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| Autor |
 Koprodukt abelscher Gruppe/Polynomalgebra |
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Kaazul
Junior 
Dabei seit: 03.06.2019
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2019-06-03
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Hi,
Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe (bzw. auch mit der zugrundeliegenden Kathegorientheorie):
Sei Ab die Klasse aller abelschen Gruppen G=(G,+0,-)
Beschreiben Sie möglichst explizit das Koprodukt einer abelschen Gruppe G mit der von einem Element frei erzeugten abelschen Gruppe, also die Polynomalgebra G[x] in Ab
Sei X eine beliebige Menge von Variablen. Beschreiben Sie die Polynomalalgebra G[X].
Ich weiß, dass in abelschen Gruppen das Koprodukt der direkten Summe entspricht. Ich weiß aber leider gar nicht wie diese Polynomalgebra G[x] ausschauen soll (auch was dann der Unterschied zu G[X] ist). Für Erklärungshinweise wäre ich extrem dankbar!
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ligning
Senior 
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3519
Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-03
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\quoteon(2019-06-03 12:23 - Kaazul im Themenstart)
Ich weiß, dass in abelschen Gruppen das Koprodukt der direkten Summe entspricht.
\quoteoff
Gut, dann weißt du eigentlich schon alles was man hier braucht.
\quoteon
Ich weiß aber leider gar nicht wie diese Polynomalgebra G[x] ausschauen soll (auch was dann der Unterschied zu G[X] ist).
\quoteoff
$x$ soll hier wohl der Erzeuger des einen Operanden sein. Hätte man in der Aufgabe eigentlich erwähnen sollen. $G[x]$ ist dann einfach eine Bezeichnung für das gesuchte Koprodukt $G\oplus\langle x \rangle$ (und ich denke, dass einem dann auch klar wird, woher die Analogie zu Polynomen kommt.) bei näherer Betrachtung bin ich mir mit der Analogie nicht mehr so sicher, aber so stehts in der Aufgabenstellung ...
Bei $G[X]$ ist $X$ eine Menge und ich denke, dass dir da auch eher die Erleuchtung kommt, wenn du den Fall mit einem Element bearbeitet hast.
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Kaazul
Junior
Dabei seit: 03.06.2019
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-03
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Danke für die Antwort!
Die freie Abelsche Gruppe F(x) die von einem Element erzeugt wird entspricht ja $\mathbb{Z}$. Da das Koprodukt abelscher Gruppen die direkte Summe ist folgt, dass das Koprodukt einer abelschen Gruppe mit der frei erzeugten abelschen Gruppe ist $G \oplus \mathbb{Z} = G \times \mathbb{Z}$.
Stimmt so, oder?
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6469
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-09
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Vielleicht liest du das ja noch ;). Ja, das ist richtig. Die Bezeichnung "Polynomalgebra" ist etwas seltsam, weil es weder eine Algebra ist, noch die Elemente aus Polynomen bestehen. Aber wenn man möchte, kann man die Elemente hier als lineare Polynome sehen, wenn man sie als $a_0 + a_1 \cdot X$ schreibt mit $a_0 \in \IZ$ und $a_1 \in G$.
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