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Mathematik » Kombinatorik & Graphentheorie » 16 auf einen Streich
Thema eröffnet 2019-06-08 21:40 von haribo
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Kein bestimmter Bereich 16 auf einen Streich
cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.127, eingetragen 2019-07-28


"Geradrasterige Konuskragenspule, Typ #1"

BEHAUPTUNG

Für beliebige natürliche Zahlen n lässt sich im Rasterpunktgitter G:gxg mit g=2n+2 nach der Bildungsvorschrift F[GKKS#1]=F[ECFB#1] ein Polygonzug P[GKKS#1]=P[ECFB#1] aus 2*(g-1) Strecken entwickeln, so dass jeder der Rastergitterpunkte von G Element genau einer Teilstrecke von P[GKKS#1]=P[ECFB#1] ist.

F[GKKS#1]=F[ECFB#1] lautet:

1. Beginne die erste Linien beim unteren linken Rastergittereckpunkt ("A1") und zeichne sie waagerecht nach rechts bis über den rechten unteren Rastergittereckpunkt hinaus.
2. Zeichne die zweite(!) Linie derart nach schräg links oben, dass sie eine Steigung von -1/n = -2/(g-2) aufweist, den äußerst rechten Rastergitterpunkt der (n+1)-ten Rastergitterzeile durchzieht und leicht links oberhalb des nächsten Rastergitterpunktes in der (n+2)-ten Rastergitterzeile endet.
3. Zeichne die dritte(!) Linie derart nach schräg links unten, dass sie eine Steigung von 1/n = 2/(g-2) aufweist, den Rastergitterpunkt unmittelbar links des vorherigen sowie danach den äußerst linken Rastergitterpunkt der (n+1)-ten Rastergitterzeile durchzieht und auf Höhe der untersten Rastergitterzeile endet.
4. Zeichne die vierte(!) derart nach schräg rechts oben, dass sie eine Steigung von 1/(n+1) = 2/g aufweist, auf ihrem Weg als zweiten den äußerst rechten Rastgitterpunkt der (n+2)-ten Rastergitterzeile durchzieht  und auf Höhe der obersten rastergitterzeile endet.
5. Zeichne die fünfte(!) Linie waagerecht nach links und durchziehe die oberste Rastergitterzeile vollständig bis über ihren äußerst linken Rastergitterpunkt hinaus.
6. A(!!!) FALLS insgesamt nurmehr ZWEI zuvor noch nicht durchzogene Rastergitterpunkte verbleiben, vollende die Figur mit Schritt "11".
6. B(!!!) FALLS insgesamt noch MEHR ALS ZWEI zuvor noch nicht durchzogene Rastergitterpunkte verbleiben, fahre mit den Schritten "7" bis "10" fort...
7. Zeichne die nächste Linie derart nach schräg rechts unten, dass sie eine Steigung von -1/(n+1) = -2/g aufweist, den äußerst linken zuvor noch nicht durchzogenen Rastergitterpunkt der (n+2)-ten Rastergitterzeile durchzieht und auf Höhe der untersten zuvor noch nicht waagerecht durchzogenen Rastergitterzeile endet.
8. Zeichne die nächste Linie waagerecht nach links und durchziehe die Rastergitterzeile vollständig bis über ihren äußerst linken Rastergitterpunkt hinaus.
9. Zeichne die nächste Linie derart nach schräg rechts oben, dass sie eine Steigung von 1/(n+1) = 2/g aufweist, den äußerst rechten zuvor noch nicht durchzogenen Rastergitterpunkt der (n+2)-ten Rastergitterzeile durchzieht und auf Höhe der obersten zuvor noch nicht waagerecht durchzogenen Rastergitterzeile endet.
10. Zeichne die nächste Linie waagerecht nach links, durchziehe die Rastergitterzeile vollständig bis über ihren äußerst linken Rastergitterpunkt hinaus UND SPRINGE ZU SCHRITT "6.A" ZURÜCK!
11. Zeichne die letzte(!) Linie derart nach schräg rechts unten, dass sie eine Steigung von -1(n+1) = -2/g aufweist und auf ihrem Weg die beiden letzten zuvor noch nicht durchzogenen Rastergitterpunkte in der (n+2)-ten und in der (n+1)-ten Rastergitterzeile durchzieht.

Die entsprechenden Lösungsfiguren für sämtliche "geraden" (even) Rastergitter haben die Gestalt von breiten, flachen Konuskragenspulen (conical flange bobbin).
Ihr Polygonzug P[GKKS#1]=P[ECFB#1] beginnt stets beim unteren linken Rastergittereckpunkt ("A1") und endet am Rastergitterpunkt unmittelbar links des äußerst rechten Rastergitterpunktes derjenigen Rastergitterzeile, die unmittelbar unterhalb der vertikalen Rastergittermitte liegt.
Die Lösungsfiguren sind jeweils vom höchsten "Echtheits-" und somit auch "Achtbarkeitsgrad", können nicht geschlossen werden und weisen daher keine Symmetrien auf.
;) Konstruktionstechnisch könnte man sie jedoch als "wickelsymmetrisch" bezeichnen ;)



Damit ist die Hälfte der Unendlichkeit sogar doppelt abgesichert!
Ob man allerdings mengenmäßig zunehmenden "Sowjetischen Maschendrahtzaun" (soviet type wire-mesh fence) auf zunehmend breite wie flache Konuskragenspulen aufwickeln kann, mag ich nicht beurteilen.
Die zweite Hälfte der Unendlichkeit folgt in Kürze...



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.128, eingetragen 2019-07-28


"Geradrasterige Konuskragenspule, Typ #2"

BEHAUPTUNG

Für beliebige natürliche Zahlen n lässt sich im Rasterpunktgitter G:gxg mit g=2n+2 nach der Bildungsvorschrift F[GKKS#2]=F[ECFB#2] ein Polygonzug P[GKKS#2]=P[ECFB#2] aus 2*(g-1) Strecken entwickeln, so dass jeder der Rastergitterpunkte von G Element genau einer Teilstrecke von P[GKKS#2]=P[ECFB#2] ist.

F[GKKS#2]=F[ECFB#2] lautet:

1. Beginne die erste Linien beim unteren linken Rastergittereckpunkt ("A1") und zeichne sie waagerecht nach rechts bis über den rechten unteren   Rastergittereckpunkt hinaus.
2. Zeichne die zweite(!) Linie derart nach schräg links oben, dass sie eine Steigung von -1/(n+1) = -2/g) aufweist, den äußerst linken Rastergitterpunkt der (n+2)-ten Rastergitterzeile durchzieht und auf Höhe er obersten Rastergitterzeile endet.
3. Zeichne die dritte(!) Linie waagerecht nach rechts und durchziehe die oberste Rastergitterzeile vollständig bis über ihren äußerst rechten Rastergitterpunkt hinaus.
4. A(!!!) FALLS insgesamt nurmehr SECHS zuvor noch nicht durchzogene Rastergitterpunkte verbleiben, vollende die Figur mit den Schritten "9" bis "11".
4. B(!!!) FALLS insgesamt noch MEHR ALS SECHS zuvor noch nicht durchzogene Rastergitterpunkte verbleiben, fahre mit den Schritten "5" bis "8" fort...
5. Zeichne die nächste Linie derart nach schräg links unten, dass sie eine Steigung von 1/(n+1) = 2/g aufweist, den äußerst rechten zuvor noch nicht durchzogenen Rastergitterpunkt der (n+2)-ten Rastergitterzeile durchzieht und auf Höhe der untersten zuvor noch nicht waagerecht durchzogenen Rastergitterzeile endet.
6. Zeichne die nächste Linie waagerecht nach rechts und durchziehe die Rastergitterzeile vollständig bis über ihren äußerst rechten Rastergitterpunkt hinaus.
7. Zeichne die nächste Linie derart nach schräg links oben, dass sie eine Steigung von -1/(n+1) = -2/g aufweist, den äußerst linken zuvor noch nicht durchzogenen Rastergitterpunkt der (n+2)-ten Rastergitterzeile durchzieht und auf Höhe der obersten zuvor noch nicht waagerecht durchzogenen Rastergitterzeile endet.
8. Zeichne die nächste Linie waagerecht nach rechts, durchziehe die Rastergitterzeile vollständig bis über ihren öußerst rechten Rastergitterpunkt hinaus UND SPRINGE ZU SCHRITT "4.A" ZURÜCK!
9. Zeichne die drittletzte(!) Linie derart nach schräg links unten, dass sie eine Steigung von 1/(n+1) = 2/g aufweist, den äußerst rechten zuvor noch nicht durchzogenen Rastergitterpunkt der (n+2)-ten Rastergitterzeile durchzieht und auf Höhe der n-ten Rastergitterzeile endet.
10. Zeichne die vorletzte(!) Linie derart nach schräg rechts oben, dass sie eine Steigung von 1/n = 2/(g-2) aufweist, den äußerst linken Rastergitterpunkt der (n+1)-ten Rastergitterzeile durchzieht und leicht rechts oberhalb des nächsten Rastergitterpunktes in der (n+2)-ten Rastergitterzeile endet.
11. Zeichne die letzte(!) Linie derart nach schräg rechts unten, dass sie eine Steigung von -1/n = -2/(g-2) aufweist, den Rastergitterpunkt unmittelbar rechts des vorherigen durchzieht und eine Rastergitterzeile darunter am äußerst rechten Rastergitterpunkt der (n+1)-ten Rastergitterzeile endet.

