen. $G[x]$ ist dann einfach eine Bezeichnung für das gesuchte Koprodukt $G\oplus\langle x \rangle$ (und ich denke, dass einem dann auch klar wird, woher die Analogie zu Polynomen kommt.) bei näherer Betrachtung bin ich mir mit der Analogie nicht mehr so sicher, aber so stehts in der Aufgabenstellung ... Bei $G[X]$ ist $X$ eine Menge und ich denke, dass dir da auch eher die Erleuchtung kommt, wenn du den Fall mit einem Element bearbeitet hast.


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Kaazul
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-03

Danke für die Antwort! Die freie Abelsche Gruppe F(x) die von einem Element erzeugt wird entspricht ja $\mathbb{Z}$. Da das Koprodukt abelscher Gruppen die direkte Summe ist folgt, dass das Koprodukt einer abelschen Gruppe mit der frei erzeugten abelschen Gruppe ist $G \oplus \mathbb{Z} = G \times \mathbb{Z}$. Stimmt so, oder?


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-09

Vielleicht liest du das ja noch ;). Ja, das ist richtig. Die Bezeichnung "Polynomalgebra" ist etwas seltsam, weil es weder eine Algebra ist, noch die Elemente aus Polynomen bestehen. Aber wenn man möchte, kann man die Elemente hier als lineare Polynome sehen, wenn man sie als $a_0 + a_1 \cdot X$ schreibt mit $a_0 \in \IZ$ und $a_1 \in G$.


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