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Mathematik » Kombinatorik & Graphentheorie » 16 auf einen Streich
Thema eröffnet 2019-06-08 21:40 von haribo
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Kein bestimmter Bereich 16 auf einen Streich
cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.200, eingetragen 2020-06-21 01:57


haribo, Achtung: wirre nächtliche Gedanken ;)

Ich halte es wie schon erwähnt für durchaus denkbar, dass es sich bei den beiden ja nur minimal verschiedenen 3^3-13er-Lösungen für die beiden einzigen ihrer Art handelt. So wie es auch beim 3x3 nur eine einzige Lösung gibt.
Der 3x3-Fall ist denn ja auch - ? weil "minimal" ? - der einzige ohne abknickpunktfreie Lösungen...

Meine Vorabschätzungen zur Berechenbarkeitstheorie haben ergeben, dass bereits für 3^3 eine algorithmisch zweifelsfreie Lösung ähnlich viele Kombinationsmöglichkeiten von Linienfolgen "durchspielen" müsste wie etwa 9x9 in 2D. Und da waren ja die Algorithmen von Bäumler und ps71 schon deutlich vorher "in die Knie gegangen".
Also bleibt wohl hier tatsächlich nur wohlüberlegt intuitives Basteln!

Das bringt mich zu meinem aktuellen Knackpunkt:

Ab 4^3 ist der Zeichenaufwand mit GeoGebra oder ähnlicher Software stets beträchtlich, und ohne eine Struktur tatsächlich auch wenigstens teilweise zu sehen, reicht mein Vorstellungsvermögen nicht mehr für eine rein abstrakt-geistige Lösung aus! Deswegen bin ich momentan am Grübeln, wo ich grundsätzlich ansetzen soll...

In 2D gilt die minimale Linienanzahl (2n - 2) allgemein, wenn man die "Gegenbeweise" für (2n - 3) auch nur im Ansatz anerkennt. Also gilt min = 2n - 2 für gerade wie auch für ungerade n.
Das muss dann zwar für Minima in 3D nicht zwingend auch so sein, wäre aber nach meinem "Bauchgefühl" trotzdem zu erwarten...
Mit den beiden Formelkandidaten (n^3-1)/(n-1) = n^2+n+1 und 4 + 1,5*n^2 - 1,5*n ergeben sich für 3^3 in beiden Fällen 13 Linien als Minimum.
Die weiteren Minima lägen für 4^3 bei 21 oder 22 Linien, für 5^3 31 oder 34 Linien, für 6^3 43 oder 49 Linien, für 7^3 57 oder 67 Linien...

Auch in 3D gibt es zwischen geraden und ungeraden n einen argen Unterschied:
So, wie sich in 2D die beiden Hauptdiagonalen für ungerade n im zentralen Punkt schneiden und für gerade n nicht, gilt das in 3D für die Raumdiagonalen.
Aus den algorithmischen Erkenntnissen nach ps71 konnten wir ersehen, dass die Lösungen für 4x4 und 6x6 topologisch insgesamt einander mehr ähnelten
als diejenigen für 4x4 und 5x5 oder 5x5 und 6x6... Daher scheint mir Deine Vermutung, dass sich aus dem 3^3-13er eine 5^3-Lösung ableiten lässt, naheliegender, als die einfache mögliche Ableitung einer 4^3-Lösung...
Aber: Das sollte sich dann für 7^3 weiterdenken lassen, und hier würde die Formel n^2+n+1 zu einem Problem führen, weil bei dann insgesamt 57 Linien mit der ersten Raumdiagonalen als Startlinie nurmehr 56 "übrig" blieben, und sich das EBEN NICHT mehr durch 3 teilen lässt, um so'ne "Nordpol-Symmetrie" zu erzeugen. Bei 67 schon...
Für 5^3 bleiben beide Formeln denkbar, weil sich 31 und 34 ja gerade um 3 unterscheiden.
Wollte man 5^3 mit 31 Linien lösen, müssten sich die nach Abzug der ersten Raumdiagonalen verbleibenden 120 Punkte so auf 30 "Restlinien" aufteilen, dass JEDE stets genau 4 neue Punkte trifft. Damit müsste JEDE seitenparallel oder dazu in einem 45°-Raumwinkel verlaufen, um jeweils entweder 4 Punkte auf der "Hülle" oder je 2 auf "Hülle" und im "Kern" zu treffen. Das scheint mir [noch] nicht auszuschließen...