Die entsprechenden Lösungsfiguren für sämtliche "geraden" (even) Rastergitter haben wieder die Gestalt von breiten, flachen Konuskragenspulen (conical flange bobbin) - allerdings gegenüber #1 (siehe vorangegangener Beitrag) mit ausgefranstem unteren Konuskragen.
Ihr Polygonzug P[GKKS#2]=P[ECFB#2] beginnt stets beim unteren linken Rastergittereckpunkt ("A1") und endet am äußerst rechten Rastergitterpunkt derjenigen Rastergitterzeile, die unmittelbar unterhalb der vertikalen Rastergittermitte liegt.
Die Lösungsfiguren sind jeweils vom höchsten "Echtheits-" und somit auch "Achtbarkeitsgrad", können nicht geschlossen werden und weisen daher keine Symmetrien auf.
;) Auch sie erscheinen natürlich konstruktionstechnisch als "wickelsymmetrisch" ;)



War das nun reine Eitelkeit von mir? Die Hälfte der Unendlichkeit dreifach abzusichern, bloß weil... "meine" ursprüngliche "Amboss"-Variante zu einer weiteren, aber lediglich leicht veränderten "Lösungsfamilie" führt?
Nein!
Viel übler...

Es mag anschaulich unterstreichen, was mir nach dem Posten der ersten Konuskragenspule "aufgegangen" ist. Und das war nicht der Claudius'sche Mond!

Da die auf- wie absteigenden schrägen Linienverbinder ober- wie unterhalb der beiden Verbinderzeilen bereits seitlich aus dem Rastergitter hinauslaufen, bevor sie die Höhe der nächstoberen bzw. nächstunteren Rastergitterzeile erreichen, können sie auf ihrem Weg keine Rastergitterzeile schneiden.
Demzufolge sind sie in ihrer Anordnung, diese oder jene Waagerechten zu verbinden, frei permutierbar. Und zwar links wie rechts des Rastergitters.
Das heißt, dass sich aus jedem der drei 4x4-"Ambosse" im 6x6 schon 2*2=4 eigenartige "Konuskragenspulen" mit unterschiedlicher Linienabfolge herleiten lassen, im 8x8 bereits 6*6=36, im 10x10 schon satte 24*24=576, und im 12x12 dann ernüchternde 120*120=14400 (!!!).
Die drei 4x4-"Ambosse" und ihre Sprösslinge werden also nach vier "Generationen" im 12x12 für insgesamt 43200 (!!!) eigenständige "waschechte" Lösungsfiguren sorgen. Von "Zöglingen" anderer, etwas "schieferer" Spulen- oder Schmetterlingsähnlichen, die sich ggf. erst ab 6x6 zeigen, noch gar nicht zu reden...
Wenn ich das noch einmal mit einer Größenordnung abschätze, käme man wohl auf etwa eine halbe Million "waschechter" Lösungsfiguren im 12x12.
Also wohlgemerkt die Anzahl, die ein Algorithmus aus dem Zigfachen an unterwegs abgebrochenen Versuchen am Ende herausgefiltert haben wird.
Wieviele wird er im 12x12 mit seinem enormen Gitter an möglichen Geraden wohl im Mittel verwerfen müssen, bis er eine gültige findet?
Für den 4x4 schätze ich das mal frech auf 10, für den 5x5 auf 100... dann wärens beim 12x12 im Mittel schon eine Milliarde Abbrüche vor jeder gefundenen Lösung. Und bei einer halben Million Lösungen entsprechend eine halbe Billiarde (zehn hoch fünfzehn!) algorithmische Wegstreckentests... ?!?
Falls es beim 4x4 eher 100 Abbrüche vor jeder Lösung wären... und sich das dann mit jedem Rasterschritt erneut verhundert- statt "bloß" verzehnfachen würde... käme das beim 12x12 auf... eine Trillion (zehn hoch achtzehn) Abbrüche je gefundener Lösung... und - vorsichtshalber nochmal nach oben aufgerundet - auf eine glatte Quadrillion algorithmischer Durchläufe...
Bäumler!!! Aaaargh!!! Zählt Dein Algorithmus beim 4x4 und 5x5 schon die Abbrüche...?

* Randbemerkung: Falls meine Abschätzung auch nur halbwegs stimmt, ist die Lösungsfigurenvielfalt im nxn-Punkterastergitter stets deutlich höher als die Rundwegevielfalt beim n-TSP, und damit das Grundproblem noch um einiges komplexer als das "Problem des Handlungsreisenden - Prost Mahlzeit!

Die zweite Hälfte der Unendlichkeit birgt da sicher noch mehr Horrorpotenzial ;)



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.129, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-28


2019-07-28 16:42 - cramilu in Beitrag No. 128 schreibt:

Die zweite Hälfte der Unendlichkeit birgt da sicher noch mehr Horrorpotenzial ;)
glaub nicht das es probleme gibt, die beiden ungeraden #125 sind sehr ähnlich deinen geraden lösungen aufgebaut...

beide ansätze haben nur wenige überschneidungen ausserhalb des digonal-bandes welches dann eben knapp über der horizontalen mitte liegt...

lg haribo



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.130, eingetragen 2019-07-29


"Ungeradrasterige Konuskragenspule, Typ #1"

BEHAUPTUNG

Für beliebige natürliche Zahlen n lässt sich im Rasterpunktgitter G:gxg mit g=2n+3 nach der Bildungsvorschrift F[UKKS#1]=F[UCFB#1] ein Polygonzug P[UKKS#1]=P[UCFB#1] aus 2*(g-1) Strecken entwickeln, so dass jeder der Rastergitterpunkte von G Element genau einer Teilstrecke von P[UKKS#1]=P[UCFB#1] ist.

F[UKKS#1]=F[UCFB#1] lautet:

