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Universität/Hochschule L^2-Raum: Existenz eines Integrals zeigen
Neymar
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  Themenstart: 2019-06-05

Hallo alle zusammen. VOR: Voraussetzungen VOR: $U \subseteq\mathbb{R}^n$ kompakt; $k \in L^2(U \times U)$, i.e. $k: U \times U \rightarrow \left( \mathbb{C} \cup \{\infty\} \right) \times \left( \mathbb{C} \cup \{\infty\}\right)$ ist quadrat-integrierbar; $f \in L^2(U)$ BEH: Für fast alle $x \in U$ existiert $(Kf)(x) := \int_{U} k(x,y)f(y)dy \in \mathbb{C}$ und hierduch wird ein Element $Kf \in L^2(U)$ definiert. ANS: Also ich habe mal ins Skript vom letzten Semester geschaut und der Satz von Fubini hört sich hier gut an; also wenn ich weiß, dass $k(x,y) \cdot f(y)$ über $U$ integrierbar ist, dann bin ich fertig. Da $f$ quadrat-integrierbar ist, ist $f$ auch integrierbar und genauso für $k$. (i) Ist das Produkt zweier integrierbarer Funktionen über einem kompakten Intervall wieder integrierbar? Falls ja, könnt ihr mir sagen, wo ich den Beweis finde (z.B. einen Link oder so). (ii) Ich verstehe noch nicht ganz die Behauptung $Kf \in L^2(U)$. Ist $Kf$ ist nicht ein Element des Dualraumes, da $Kf: L^2(U) \rightarrow \mathbb{C}$, oder nicht? Gruß Neymar


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doglover
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-05

Hallo Neymar, zu (i): Nein das gilt i.A. nicht. Betrachte z.B. $f(x):=\frac{1}{\sqrt{x}}$ auf $[0,1]$. So ist $f$ auf $[0,1]$ integrierbar, aber $f^2(x)=\frac{1}{x}$ ist es nicht. Zu (ii): Für ein festgewähltes $f\in L^2(U)$ ist $Kf$ eine Funktion von $U$ nach $\mathbb{C}\cup \{\infty\}$, die jedem $x\in U$ den Wert $\int_U k(x,y)f(y)dy$ zuordnet. Hinweis zur Lösung: Cauchy-Schwarz Ungleichung Viele Grüße doglover


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Neymar
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-06

Hallo doglover. (i) Dein Gegenbeispiel ist ja auch ein schönes Beispiel dafür, dass nicht jede integrierbare-Funktion quadrat-integrierbar ist. (ii) Die CSU (Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung) lautet ja: $|(\phi, \psi)| \leq (\phi, \phi)^{\frac{1}{2}} \cdot (\psi, \psi)^{\frac{1}{2}} \qquad \forall \phi, \psi \in B$, wobei $X$ ein linearer Raum über $\mathbb{K}$ sei. Wenn wir nun sagen, dass $Kf: U \rightarrow \mathbb{C} \cup \{\infty\}, Kf(x) := \int_{U} k(x,y) \cdot f(y)dy$, dann betrachten wir doch hier vermutlich $X = \mathbb{C}$ mit einem Skalarprodukt $(a, b)_{\mathbb{C}} = a \cdot \overline{b}$. Ist es das, worauf du hinauswolltest? :-) Falls ja, dann: $\left(Kf(x), Kf(z)\right) = \left( \int_{U} k(x,y) \cdot f(y)dy, \int_{U} k(z,y) \cdot f(y)dy \right) = \left(\int_{U} k(x,y) \cdot f(y)dy\right) \cdot \overline{\left(\int_{U} k(z,y) \cdot f(y)dy\right)}$ (iii) Es könnte natürlich auch sein, dass du mit CSU gemeint hast, $\left(\int_{U} k(x,y) \cdot f(y)dy\right) = \left(\int_{U} \overline{k(x,y)} \cdot f(y)dy\right)$ als Skalarprodukt $(\phi, \psi)$ zu identifizieren. Das Problem, dass ich sehe, ist, dass $\phi, \psi$ aus demselben Raum $X$ stammen müssen, was aber bei $k$ und $f$ nicht der Fall ist, da $k \in L^2(U \times U)$ und $f \in L^2(U)$. Über eine Klarstellung würde ich mich sehr freuen. :-) Beste Grüße


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doglover
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-06

Hallo Neymar, für ein festgehaltenes $x\in U$, kann man sich die Funktion $k_x:U\rightarrow \mathbb{C}\cup \{\infty\}, y\mapsto k(x,y)$ anschauen und die Cauchy-Schwarz Ungleichung auf $k_x\in L^2(U)$ und $f\in L^2(U)$ anwenden und damit $Kf(x)$ geeignet nach oben abschätzen, um die $L^2$-Norm von $Kf(x)$ zu kontrollieren. Viele Grüße doglover


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Neymar
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-07