Worum es mir bei dem Gehirne geht?
Nun, die Existenz einer 12-er-Lösung für 3^3 halte [selbst] ich für höchst unwahrscheinlich, denn 12 Linien sind ja bereits genau das Dreifache der "Ebenenlösung" 3x3 mit 4 Linien. Das ohne zusätzliche Verbinder für 3^3 hinkriegen zu können, scheint... überambitioniert ;)
Für höhere n wäre mein Gesamtziel tatsächlich, eine Formel "festzunageln", und nicht, wie Ripà, dieser... irgendwie... "entgegenzutänzeln" oder allmählich an sie "heranzueiern"!
Für mich hieße das, dass das Finden einer 22-er-Lösung für 4^3 keine letzte Gewissheit brächte. Das Finden einer 31-er-Lösung für 5^3 dagegen schon, und ebenso das einer 34-er-Lösung, durch deren Grundcharakteristika man die Existenz einer 31-er ausschließen könnte...

Was sagt denn Deine Intuition?
Ist es bei ähnlichem Mindestzeichenaufwand für 4^3 und 5^3 wohl eher ratsam, zunächst weiterhin 4^3 zu "beäugen" und dabei weiter zu "lernen", oder besser gleich 5^3 und danach "rückwärts" abzuleiten?

Lass' Deinen Gedanken ruhig freien Lauf; ggf. reicht uns beiden ja irgendein Stichwort à la "Nordpol", "Regenschirm" oder dergleichen, damit ein weiterer Groschen fällt!?

p.s.:
Mein jüngster Ansatz zum 4^3 mit allen vier Raumdiagonalen und dazwischen drei Verbindungsfolgen aus jeweils sechs Linien hat zwar teils optisch spektakuläre "Brummer" ergeben, aber halt noch keine Lösung ;)



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.201, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-21 07:57


Viele Wege führen nach Rom?
Evtl. ist die Betrachtungsweise, also die betrachtungsrichtung, aus #170 welche du seit #191 auch immer wieder anwendest ein 2D-3D Übergang? Sie ist eine eindeutige schrägprojektion des 3D, man kann sie aber auch als eine eigenständige 2D Anordnung von den darin abgebildetes x Punkten sehen, welche dann ja wieder mit  einem 2D poligonzug zu verbinden währen (im Gegensatz zum alten 2D Problem sind die Punkte halt nicht mehr nur ortogonal in  zeilen und Spalten angeordnet sondern zusätzlich. In flachen  schrägen) aber die poligon Beschreibung der Verbinderilinie bleibt dann ein echtes 2D Problem

Und ist somit evtl einfacher zu lösen als andere , für uns derzeit kompliziert darzustellende 3D Anordnung

... guten Morgen für heute....



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.202, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-23 17:02


nochmal ein geänderter 4^3 mit 23 linien
etliche linien berühren nur null oder ein punkt
hier meist die weissen verbinder...
ich hoffe immer noch das man irgendwann mit hin und hertauschen eben dieser verbinder mal eine linie einspart...

die ortogonalansichten sind derzeit jedenfals weit entfernt von 2D anordnungen







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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.203, eingetragen 2020-06-23 22:55


Cool!

Die Projektion "vorne" sieht doch zumindest schon aus wie ein schräges "Häschen"/"Fisch"/"Frosch" (K12)...
Könnte Deine Verbinder-Vermutung "erhärten"!
"oben" und "rechts" würden sich dabei wohl in Richtung "Amboss" (K8), "Bügeleisen" (K9) oder K7 entwickeln...?!

Ich persönlich traue inzwischen Deinem "K2" in seiner effizientesten Form ordentliches Potenzial für 3D zu...

Den "Stern" K4 wird man wohl nicht brauchen können, weil er einen Überschuss an 2-er-Linien enthält, die wohl hinsichtlich 3D auch schon zu "verschwenderisch" sind.

Und weitergebastelt... ;)



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