1. Beginne die erste(!) Linie beim unteren linken Rastergittereckpunkt ("A1") und zeichne sie waagerecht nach rechts bis über den rechten unteren Rastergittereckpunkt hinaus.
2. Zeichne die zweite(!) Linie derart nach schräg links oben, dass sie eine Steigung von -1/n = -2/(g-3) aufweist, auf ihrem Weg zuerst den äußerst rechten Rastergitterpunkt der (n+2)-ten Rastergitterzeile durchzieht und knapp links oberhalb des zweiten durchzogenen Rastergitterpunktes, also der (n+3)-ten Rastergitterzeile, endet.
3. Zeichne die dritte(!) Linie derart nach schräg links unten, dass sie eine Steigung von 1/(n+1) = 2/(g-1) aufweist, auf ihrem Weg zuerst den Rastergitterpunkt unmittelbar links des vorherigen durchzieht, danach den äußerst linken Rastergitterpunkt der (n+2)-ten Rastergitterzeile durchzieht und links außerhalb des Rastergitters auf Höhe der zweituntersten Rastergitterzeile endet.
4. Zeichne die vierte(!) Linie waagerecht nach rechts und durchziehe die zweitunterste Rastergitterzeile vollständig bis über ihren äußerst rechten Rastergitterpunkt hinaus.
5. Zeichne die fünfte(!) Linie derart nach schräg links oben, dass sie eine Steigung von -1/(n+2) = -2/(g+1) aufweist, auf ihrem Weg als zweiten Punkt den äußerst linken Rastergitterpunkt der (n+3)-ten Rastergitterzeile durchzieht und links außerhalb des Rastergitters auf Höhe der obersten Rastergitterzeile endet.
6. Zeichne die sechste(!) Linie waagerecht nach rechts und durchziehe die oberste Rastergitterzeile vollständig bis über ihren äußerst rechten Rastergitterpunkt hinaus.
7. A(!!!) FALLS insgesamt nurmehr VIER zuvor noch nicht durchzogene Rastergitterpunkte verbleiben, vollende die Figur mit den Schritten "12" und "13".
7. B(!!!) FALLS insgesamt noch MEHR ALS VIER zuvor noch nicht durchzogene Rastergitterpunkte verbleiben, fahre mit den Schritten "8" bis "11" fort...
8. Zeichne die nächste Linie derart nach schräg links unten, dass sie eine Steigung von 1/(n+2) = 2/(g+1) aufweist, auf ihrem Weg als zweiten Punkt den äußerst linken zuvor noch nicht durchzogenen Rastergitterpunkt der (n+2)-ten Rastergitterzeile durchzieht und links außerhalb des Rastergitters auf Höhe der untersten zuvor noch nicht waagerecht durchzogenen Rastergitterzeile endet.
9. Zeichne die nächste Linie waagerecht nach rechts und durchziehe die Rastergitterzeile vollständig bis über ihren äußerst rechten Rastergitterpunkt hinaus.
10. Zeichne die nächste Linie derart nach schräg links oben, dass sie eine Steigung von -1/(n+2) = -2/(g+1) aufweist, auf ihrem Weg als zweiten Punkt den äußerst linken zuvor noch nicht durchzogenen Rastergitterpunkt der (n+3)-ten Rastergitterzeile durchzieht und links außerhalb des Rastergitters auf Höhe der obersten zuvor noch nicht waagerecht durchzogenen Rastergitterzeile endet.
11. Zeichne die nächste Linie waagerecht nach rechts, durchziehe die Rastergitterzeile vollständig bis über ihren äußerst rechten Rastergitterpunkt hinaus UND SPRINGE ZU SCHRITT "7.A" ZURÜCK!
12. Zeichne die vorletzte(!) Linie derart nach schräg links unten, dass sie eine Steigung von 1/(n+1) = 2/(g-1) aufweist, auf ihrem Weg zuerst den äußerst rechten Rastergitterpunkt der (n+3)-ten Rastergitterzeile durchzieht und genau unterhalb der beiden letzten zuvor noch nicht durchzogenen Rastergitterpunkte endet.
13. Zeichne die letzte(!) kurze Linie senkrecht nach oben und durchziehe die beiden verbliebenen, unmittelbar übereinander liegenden zuvor noch nicht durchzogenen Rastergitterpunkte in der (n+2)-ten und in der (n+3)-ten Rastergitterzeile.

Die entsprechenden Lösungsfiguren für sämtliche "ungeraden" (uneven) Rastergitter haben erneut die Gestalt von breiten, flachen Konuskragenspulen (conical flange bobbin)...
Ihr Polygonzug P[GUKKS#1]=P[UCFB#1] beginnt stets beim unteren linken Rastergittereckpunkt ("A1") und endet bei demjenigen Rastergitterpunkt, der unmittelbar links oberhalb des Rastergittermittelpunktes liegt.
Die Lösungsfiguren sind jeweils vom höchsten "Echtheits-" und somit auch "Achtbarkeitsgrad", können nicht geschlossen werden und weisen daher keine Symmetrien auf.



;) Das sollte nun auch die zweite Hälfte der Unendlichkeit "erschlagen" ;)
Ich habe - wie von mir zu erwarten war - noch eine zweite solche "UKKS"
in petto... nur zwecks erneut doppelter Absicherung.

Die 5x5-Lösungsfigur tritt in zwei Varianten hervor. Auch hier ergeben sich wieder vermehrt beiderseits frei permutierbare Verbindungsschrägen, was entsprechende "Vermehrungen" im 7x7, 9x9 usw. zur Folge haben wird.



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.131, eingetragen 2019-07-29


"Ungeradrasterige Konuskragenspule, Typ #2"

BEHAUPTUNG

Für beliebige natürliche Zahlen n lässt sich im Rasterpunktgitter G:gxg mit g=2n+3 nach der Bildungsvorschrift F[UKKS#2]=F[UCFB#2] ein Polygonzug P[UKKS#2]=P[UCFB#2] aus 2*(g-1) Strecken entwickeln, so dass jeder der Rastergitterpunkte von G Element genau einer Teilstrecke von P[UKKS#2]=P[UCFB#2] ist.

F[UKKS#2]=F[UCFB#2] lautet:

1. Beginne die erste(!) Linie beim unteren linken Rastergittereckpunkt ("A1") und zeichne sie waagerecht nach rechts bis über den rechten unteren Rastergittereckpunkt hinaus.
2. Zeichne die zweite(!) Linie derart nach schräg links oben, dass sie eine Steigung von -1/n = -2/(g-3) aufweist, auf ihrem Weg zuerst den äußerst rechten Rastergitterpunkt der (n+2)-ten Rastergitterzeile durchzieht und knapp links oberhalb des zweiten durchzogenen Rastergitterpunktes, also der (n+3)-ten Rastergitterzeile, endet.
3. Zeichne die dritte(!) Linie derart nach schräg links unten, dass sie eine Steigung von 1/(n+1) = 2/(g-1) aufweist, auf ihrem Weg zuerst den Rastergitterpunkt unmittelbar links des vorherigen durchzieht, danach den äußerst linken Rastergitterpunkt der (n+2)-ten Rastergitterzeile durchzieht und links außerhalb des Rastergitters auf Höhe der zweituntersten Rastergitterzeile endet.
4. Zeichne die vierte(!) Linie waagerecht nach rechts und durchziehe die zweitunterste Rastergitterzeile vollständig bis über ihren äußerst rechten Rastergitterpunkt hinaus.
5. Zeichne die fünfte(!) Linie derart nach schräg links oben, dass sie eine Steigung von -1/(n+1) = -2/(g-1) aufweist, auf ihrem Weg zuerst den zweitäußersten rechten Rastergitterpunkt der (n+2)-ten Rastergitterzeile durchzieht und später links außerhalb des Rastergitters auf Höhe der obersten Rastergitterzeile endet.
6. Zeichne die sechste(!) Linie waagerecht nach rechts und durchziehe die oberste Rastergitterzeile vollständig bis über ihren äußerst rechten Rastergitterpunkt hinaus.
7. A(!!!) FALLS insgesamt nurmehr VIER zuvor noch nicht durchzogene Rastergitterpunkte verbleiben, vollende die Figur mit den Schritten "12" und "13".
7. B(!!!) FALLS insgesamt noch MEHR ALS VIER zuvor noch nicht durchzogene Rastergitterpunkte verbleiben, fahre mit den Schritten "8" bis "11" fort...
8. Zeichne die nächste Linie derart nach schräg links unten, dass sie eine Steigung von 1/(n+2) = 2/(g+1) aufweist, auf ihrem Weg als zweiten Punkt den äußerst linken zuvor noch nicht durchzogenen Rastergitterpunkt der (n+2)-ten Rastergitterzeile durchzieht und links außerhalb des Rastergitters auf Höhe der untersten zuvor noch nicht waagerecht durchzogenen Rastergitterzeile endet.
9. Zeichne die nächste Linie waagerecht nach rechts und durchziehe die Rastergitterzeile vollständig bis über ihren äußerst rechten Rastergitterpunkt hinaus.
10. Zeichne die nächste Linie derart nach schräg links oben, dass sie eine Steigung von -1/(n+1) = -2/(g-1) aufweist, auf ihrem Weg zuerst den äußerst rechten zuvor noch nicht durchzogenen Rastergitterpunkt der (n+2)-ten Rastergitterzeile durchzieht und später links außerhalb des Rastergitters auf Höhe der obersten zuvor noch nicht waagerecht durchzogenen Rastergitterzeile endet.
11. Zeichne die nächste Linie waagerecht nach rechts, durchziehe die Rastergitterzeile vollständig bis über ihren äußerst rechten Rastergitterpunkt hinaus UND SPRINGE ZU SCHRITT "7.A" ZURÜCK!
12. Zeichne die vorletzte(!) Linie derart nach schräg links unten, dass sie eine Steigung von 1/(n+1) = 2/(g-1) aufweist, auf ihrem Weg zuerst den äußerst rechten Rastergitterpunkt der (n+3)-ten Rastergitterzeile durchzieht und knapp links unterhalb des zweiten durchzogenen Rastergitterpunktes, also der (n+2)-ten Rastergitterzeile, endet.
13. Zeichne die letzte(!) Linie derart nach schrägs links oben, dass sie eine Steigung von -1/n = -2/(g-3) aufweist, auf ihrem Weg zuerst den Rastergitterpunkt unmittelbar links des vorherigen durchzieht und beim äußerst linken Rastergitterpunkt der (n+3)-ten Rastergitterzeile endet.