Hallo doglover. Vielen Dank für deinen Hinweis. Ich erhalte also: $|(k_x, f)| = \left| \int_{U} \overline{k(x,y)} \cdot f(y)dy \right| < \infty$, mit CSU. Damit weiß ich ja per se nur, dass $\left| \int_{U} \overline{k(x,y)} \cdot f(y)dy \right|$ wohldefiniert ist. Woher weiß ich dann aber, dass auch $\int_{U} k(x,y) \cdot f(y)dy$ wohldefiniert ist. Da weiß ich nicht wirklich, wie ich ranzugehen habe. Was meinst du? Gruß Neymar


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Neymar
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-07

Ich hätte noch eine Frage. Und zwar: Irgendwo habe ich die Abschätzung gesehen, dass $$||Kf||^2_{L^2} = \int_{U}|Kf(x)|^2dx = \int_{U}\left|\int_{U} k_x(y)f(y)dy \right|^2dx \leq \int_{U} ||k_x||^2_{L^2} ||f||_{L^2}^2dx.$$ Also warum gilt die Abschätzung mit $\leq$? Es gilt ja: $\int_{U}||k_x||_{L^2}^2 ||f||_{L^2}^2dx = \int_{U} \left( \int_{U}|k_x(y)|^2 dy\right) \cdot \left( \int_{U}|f(y)|^2dy \right)dx$ Ich kann doch nicht einfach die beiden Integrale zusammenziehen, wie es hier vorgeschlagen wird, oder? (Selbst wenn: Warum dürfte ich das? Fubini dürfte nicht die Rechtfertigung sein, soweit ich es sehe.) Gruß Neymar


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Anaconda
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  Beitrag No.6, eingetragen 2019-06-07

Hallo Neymar, das folgt aus der Cauchy Schwarz Ungleichung.


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doglover
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  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-08

Hallo Neymar, du hast Recht, dass man die CS-Ungleichung nicht direkt anwenden kann, aber du kannst in einem ersten Zwischenschritt $|Kf(x)|$ nach oben abschätzen indem du den Betrag ins Integral ziehst. Danach kann man Cauchy-Schwarz verwenden. Viele Grüße doglover


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Neymar
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-08

Hi doglover, würdest du mir das sonst zeigen und ich stelle dir dann Fragen, wo ich etwas nicht verstehe? Ich glaube, dass es sonst sehr zäh vorangeht, weil ich jetzt schon eine Frage zu deinem letzten Post habe. :-) Ich würde aber lieber meine Fragen gebündelt stellen. Gruß Neymar


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Anaconda
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  Beitrag No.9, eingetragen 2019-06-08

Hallo Neymar, es ist wirklich nur die Dreiecksungleichung für Integrale und die Cauchy Schwarz Ungleichung. Du solltest das wirklich versuchen nachzuvollziehen. Das sind absolute Grundlagen, nicht nur in FunkAna. Wo genau hakt es denn?


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doglover
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  Beitrag No.10, eingetragen 2019-06-09

Hallo Neymar, wie Anaconda sagte, ist das richtige Stichwort hier 'Dreiecksungleichung für Integrale'. Man muss hier aber auch aufpassen, da a priori nicht klar ist, dass $k_x\in L^2(U)$ ist, nur weil $k(\cdot,\cdot)\in L^2(U\times U)$ liegt. Das muss man auch erst begründen. Schau da auch nochmal in den Satz von Fubini-Tonelli rein. Viele Grüße doglover


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Neymar
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-10

Okay, und genau das verstehe ich nicht. Aus dem Skript vom letzten Semester: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50990_3_1.JPG Aber warum sollte die Funktion im Integranden, die das Produkt zweier $L^2$-Funktionen ist, integrierbar sein?


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doglover
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  Beitrag No.12, eingetragen 2019-06-10

Hallo Neymar, irgendwo in eurem Skript sollte auch stehen, dass aus der Integrierbarkeit von $|f|$ die Integrierbarkeit von $f$ folgt. Das heißt es reicht sich zu überlegen, dass $|k_x(y)f(y)|=|k_x(y)||f(y)|$ integrierbar ist. Dann folgt die Integrierbarkeit von $k_x(y)f(y)$ und die Dreiecksungleichung ist anwendbar. Die Integrierbarkeit folgt hier aber z.B. nach der (reellen) Cauchy-Schwarz Ungleichung (das Produkt zweier $L^2(U,\mathbb{R})$ Funktionen ist integrierbar). Hierbei betrachten wir $|k_x(\cdot)|,|f(\cdot)|\in L^2(U,\mathbb{R})$. Vermutlich hattet ihr aber auch irgendwo eine analoge Formulierung für komplexe Integrale, also dass das Produkt zweier Funktionen aus $L^2(U,\mathbb{C})$ eine $L^1(U,\mathbb{C})$ Funktion definiert. Viele Grüße doglover


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