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Strukturen und Algebra » Ringe » Ganzes Element
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Universität/Hochschule Ganzes Element
digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-17


Ich habe 2 Fragen die beim lesen der Definition eines ganzen Elementes auftreten de.wikipedia.org/wiki/Ganzes_Element

vorab: Gegeben ist der Ring $R$. Die $R$-Algebra $RA$ sieht dann genau wie aus? Wird die zugehörige Verknüpfung der Algebra dann von der Ring-Multiplikation vererbt, oder um welche Verknüpfung handelt es sich hier?

Als nächstes wird dann eine ganze Zahl $r \in RA$ (ist hier vielleicht R gemeint? Die Elemente stammen doch aus R.) über R definiert als Lösung einer Polynomgleichung $$0=r^n + a_{n-1} r^{n-1} + ... + a_1 r  + a_0 \in R[X] \, .$$ Gibt es nur eine einzige solch einer Polynomgleichung?

Zum Beispiel ist laut de.wikipedia.org/wiki/Ganzheitsring über dem Körper $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ mit d quadratfrei die Ganzheitsbasis gegeben durch $\{1,\sqrt{d}\}$ falls $d \equiv 2,3 \mod 4$ und $\left\{1, \frac{1+\sqrt{d}}{2}\right\}$ falls $d \equiv 1 \mod 4$. Da ein $a+b\sqrt{d} \in \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ im einfachsten Fall nur als Lösung einer quadratischen Gleichung in Frage kommt wäre diese also der naheliegendste Ansatz. Eine kubische Gleichung geht nicht, da dann ein $d^{3/2} \notin \mathbb{Z}$ in der Gleichung verbleibt. Pauschal seh ich aber nicht warum man nicht auch eine quartische Gleichung $x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$ betrachten kann? Setzt man $x=a+b\sqrt{d}$ ein, so ergibt sich als zwingende Bedingung $a_3=-4a$ und $a_1=8a^3 - 2a a_2$ und es verbleibt $a_0 + (b^2d-a^2)a_2 + b^4d^2 - 6a^2b^2d + 5a^4=0$. Oder müssen die $a_k$ frei/unabhängig sein? Dann würde $a=-a_3/4$ eingesetzt in die zweite Gleichung eines der $a_1,a_2,a_3$ fixieren im Widerspruch zu deren Unabhängigkeit. Eine Basis ist demnach also eindeutig?

Warum nennt man diese Elemente "ganz"? Kommt das daher, dass für $K=\mathbb{Q}$ die Polynomgleichung $x+a_0=0$ gerade alle ganzen Zahlen liefert? Warum ist dieser Weg nun gerade die Veralgemeinerung auf beliebige algebraische Zahlenkörper?



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-17


Hallo,


Die Verknüpfung der Algebra gehört zur Algebra, nicht zum Ring.
Ähnlich wie die Skalarmultiplikation im Vektorraum auch nicht vom Körper her "vererbt" wird.
Oft ist A ein Erweiterungsring von R, daher ist eher die Multiplikation von R die Einschränkung derer von A.

Jedes Element von r ist ganz über R als Nullstelle von X-r.

Ganzheitsgleichungen sind nicht eindeutig, multipliziere z.B. mit r bzw. X.

Du kannst quartische Gleichungen betrachten.
Mit Unabhängigkeit hat das hier nichts zu tun.
Außerdem, wie sollen mehrere Elemente eines Körpers von einander unabhängig sein? Ein Körper (über sich selbst) ist ein eindimensionaler VR.
Basen sind nie eindeutig.
DefGanzheitsbasis

 



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-17


2019-06-17 07:32 - qwertzusername in Beitrag No. 1 schreibt:
Die Verknüpfung der Algebra gehört zur Algebra, nicht zum Ring.
Ähnlich wie die Skalarmultiplikation im Vektorraum auch nicht vom Körper her "vererbt" wird.
Beim Vektorraum sind es Vektoraddition und Skalarmultiplikation. Dass das Skalarprodukt was anderes ist, ist ja klar. Hier handelt es sich aber doch beide male um eine "normale" Multiplikation, oder nicht?


Oft ist A ein Erweiterungsring von R, daher ist eher die Multiplikation von R die Einschränkung derer von A.
Was meinst du mit "Einschränkung"? Hast du ein Beispiel?


Ganzheitsgleichungen sind nicht eindeutig, multipliziere z.B. mit r bzw. X.
Das ändert aber nicht wirklich was an der Gleichung. Kann man nicht fordern, dass $a_0 \neq 0$?


Du kannst quartische Gleichungen betrachten.
Mit Unabhängigkeit hat das hier nichts zu tun.
Außerdem, wie sollen mehrere Elemente eines Körpers von einander unabhängig sein? Ein Körper (über sich selbst) ist ein eindimensionaler VR.
Basen sind nie eindeutig.
DefGanzheitsbasis

Die $a_k$ gehören doch nicht zum Körper. Der Körper ist $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$. Was ich mit Unabhängigkeit meine ist, dass die $a_k$ keiner Einschränkung unterliegen dürfen, also dass eines vom anderen abhängt. Oder hast du ein Gegenbeispiel? Lediglich die $a$ und $b$ werden eingeschränkt in ihrem Werteberech von $\mathbb{Q}$ auf mögliche erlaubte Werte z.b. ganzzahlig oder halbzahlig.