Die entsprechenden Lösungsfiguren für sämtliche "ungeraden" (uneven) Rastergitter haben abermals die Gestalt von breiten, flachen Konuskragenspulen (conical flange bobbin)...
Ihr Polygonzug P[GUKKS#1]=P[UCFB#1] beginnt stets beim unteren linken Rastergittereckpunkt ("A1") und endet beim äußerst linken Rastergitterpunkt der Rastergitterzeile unmittelbar oberhalb der mittleren.
Auch diese Lösungsfiguren sind jeweils vom höchsten "Echtheits-" und somit auch "Achtbarkeitsgrad", können nicht geschlossen werden und weisen daher keine Symmetrien auf.



So: Formalkram erledigt, "gerade" Unendlichkeit dreifach, "ungerade" Unendlichkeit doppelt abgesichert. Mit (2g-2) Linien gehts also IMMER. Und zwar "waschecht".

haribo, Deine frühere Beweisführung war mir schon eingängig, erfüllt aber gegebenenfalls nicht die erforderlichen formalen Ansprüche. Daran mag es der meinen auch noch mangeln, aber sie liefert mit formal überformulierten konkreten Konstruktionsvorschriften klare "Es-Existiert-Mindestens-Ein"-Nachweise. Was reichen sollte ;)

Als nächstes könnten wir diskutieren, welche 4x4- und 5x5-Figuren aus welchen Gründen in welchem Ausmaß "fruchtbar" bei ihrer "Vermehrung" in größeren Rastern sind!?

Falls Du es schaffst, eine Konstruktion zu zimmern, die sowohl für gerade als auch für ungerade Raster funzt, bin ich sehr beeindruckt! Daran habe ich mir nach Deinem "Schneckenschnickschnack" zu Beginn des Threads selber auch schon die Zähne ausgebissen ;)



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haribo
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2019-07-29 12:45 - cramilu in Beitrag No. 131 schreibt:

Falls Du es schaffst, eine Konstruktion zu zimmern, die sowohl für gerade als auch für ungerade Raster funzt, bin ich sehr beeindruckt! Daran habe ich mir nach Deinem "Schneckenschnickschnack" zu Beginn des Threads selber auch schon die Zähne ausgebissen ;)
ja spannende aufgabe, aber das ist doch nur eine frage der zeit... sofern man drauf achtet findet man das wenn man die vierte fünfte... nochnichtunendlichste... gerade oder ungerade lösungsreihe suchen würde

deine beiden ungeraden lösungsreihen sind schon nahe dran, da sie beide eine endlinie am (unteren-)rand haben



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drei linien streichen und eine dazufügen... macht aus dem 7er einen 6er, ok er hat dann einmal eine abknickende linie im punkt

war ja auch nur so ein versuch auf die schnelle
haribo



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Baeumler16
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.134, eingetragen 2019-07-29


Ich habe inzwischen (erfolglos) auch bei den Mathematikern in Ulm angefragt. Leider war die Antwort nur; "Nicht mein Forschungsgebiet". Die Kollegin wollte aber weder den Namen einer Zeitschrift oder eines Kollegen nennen.



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.135, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-30


direkt nur zwei entfernen kann für "ohne abknicken nicht gehen" denn es müssten zweimal aussenliegende kanten sein und die würden sich immer in einer der eckpunkte treffen... eine unendlichkeitserweiterung analog zu der "endlos erweiterten schnecke" kann es also wohl für "ohne abknicken" nicht geben

also ist die variante drei (blaue) entfernen und eine (gelbe) hinzufügen
(oder zwei entfernen, eine umlegen...) vermutlichst die einfachste variante einer anweisung welche für gerade und ungerade felder möglich ist

voir la:



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.136, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-30


schwarz die unendlichkeitserweiterung für dieses doppelpack ohne abknicken, hier also die umwandlung "neun auf acht"

im neuner wieder blau entfernen gelb hinzufügen ergibt den achter



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.137, eingetragen 2019-07-30


;) haribo, Deine "Versuche auf die Schnelle" lasse ich gelten, denn Du weißt ja, dass ich Einmal-Lösungen mit Abknickpunkten "genauso gut wie echt" finde ;)

Während Du auch schon wieder fleißig warst, habe ich noch gepinselt, denn Deine Ausführungen haben mich einem noch allgemeineren Lösungsansatz näher gebracht...

Wir - und kommt mir jetzt nicht mit Ausreden, vor allem Du nicht, "K2"-haribo! - machen Wanderurlaub in den Bergen!



An den geraden Tagen halten wir uns an das obere Schema.
B[!]reimaier b[!]eginnt seine Touren gerne flach von einer B[!]asisstation aus (begin). Nach dem Flachstück zum Warmwerden folgt ein erster S[!]teig (slope) hinauf zu einem buckeligen (h[!]unchback) H[!]ügel auf h[!]alber H[!]öhe des Berges. Solange man noch keine ermüdet-wackeligen Knie hat, nimmt man gleich nach Überqueren der Hügelspitze den zweiten S[!]teig für einen Zwischenabstieg her.
Blöd: Oberhalb des Hügels liegt eine Flachwanderetappe mehr als unterhalb, und man hat vom Hügel aus schon erspähen können, dass die Wanderung dort mit dem f[!]inalen Abstieg zu einer einladenden Jause zu Ende gehen sollte...
Dazu müsste man abwechselnd unterhalb-oberhalb-unterhalb-oberhalb... des Hügels die Flachwanderetappen "abgrasen". Nach dem zweiten Steig ist man aber unterhalb und müsste deshalb ggf. am Ende oberhalb eine flache Schlaufe versäumen.
Ha: Vom Abstieg über den zweiten Steig leicht erschöpft nimmt man einfach zum Verschnaufen einmal die Drahtseilbahn nach oben! Englisch t[!]eleferic - ich denke da voller Ehrfurcht an den Sessellift zur T[!]arscher Alm; talabwärts lässt mich meine Höhenangst regelmäßig fast verrecken...
Oben angekommen ist alles in Butter: Von nun an flacher diagonaler Abstieg bis unterhalb des Hügels, Flachetappe, diagonaler Aufstieg bis oberhalb des Hügels, Flachetappe...
Als letztes bleibt irgendwann nur noch das F[!]inish bergabwärts durch ein lauschiges Wäldchen bis zur Jausenhütte mit f[!]rischem F[!assbier!

Im "4x4" kommt einer der "Ambosse" so zustande. Schenkt man sich die Basis-Flachetappe und startet gleich am ersten Steig, darf man halt nach der Hügelüberquerung nicht(!) seilbahnfahren und muss später von der anderen Seite her zur Jausenstation absteigen (zweiter "4x4-Amboss")! Oder man wandert nach der ersten flachen Basisetappe gleich auf einer Diagonale munter bergan bis oberhalb des Hügels, nimmt die Seilbahn talwärts und überquert den Hügel zum Abschluss der Wanderung (dritter "4x4-Amboss"); dann muss man aber erst mit dem Bus zurück zur Basisstation fahren, bevor man jausen kann...

Und an ungeraden Tagen? Da fährt man zu einem Berg mit leicht schiefem Hügel. Dort braucht man keine Seilbahn, und der Jausenabstieg am Ende führt in zwei Abschnitten idyllisch durch ein sanftes Alpsee-Tal, bevor leicht oberhalb davon die Hütte liegt...

Kombinatorischer Ausblick:
Die Basisstation kann am Beginn jeder beliebigen Flachetappe unterhalb des Hügels liegen (13x13: 6 Möglichkeiten). Die Zwischenetappe über den Hügel kann man von jeder Ebene aus antreten (13x13: 6 Möglichkeiten). Die übrigen Aufwärtsdiagonalen kann man in beliebiger Reihenfolge erklimmen (13x13: 5!=120 Möglichkeiten). Gleiches gilt für die Abwärtsdiagonalen (13x13: 4!=24 Möglichkeiten). Vom Alpsee aus kann man über einen Klettersteig auch direkt senkrecht zur Hütte hochkraxeln - die Aufwärtsdiagonalen sind dann etwas flacher (Verdoppelung der Möglichkeiten). Ob sich zudem die Hügelkuppe seitlich "verschieben" lässt, ob man sie abflachen kann, indem man unter ihrer Spitze einen oder gar mehrere Punkte "überspringt", die man dann später in Diagonalen anderer Schrägen einbaut, oder ob sich zudem der abschließende Jausenweg auch noch anders "schrägen" lässt, ist noch zu klären!
Im 13x13 entstehen so jedoch bereits mindestens 6*6*120*24*2 = 207.360(!) verschiedene "Bergwandertouren" allein dieser Beschreibung! Wenn ich mich nicht grob vertan habe...



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.138, eingetragen 2019-07-30


Bäumler, gib der Sache mit den Uni-Auguren ruhig etwas Zeit - es sind Sommerferien!

Wenn ich an Einstein denke, bin ich mir gar nicht mehr so sicher, ob oder zu welchem Zeitpunkt ich mir einen "Einstieg der Profis" wünsche...

Zitat: "Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr."

Später soll er noch nachgeschoben haben, dass er solches mathematisches Verständnis ohnehin bloß drei Mathematikern zutraue. Und zwei davon seien schon tot. "Der dritte ist Kurt Gödel!"

www.tagesspiegel.de/wissen/mathematik-das-genie-und-der-wahnsinn/1139308.html

Mit den anderen beiden wird er wohl Andrej Andrejewitsch Markow (1856-1922) und David Hilbert (1862-1943) gemeint haben. Emil Leon Post (1897-1954) und Alan Turing (1912-1954) sind erst ein Jahr vor Einsteins Tod verstorben...

haribo, Post wäre was für Dich! Für den gabs nämlich auch "mehr als nur unendlich" ;)



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.139, eingetragen 2019-07-30


Zur "Bergwanderung an geraden Tagen" (siehe oben exemplarisch):

Sehe ich folgendes richtig?

Man kann mit der ersten Flachetappe in einer beliebigen Rastergitterzeile unterhalb des Hügels beginnen (12x12: 5 Möglichkeiten).
Man kann den Steig zum Hügel von einer beliebigen der unteren Flachetappen aus antreten (12x12: 5 Möglichkeiten).
Man kann beim ersten Steig aufwärts die rechte Hügelspitze H1 gegen T2 tauschen und gleichzeitig hernach S2 gegen T1 - die Seilbahn startet dann eben oberhalb des Abstieg-Steiges und fährt durch die Hügelspitze (Verdoppelung der Möglichkeiten).
Man kann die Seilbahn bis zu einer beliebigen der oberen Flachetappen benutzen (12x12: 5 Möglichkeiten).
Man kann die absteigende finale Etappe auf einer beliebigen der Abwärtsdiagonalen zurücklegen (12x12: 5 Möglichkeiten).
Man kann die verbleibenden vier Abwärts- wie Aufwärtsdiagonalen jeweils und kombiniert in beliebiger Reihenfolge ablaufen (12x12: 24*24=576 Möglichkeiten).

Man käme demnach für das "12x12"-Rastergitter auf mindestens 5*5*2*5*5*576 = 720.000(!) verschiedene Möglichkeiten, eine "Bergwandertour" solcher Art zu unternehmen...



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Baeumler16
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.140, eingetragen 2019-07-30


Ich hatte ein Mail-Probleme und habe erst jetzt die Mails gelesen.
"Gültigkeit" finde ich begrifflich tatsächlich nicht gut. Ich habe im
wiki Artikel jetzt "eigenständige Lösung" geschrieben:


Symmetrie
Zu einer Lösung können durch Drehung um 90°, 180°, 270° und Spiegelung und Umdrehen der Lösungsrichtung zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Diese gelten hier aber nicht als eigenständige Lösungen und werden in der Tabelle daher nicht aufgeführt. Ebenso werden zusätzliche Lösungen, die durch das Verlängern von Anfangs- oder Endlinie gewonnen werden, nicht separat gezählt. Wegen der letzten Bedingung beginnen und enden alle hier aufgezählten Linienzüge an einem Punkt, der nur von einer Linie erreicht wird.


Da die Tabelle sortierbar/filterbar ist kann man dort nach Symmetrien, Steckenlängen, schließbar, ... filtern/sortieren.
Eine besondere Hervorhebung des längsten, kürzesten, symmetrischen muss daher nicht sein. Obwohl der Weinnachtstern schon besonders erwähnt werden muss, ich habe das eingefügt.

Was man in der Tabelle noch hinzufügen könnte, wäre wieviele zusätzliche  "Lösungen" sich aus dieser erzeugen lassen (also jeder unterschiedliche Lininezug).  




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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.141, eingetragen 2019-07-31


"Umbauanleitung" zu Beitrag no.137...

... die hatte ich doch glatt vergessen ;)

Von "gerade" nach "ungerade":
1. zusätzliche Rasterpunkte links und unten ansetzen
2. Startlinie um eins nach unten versetzen
3. Punkt "S2" um eins nach links versetzen
4. Punkte "T1" und "T2" samt "Seilbahnzacke" nach oben entfallen;
stattdessen ganz abwärts zur zweituntersten Linie
5. Punkt "F1" nach rechts an rechten Rasterrand verschieben
6. Punkt "F2 um eins nach links verschieben
7. unmittelbar links von Punkt "F2" neuen Punkt "F3" hinzufügen
8. waagerecht gegenüber von Punkt "F1" neuen Punkt "F4" hinzufügen
9. Abschluss von rechts oben statt von links oben

Von "ungerade" nach "gerade":
1. zusätzliche Rasterpunkte rechts und oben ansetzen
2. Punkt "S1" um eins nach rechts versetzen
3. unmittelbar rechts von Punkt "S2" neuen Punkt "T1" hinzufügen
4. unmittelbar rechts von Punkt "H1" neuen Punkt "T2" hinzufügen
5. statt langer Abwärtslinie nach "S2" wieder "T1-T2-Seilbahnzacke" nach oben
6. Punkte "F3" und "F4" entfallen
7. Punkt "F1" nach links an linken Rasterrand verschieben
8. Punkt "F2" um eins nach rechts verschieben
9. Abschluss von links oben statt von rechts oben



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.142, eingetragen 2019-08-01


Allein im "nxn"-Universum...

haribo und Bäumler, nachdem mein Prof. bereits nahegelegt hat, dass es wohl noch "keine Schublade" gebe, "die man nur aufziehen muss und die Lösung liegt drin" (siehe seine weitergeleitete E-Mail-Antwort), hat nun auch [ps71] jüngst im SPON-Forum zur aktuellen Streichholz-Aufgabe geäußert, er habe seine "Aktivitäten eingestellt", was die "nxn"-Problemstellung anbelangt. Damit sind wir drei wohl die alleinigen wacker verbleibenden.

Was mich anbelangt: Ich habe damit noch lange nicht fertig!