Inwiefern macht es sinn, einem $a_k$ einen festen Wert zuzuordnen? Welche andere Basis gibt es denn im Falle von $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$? Die Koeffizienten sollen ja dann immer in $\mathbb{Z}$ sein.



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-17




Die Verknüpfung der Algebra gehört zur Algebra, nicht zum Ring.
Ähnlich wie die Skalarmultiplikation im Vektorraum auch nicht vom Körper her "vererbt" wird.
Beim Vektorraum sind es Vektoraddition und Skalarmultiplikation. Dass das Skalarprodukt was anderes ist, ist ja klar. Hier handelt es sich aber doch beide male um eine "normale" Multiplikation, oder nicht?
Ich kann nicht folgen. Was für beide Male?
Eine Algebra hat eine Abbildung mit den geforderten Eigenschaften, und die nennt und notiert man halt als Multiplikation.
Kenne Ahnung in wie fern die damit normal oder unnormal wird.



Oft ist A ein Erweiterungsring von R, daher ist eher die Multiplikation von R die Einschränkung derer von A.
Was meinst du mit "Einschränkung"? Hast du ein Beispiel?
Betrachte die Ringerweiterung $\mathbb Q \subseteq \mathbb R$. Addition und Multiplikation auf den rationalen Zahlen ist die selbe wie auf den reellen nur mit verkleinertem Definitionsbereich.



Ganzheitsgleichungen sind nicht eindeutig, multipliziere z.B. mit r bzw. X.
Das ändert aber nicht wirklich was an der Gleichung. Kann man nicht fordern, dass $a_0 \neq 0$?
Dann heute 0 keine Ganzheitsgleichung.
Ferner sehe ich zumindest keinerlei Sinn darin für Ganzheitsgleichung irgendeine Minimalität zu fordern.
Es geht hier nur darum, dass so eine Gleichung existiert.
Ich kenne keine Anwendung für die irgendwie relevant wäre wie die Gleichung konkret aussieht.




Du kannst quartische Gleichungen betrachten.
Mit Unabhängigkeit hat das hier nichts zu tun.
Außerdem, wie sollen mehrere Elemente eines Körpers von einander unabhängig sein? Ein Körper (über sich selbst) ist ein eindimensionaler VR.
Basen sind nie eindeutig.
DefGanzheitsbasis

Die $a_k$ gehören doch nicht zum Körper. Der Körper ist $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$. Was ich mit Unabhängigkeit meine ist, dass die $a_k$ keiner Einschränkung unterliegen dürfen, also dass eines vom anderen abhängt. Oder hast du ein Gegenbeispiel? Lediglich die $a$ und $b$ werden eingeschränkt in ihrem Werteberech von $\mathbb{Q}$ auf mögliche erlaubte Werte z.b. ganzzahlig oder halbzahlig.
Es gibt hier zwei Körper die rumspuken, $\mathbb Q (\sqrt{d})$ und $\mathbb Q$. $\mathbb Q (\sqrt{d})$ ist ein $\mathbb Q$-Vektorraum für den hier eine spezielle Basis gesucht wird.
Die $a_k$ haben, wie deine ganze Rechnung, mit der Ganzheitsbasis nichts zu tun.
Du suchst eine Ganzheitsgleichung für x.
Dazu brauchst es Koeffizenten in der Ganzheitsgleichung, das sind die $a_k$.



Inwiefern macht es sinn, einem $a_k$ einen festen Wert zuzuordnen? Welche andere Basis gibt es denn im Falle von $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$? Die Koeffizienten sollen ja dann immer in $\mathbb{Z}$ sein.
Die $a_k$ sind konkrete Werte eines Polynoms zu einem festen x.
Mach das doch mal z.B. für $x=1+\sqrt{d}$.
Andere Basen sind z.B. {$\pm 1, \pm \frac{1-\sqrt{d}}{2}$}



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-09


(2019-06-17 19:08 - qwertzusername in <a
Die $a_k$ haben, wie deine ganze Rechnung, mit der Ganzheitsbasis nichts zu tun.
Wie meinst du das? So wie es da steht, erscheint mir deine Aussage falsch. Warum sollte die Rechnung Falsch sein, wenn ich $a+b\sqrt{d}$ ins polynom einsetze?



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-09


In welches Polynom willst du $a+b \sqrt{d}$ einsetzten und warum?

Es ist hier schon ein bisschen her und mir ist nicht klar was du vorhast.

Du scheinst mir die Begriffe Ganzheitsgleichung und Ganzheitsbasis durcheinander zu schmeißen, die nicht wirklich viel miteinander zu tun haben.