Aber das war Euch wohl sowieso klar ;)

Bäumler, zur Algorithmik:

Ich ermittle meine erlaubten Startpunkte aktuell nach der Maßgabe, dass ich zunächst eine Koordinatenmaximum m = int(n/2-0,5) ermittle, und dann ihre x-Koordinaten ganzzahlig im Intervall [0;m] sowie ihre y-Koordinaten ganzzahlig im Intervall [x;m] liegen müssen. Danach sortiere ich sie aufsteigend nach ihrer gu-Entfernung vom Ursprung (0;0), wobei gu für "grid unit" oder Rastereinheit steht. Das ergibt die Vorzugsreihenfolge.
Danach ermittle ich zu jedem Punkt die erlaubten Anfangsgeraden.
Das sind für "A1" = (0;0) als erste die Waagerechte nach rechts und dann alle Geraden durch Punkte rechts unterhalb der ersten Winkelhalbierenden sowie diese selbst. Für "A2" muss man wohl als erstes die Senkrechte abwärts durch "A1" erlauben und danach nach rechts in einer vollen 180°-Spanne alle Geraden durch andere Rasterpunkte - die Senkrechte abwärts durch "A1" tritt im "4x4" auf, die aufwärts durch "A3" tatsächlich im "5x5"...
Die gleichen Analysen legen auch nahe, dass man auf jeder neu beschrittenen Geraden mindestens zwei neue Rasterpunkte "erwischen" muss, und dass man von allen neuerlich möglichen Punkten in der eingeschlagenen Richtung mindestens einen mehr als die Hälfte "abstreichen" muss, bevor man das nächste Mal abbiegen darf.
Deswegen ist von "B2" aus die Gerade links abwärts nach "A1" nicht erlaubt, sondern hernach alle gegenüber ihr gegen den Uhrzeigersinn gedrehten bis einschließlich der ersten Winkelhalbierenden rechts aufwärts.
Für "An" gilt stets das gleiche wie für "A2".
Für alle Punkte auf der Hauptdiagonalen gilt: 45° nach schräg links UNTEN NEIN, nach schräg rechts OBEN JA, und außerdem beliebig passend nach rechts der ersten Winkelhalbierenden.
Für Punkte zwischen Spalte A und der ersten Winkelhalbierenden vermute ich, dass man - wenn möglich - alle Richtungen ab "weniger als 45 Grad nach links unten" gegen den Uhrzeigersinn bis einschließlich "senkrecht nach oben", also eine Spanne von immerhin 225° zulassen muss.
Meine grobe Durchsicht der 5x5- und 6x6-Lösungen von [ps71] legt das nahe...

Für das Geradengitter und seine Behandlungsstrategie "unterwegs", also ab dem ersten Abbiegen bis zum Ende, fehlt mir noch der pfiffige Rekursionsgedanke.

Insgesamt möchte ich jedem "gefundenen" Linienzug, der sich vorne- oder hintenraus noch durch andere Rasterpunkte verlängern lässt, auch genau dieses antun. Solche Lösungen werden dann separat vermerkt und später nach gusto "reduziert". [ps71] hat da wohl mit seiner Einschätzung recht, das sei dann eher "Geschmackssache" ("geschlossene" versus "kürzbare" Lösungen usw.).



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.143, eingetragen 2019-08-02


Na?

Bevor ich zu meinem aktuellen Gewerkel bezüglich "nxn" komme...

www.mathpuzzle.com/dots.html

>>> Rasterpunkte mit einem Linienzug aus regelmäßigen Kreislinien verbinden!

experimentis-shop.de/kleinsche-flasche-in-vier-groessen-detail-566.html

>>> Es gibt doch tatsächlich schon mundgeblasene "Kleinsche Flaschen" zu kaufen!

Da mein Prof. so aufmerksam war, sich wenigstens grob "unseres" Problemes anzunehmen, mag ich zunächst meine Ausarbeitungen zum "4x4" vervollkommnen. Dann kann ich sie Euch und ihm in ordentlicher Form zukommen lassen.
"5x5" ff. und Algorithmik werde ich darob für ein paar Tage hintanstellen!

Zwei Fragen:

1. Für die topologische Typisierung bzw. Ordnung von Lösungsfiguren im "nxn" sollten lediglich formentechnische Eigenarten wie Schrägenkombination etc.  eine Rolle spielen. Fällt Euch zu meinen "T4" und "T7" eine alternative Ordnung ein (a/b/c)? Wenn ja, warum, also nach welchen Alternativkriterien? Schon im "5x5" sieht es nämlich mit den "Echtheitsbeiträgen" (Anzahl "waschechter" gegenüber "halbechter" Figuren innerhalb einer Formengruppe) wieder ganz anders aus! Daher möchte ich dieses Typisierungs-Unterkriterium nicht aufrechterhalten...

2. Meine - vorläufig - 76 "4x4"-Zusatzlösungen waren durch Erweiterung von Figuren aus der "40-er-Lösung" entstanden. Haltet Ihr es für sinnvoll, bei einer gegenüber einer "kürzeren" Variante bis zum letzterreichbaren Rasterpunkt der letzten Linie erweiterten Figur auch noch zu unterscheiden, ob dabei der letzte Punkt "nur erreicht" oder gar "auch noch durchzogen" wird? Einmal wird er zum Polygonpunkt und liegt damit im Sinne Hilberts NICHT ZWISCHEN zwei Punkten der Abschlusslinie, andernfalls tut er das. So oder so wird er jedoch als vermeidbarer Mehrfachpunkt von nur EINER weiteren Linie berührt - anders als bei einem Punkt, der "unterwegs" gleichzeitig Durchzugpunkt der einen Linie und Abbiegepunkt zweier anderer ist... Ich bin hier noch unschlüssig.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.144, eingetragen 2019-08-06


haribo, nicht dass Du meine jüngsten beiträge als bloßen lauwarmen aufguss dessen verstehst, was Du selbst hier schon vor wochen in beachtlicher weise dargestellt hast!

mir geht es bei meinen neuerlichen aufbereitungen um das ziel, einer art von "aufwärts vererbten" strukturen und ihren jeweiligen tragweiten auf die schliche zu kommen.

Bäumlers algorithmus und der von [ps71] haben klargemacht, dass die rechenzeiten ab 7x7 gewaltig ansteigen - effizienzsteigerung hin oder her. meine einschätzung und die meines profs zur berechenbarkeitseinstufung legen nahe, dass spätestens oberhalb 9x9 pragmatisch "schluss mit lustig" ist, weil wir nicht annähernd über die erforderliche rechenleistung verfügen. also muss eine alternative her, die lösungsanzahlen bestmöglich abzuschätzen, oder gar neue lösungen in größeren rastern möglichst vollständig aus bekannten lösungen in kleineren rastern abzuleiten. das, was ich dabei "kombinatorische vererbung" nennen möchte, ist seit meinen konkreten konstruktionsanweisungen für allgemeine lösungen mein untersuchungsgegenstand.

sprich: man fange mit dem 6x6 an, lege "Dein" BAND zunächst schön in die mitte und zeichne darin sechs gleich schräge diagonalen ein - drei abwärts, drei aufwärts. dann: man "nimmt" (n-2) horizontalen und n "diagonalverbinder" - brauchen täte man nur (n-3), hat also 3 "übrig".
schön: zwei davon werden zu einem "buckel", die dritte dient als abschlusslinie. insgesamt: (n-3) diagonalen bleiben übrig, links und rechts des buckels verteilt (n/2-1):(n/2-2). fragen: wieviele möglichkeiten unterschiedlicher schrägen gibt es für die diagonalengruppe jeweils seitlich des "buckels", ohne dass eine davon eine dem "band" unmittelbar benachbarte horizontale im raster schneidet? wieviele reihenfolge-möglichkeiten gibt es, die diagonalen zu durchfahren? wieviele möglichkeiten gibt es, den "buckel" schrägentechnisch auszugestalten? wieviele möglichkeiten gibt es für unterschiedliche abschluss-schrägen? etc.

in no.137 und no.139 hatte ich bereits in die richtung abgeschätzt. aktuell untersuche ich, ob sich alle(!) 6x6-einmal-lösungen ohne abknicken aus der liste von [ps71] - immerhin 732 stück - nach erweiterungsregeln aus den 4x4-lösungen ableiten lassen.

wenn ich etwa 90 prozent "schaffen" könnte, ließe sich das wohl entsprechend von 6x6 nach 8x8 usw. hochrechnen, und man könnte dann etwa den großteil z.b. der 12x12-lösungen aus den 10x10-ern ableiten, die man zuvor aus den 8x8-ern abgeleitet hatte, welche... see what i mean?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.145, eingetragen 2019-08-07


Von "Hybriden" und "Bastarden"...

Der Algorithmus von [ps71] hatte zu "6x6 ohne Abknicken" stattliche 732 Lösungen gefunden.

In leidlicher Kleinarbeit habe ich davon gerade einmal 34 wegsortieren können, die weniger als vier Horizontalen bzw. Vertikalen enthalten.
Die übrigen 698(!) scheinen sich sämtlich nach u.a. haribo-Manier aus dem "4x4-Amboss" ableiten zu lassen!

Von den 34, die hier "aus dem Rahmen fallen", habe ich für 16 eine Art "Hybridisierung" aus jeweils zwei Figuren des "4x4" darstellen können.
Die verbleibenden 18 sind einander sehr ähnlich - ggf. "Hybride" aus drei(!) 4x4-Figuren?!

Bäumler, Dein "K7" (Weisheitszahn) hat sich als einziger "Zwitter" entpuppt, der sich in Gestalt "Sowjetischen Maschendrahtzaunes" ohne Hybridwirkung fortpflanzt.

"Weisheitszahn" und "Rind hinter Zaun" scheinen zu einem größeren Rindvieh zu hybridisieren.

Aus "Fisch" und "Bügeleisen" werden "Kellerasseln".

Zusammen mit dem "Amboss" erzeugt der "Fisch" eine Art "Schwimmasseln".

Der regelmäßige "Maschendrahtzaun" entsteht aus "Stern" und "Amboss".

"Stern" und "Bügeleisen" bewirken Varianten einer "Krone" - womöglich wirkt da sogar noch der "Fisch" mit hinein...

Die möglichen Hintergründe muss ich noch genauer durchdenken.
Welche "Elternfigur" ist ggf. "dominanter"?
Wie errechnet sich ggf. die Anzahl der "Hybridbastarden" aus denjenigen ihrer vermeintlichen "Elternfiguren"? usw.

Was fällt Euch dazu ein?



Die Zahlen in eckigen Klammern nennen die Anzahlen an Lösungsfiguren des abgebildeten Grundtypus. Die Kringel kennzeichnen entweder mögliche "Zackenabsäger" (grün) oder mögliche Abbiegevarianten bzw. "Zackenabsägkombinationen" (blau).

Die eine(!) Variante der "Krone", bei der die linke obere Zacke "ausgefahren" wird, zeigt am Ende die gleiche Art von "Scheinsymmetrie" wie das "Bügeleisen" - wenn das kein Hinweis auf "Vererbung" ist, weiß ich auch nicht...



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.146, eingetragen 2019-08-09


So... die 18 restlichen 6x6-Lösungsfiguren "ohne Abknicken" aus der [ps71]-Liste, die ebenfalls weniger als vier Horizontalen bzw. Vertikalen aufweisen (siehe no.145), habe ich während meiner 4x4-Aufbereitungspausen inzwischen mutmaßlich auch "erlegt".

Es lassen sich in einer Gesamtfigur à la [jcsahnwaldt] insgesamt 7 potenzielle Abbiegepunkte finden, über deren "Abbiegeverwendung" man die 18 Einzelfiguren ableiten kann...

Ich hatte nach den ersten drei solcher Figuren die Gesamtfigur skizziert, die 7 Punkte malerisch(!) "aufgespürt" und dann immerhin 17(!) "ohne zu spickern" ableiten können. Eine - #14 - hatte ich allerdings übersehen...

In der folgenden Darstellung beginnt der Polygonzug stets bei "B2"!



"[ps71-483/732-61\3]" bedeutet:
Lösungsliste [ps71] "6x6 ohne Abknicken", Figur 483 von 732, Seite 61, laufende Nummer 3.

"n" = nicht abbiegen (no turn)
"r" = rechts abbiegen (right turn)
"l" = links abbiegen (left turn)
"w" = weit abbiegen (wide turn)
"s" = scharf abbiegen (sharp turn)

haribo und Bäumler, habt Ihr Euch zufällig schon eine der potenziellen Gesamtfiguren zu den übrigen, 698(!) "Schmetterlings/Amboss"-Lösungen "vorgenommen"?
Sobald ich dazukomme, möchte ich da untersuchen, ob sich die Variationsbreiten im einzelnen mit meinen Rekombinationsvoraussagen in Einklang bringen lassen, bzw. wie sehr ich wo "auf dem Holzweg" bin.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.147, eingetragen 2019-08-09


Aha! Im "8x8" wuselt also allerhand Getier herum...

Bäumler, nachdem Dein "K7" (Weisheitszahn) sich bereits als singuläre Besonderheit für sämtliche geraden Raster entpuppt hat, stellt sich jetzt auch noch Dein "Fisch" als besonders fruchtbarer Zeitgenosse heraus.

Für den "8x8" habe ich mit seiner Hilfe bereits zwei Gattungen aufspüren können:
Die "Langschwanzschwimmassel" und die "Stummelschwanzschwimmassel".
Mit augenscheinlich jeweils sieben topologisch verschiedenen Varianten.
Wie die Anzahl 7 zustande kommt, und ob sich die Tierchen womöglich von Möselwanger Langstrangtang ernähren, bleibt ein Rätsel ;)



An "8x8"-Lösungsfiguren mit bloß zwei Horizontalen habe ich mich bislang vergeblich versucht.
Und für "Kellerasseln" mit vertikal asymmetrischer Verteilung der Horizontalen hatte ich noch keine Zeit.

Allerdings... haribo, kann es sein, dass es außer den von Dir ausgiebig untersuchten "Bändern" zwischen ZWEI Verbinderzeilen auch noch breitere, quasi-reguläre Bereiche geben kann - wie etwa den Asselkorpus - so dass eine Art verbreitertes Gitterband dann eben (n-4), (n-6) usw. Horizontalen halbwegs geordnet miteinander verknüpft?
Dickbauchigere "Motte" statt eleganterem "Schmetterling", sozusagen...



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.148, eingetragen 2019-08-11


Oje... nicht nur, dass die "Stummelschwanzschwimmassel" lediglich eine "Kurzschwanzschwimmassel" ist, nein: Statt der 7 Varianten auf den ersten Blick, tritt sie sogar in mindestens SECHZEHN Abarten auf.



Fallen Euch noch mehr ein?

Zudem habe ich im "8x8" noch einen asseligen Hybriden entdeckt, der aus vier Horizontalen und ansonsten lediglich 45°-Schrägen besteht...



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.149, eingetragen 2019-08-17


Ha! Es gibt sie doch. Zumindest zwei: "Geschummelter" Maschendrahtzaun 8x8 mit zwei Horizontalen... Und beide sogar achsensymmetrisch.





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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.150, eingetragen 2019-08-17


... außerdem noch 3 "Maschendraht-Asseln" - zwei davon achsensymmetrisch...




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.151, eingetragen 2019-08-17


... sowie mindestens ZEHN artverwandte mit teilweise "vertuschten" Vorwärts-Rückwärts-Symmetrien:




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.152, eingetragen 2019-08-17


Heureka!

haribo, nachdem ich tatsächlich auf die schnelle auch noch zwei 10x10-"Maschendraht-Asseln" habe basteln können, drängt sich mir der verdacht auf, dass es sich bei dem "Maschendraht-Korpus" um eine art vertikal "aufgeblasenes" band handelt!?



Wären das dann quasi invers konstruierte "Schmetterlinge" bzw. "Ambosse"?

Hier scheinen in jedem geraden raster solche mit zwei oder vier horizontalen möglich... sein zu müssen...!?

In ungeraden rastern funzt es jedoch irgendwie nicht.

Möglichkeiten für mehr als vier horizontale sehe ich nicht, weil sich das geflecht jeweils links und rechts an höchstens vier stellen "aufknüpfen" lässt und damit auch höchstens vier horizontalen-verbinder möglich scheinen.

Kombinationen mit drei horizontalen bleiben zu prüfen!



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.153, eingetragen 2019-08-17


Meine Ausarbeitung zum 4x4 ist übrigens - endlich! - fast fertig.

Als Typisierungs-Unterkriterium habe ich gefunden:
"Anzahl Polygonpunkte außerhalb des Rasters"

Dadurch sind lediglich meine "T7" (K2/K3) umzutypisieren:
"T7b" (K3) wird zu "T7a" (drei oder vier externe PP)
"T7c" (K2 mit vertikaler Zacke) wird zu "T7b" (zwei bis vier externe PP)
"T7a" (K2 ohne vertikale Zacke) wird zu "T7c" (ein oder zwei externe PP)

Von meinen zwischenzeitlichen, "übererfüllenden" Zusatzfiguren entfallen f53, f55, f57 und f59, weil die verlängerte Querlinie keinen Polygonpunkt trifft.

Dann: Die Unterscheidung zwischen "ohne Abknicken" und "mit Abknicken" beruht darauf, ob ein Polygonpunkt des Polygonzuges auf einen Rasterpunkt fällt oder nicht. Würde man diese Unterscheidung streng auch auf "übererfüllende" Endpunkte anwenden wollen, wie ich es bei vielen meiner Zusatzfiguren getan hatte, müsste man die gleiche Spitzfindigkeit auch auf die Startpunkte übertragen, und dann gäbe es für sämtliche(!) 40, 42, 43 etc. Lösungsfiguren jeweils drei zusätzliche Varianten (Striche beginnen/enden IM Punkt oder ein wenig VOR/NACH dem Punkt).
Das ist offensichtlich Quatsch!
Hier kommt eine entsprechende Erläuterung in die Aufarbeitung, und von den zwischenzeitlichen "übererfüllenden" Lösungsfiguren müssen wieder einige gestrichen werden!

Fehlt nur noch ein letzter Geistesblitz zu einer durchgängigen Ordnungsvorschrift, nach der die dann verbleibenden Figuren konsequent durchnummeriert werden können ("Lösung Nummer so-und-so")...

Im Moment bin ich da bei:
1. "Effizienz" (kürzester Linienzug bei gleicher Linienabfolge)
2. "Echtheit"
3. effektive Weglänge in Rastereinheiten
4. kleinere Abbiegewinkelsumme
Wie "Schönheit" (Stern geschlossen, aber dafür Linienzug um mindestens zwei Rastereinheiten verlängert) gegenüber "Halb-/Scheingeschlossenheit" oder "Echtheitsverlust" im einzelnen stringent zu gewichten ist, bleibt zu klären!

Damit sollte dann die 4x4-Theorie auch auf 5x5, 6x6 etc. übertragbar werden...



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.154, eingetragen 2019-08-18


In Ergänzung zu meinem Beitrag no.150 mag ich zunächst noch 3 "Kurzkopf-Asseln" nachliefern - 2 davon achsensymmetrisch:


Damit beläuft sich der "Maschendraht-/Assel-Beitrag" zum 8x8 auf bislang 1 (siehe no.121) plus 2 (siehe no.149) plus 3 (siehe no. 150) plus 3 (diese hier) plus 10 (siehe no.151) plus 16 (siehe no.148) = 35 "waschechte" Lösungsfiguren. Die Varianten der "Langschwanz-Schwimmasseln" (siehe no.147) bleiben nachzuliefern!
Aber schon jetzt stellen solche Konstruktionen mehr Einzelvertreter im 8x8, als es insgesamt "Nicht-Schmetterlings-/Amboss-Lösungen" im 6x6 gibt. Ein weiterer deutlicher Hinweis auf die "Explosion" der Lösungsräume...



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.155, eingetragen 2019-08-18


Sapristi!

Beim Pinseln der noch ausstehenden "Langschwanz[schwimm]asseln" habe ich bemerken müssen, dass mir bei den anderen hie und da Varianten entgangen sind - nämlich solche, deren Polygonzug bei "A2" auf der zweituntersten Horizontale beginnt...

haribo und Bäumler, falls Euch dazu auch welche einfallen, oder gar solche,
bei denen die nur zwei Horizontalen beide unten liegen, oder bei denen sich drei oder vier Horizontalen asymmetrisch verteilen, dann helft mir bitte auf die Sprünge!
Ich seh' mittlerweile schon vor lauter Maschengewirr keine ganzen Figuren mehr ;)



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.156, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-26


du hattest ja ende juli gesagt ich solle wandern gehen, war also derart drei wochen in den alpen unterwegs (radwandern), schätze jetzt brauchts nochmals einige tage um deine beiträge zu verstehen, sie sehen aber spannend aus! haribo



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.157, eingetragen 2019-08-26


na, haribo: willkommen daheim! ;)

ich hatte mir schon so etwas gedacht. bist gut erholt?

nimm' dir ruhig zeit für meine "8x8-asseln";
in den nun folgenden fünf(!) beiträgen werde ich sämtliche 65(!), die ich bislang finden konnte, zum anschauen und sattsehen vorstellen...
ohne große worte ;)

zunächst die "besondersten" neun:




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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.158, eingetragen 2019-08-26


als nächstes vierzehn "Maschendraht-Asseln":




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cramilu
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zum dritten - die ersten sechzehn von achtundzwanzig "Langschwanz-Asseln":





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cramilu
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zum vierten - die übrigen zwölf von achtundzwanzig "Langschwanz-Asseln":




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cramilu
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und abschließend zum fünften noch vierzehn "Kurzschwanz-Asseln":




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Baeumler16
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.162, eingetragen 2020-04-17


Sätze/Hypothesen zum nxn Punkteproblem
#1 Für alle n>2 existiert mindestens eine Lösung mit höchstens (2n-2) Linien ohne Mehrfachpunkte
>>> Von uns hier im "Matheplaneten" durch konkrete Beispiele und ausdrückliche sequenzielle Konstruktionsanleitungen bewiesen!
#2 Für KEIN n existiert im nxn eine Lösung mit weniger als (2n-2) Linien.
[also etwa (2n-3)]
#3 Für alle n>4 existiert mindestens eine Lösung mit höchstens (2n-2) Linien, so dass keine der Linien das nxn nach "außen" verlässt ("inside the box").
>>> Hier gezeigt
#4 Jede "Inside-The-Box"-Lösung enthält mindestens 3 "Doppel-" oder "Mehrfachpunkte".
#6 Es kann höchstens (n-2)Linien geben, die jeweils n Punkte "exklusiv" enthalten.
[Daraus könnte folgen: Es existieren mindestens n Linien, welche jeweils mindestens
2 Punkte "exklusiv" enthalten.(?)]
#7 Jede Linie muss mindestens 2 Punkte "exklusiv" enthalten.
?#8 "Es können mit 2n-2 Linien nur <n (oder <4?) Punkte doppelt erreicht werden."

#5 Mindestens eine Linie muss n Punkte "exklusiv" enthalten. (Widerlegt durch #41 mit Verlängerung)

Und ein paar Links die wir mittlerweile gefunden haben u.a. mit einem Beweis für die minimale Anzahl der Linien = 2n-2 und für die Anzahl der Linien in einem 4x4x4 Würfel (23)

In Pieter van Delft, Jack Botermans, Eugen Oker: Denkspiele der Welt. 5. Auflage. Heinrich Hugendubel Verlag, München 1985, ISBN 3-88034-087-0, S. 167. war es schon drin, die Erstauflage ist von 1978

chalkdustmagazine.com/features/thinking-outside-outside-box/
Marco Ripà:
vixra.org/pdf/1809.0050v1.pdf
it.scribd.com/document/151724156/Il-Nine-Dots-Puzzle-Esteso-a-nXnXn-v
nntdm.net/volume-25-2019/number-2/68-75/ untere Grenze für k-dimensionale Würfel



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Baeumler16
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.163, eingetragen 2020-04-17


Und der Wikipedia Artikel in Deutsch und Englisch ist soweit fertig:
en.wikipedia.org/wiki/User:25Punkte/16_Punkte_en
de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:25Punkte/16_Punkte



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Baeumler16
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.164, eingetragen 2020-04-18


Eine Darstellung der 4x4x4 Lösung mit 23 Linien aus dem Artikel von Marco Ripà mit geoGebra dargestellt:



Anfang ist bei H3 (unterste Ebene, ganz links, zweite Ebene von vorne, roter Vektor).
Ende ist bei Q3, rechts unten vorn.
Bei Interesse kann ich gerne auch das GeoGebraFile zur Verfügung stellen. Man kann es auch ohne Installation am Webbrowser hochladen und dann zoomen und drehen. www.geogebra.org/3d



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haribo
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oh ha, dass ist ziemlich schwer zum verfolgen dieser verlauf

wird H2 nicht zweimal angelaufen?

ist denn 23 ein bisheriges minimum für 4*4*4?
haribo



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Baeumler16
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ja H2 bzw neu o314 wird 2*berührt. Ich habe die Nummerierung der Punkte nochmal anständig gemacht.
Wenn ich es richtig gelesen habe behauptet Ripa, dass das das Mimimum ist.

Neuer Name für den Anfang ist o311, neues Ende o441





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