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-09


Also die Ganzheitsbasis ergibt sich nunmal eben aus dem Polynom. Hier mal das Beispiel in dem Körper $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ für den ich ganze Zahlen $a+b\sqrt{d}$ suche. Wenn ich also ein beliebiges $a+b\sqrt{d} \in \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ in die Gleichung
$$x^2 + a_1 x + a_0 = 0$$ einsetze, und anschließend nach $\sqrt{d}$ sortiere, dann ergibt sich
$$b^2d + b(2a+a_1)\sqrt{d} + a^2 + a_1a+a_0 = 0 \, .$$
Nun ist $a,b\in \mathbb{Q}$ und $a_1,a_0 \in \mathbb{Z}$, also kann die Gleichung nur Lösungen haben, wenn $$2a=-a_1 \tag{0}$$ ist; d.h. $a$ ist halb- oder ganzzahlig. Setzt man diese Bedingung oben ein, dann vereinfacht sich die Gleichung zu $$b^2 d - a^2 + a_0 = 0 \tag{1}$$ oder $$(2b)^2d=a_1^2 - 4a_0 \tag{2} \, .$$

Man klappert nun die 4 Fälle ab:

1. $d \equiv 0 \mod 4$: In diesem Fall ist $d$ nicht quadratfrei und es ist nichts weiter zu tun.

2. $d \equiv 1 \mod 4$: Gleichung (1) impliziert $b^2-a^2 \in \mathbb{Z}$; also ist $a+b \in \mathbb{Z}$. $a,b$ sind also beide entweder halbzahlig, oder ganzzahlig. Ergo ist $$x=a+b\sqrt{d} = a+b + 2b \, \frac{-1+\sqrt{d}}{2} = s + t \, \frac{-1+\sqrt{d}}{2}$$ mit $s,t \in \mathbb{Z}$ ein ganzes Element.

3. $d \equiv 2,3 \mod 4$: Ist $a_1$ ungerade in (2), so ist $(2b)^2d \equiv 1 \mod 4$; also Widerspruch, da $b\in \mathbb{Q}$. Es verbleibt also nur $a_1$ gerade, in welchem Fall $a,b\in \mathbb{Z}$ und $x=a+b\sqrt{d}$ ist ein ganzes Element.


Hier habe ich eine Gleichung 2. Grades benutzt. Meine obige Frage zielte darauf ab, was passiert wenn ich höhere Grade betrachte? 3. Grad scheint nicht zu gehen, weil dann $b^3 d^{3/2}$ allein im Polynom steht und somit $b=0$ folgen würde. Das Polynom 4. Grades hatte ich im Eingangspost ja versucht zu erläutern.



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-09



Also die Ganzheitsbasis ergibt sich nunmal eben aus dem Polynom.
Nein. Wie kommst du zu dieser Behauptung?

In dem Beispiel hier z.B. ist die Ganzheitsbasis 2-elementig.
Diese Elemente haben verschiedene Ganzheitsgleichungen/Polynome.


 Hier mal das Beispiel in dem Körper Q(d−−√) für den ich ganze Zahlen a+bd−−√ suche.
Wieso suchst du das?
In welchem Sinne soll $a+b\sqrt{d}$ ganze Zahlen (wieso Plural?) sein?
Ich sehe keinen.

Wieso beschränkt du dich auf eine Gleichung zweiten Grades?


Du scheinst mir hier das Pferd komplett von hinten aufzuzähmen.
Du suchst doch Ganzheitsgleichungen zu Zahlen, oder?
Wieso gibst du dann Polynome vor und suchst deren Lösungen?

Es müsste genau umgekehrt sein.
Die hast Zahlen und suchst Gleichungen/Polynome mit diesen als Lösungen/Nullstellen.



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-10



Nein. Wie kommst du zu dieser Behauptung?
Weil das hier steht: de.wikipedia.org/wiki/Ganzes_Element

Was ich suche ist den ganzen Abschluss von $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$. Also muss ich erstmal nach der Ganzheitsbasis suchen. Ich versteht ehrlich gesagt nicht wieso wir uns hierüber schon streiten?



In dem Beispiel hier z.B. ist die Ganzheitsbasis 2-elementig.
Diese Elemente haben verschiedene Ganzheitsgleichungen/Polynome.
Kannst du diese Gleichungen dann mal hinschreiben?


Wieso suchst du das?
In welchem Sinne soll $a+b\sqrt{d}$ ganze Zahlen (wieso Plural?) sein?
Ich sehe keinen.
Warum ich diese Elemente "ganz" nenne? Wenn man dieses Verfahren auf den Körper $\mathbb{Q}$ anwendet, dann findet man das Polynom $x+a_0=0$, welches gerade die ganzen Elemente von $\mathbb{Q}$ liefert; diese sind aber gerade die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$. So wie ich das Verfahren interpretiere, ist das also eine Verallgemeinerung für beliebige Körper.
Man kann also umgangssprachlich auch von ganzen Elementen sprechen.


Wieso beschränkt du dich auf eine Gleichung zweiten Grades?
Tu ich nicht. Nach der Definition reicht es, wenn es ein Polynom $p(x)$ mit Leitkoeffizient 1 gibt, so dass $p(a)=0$ mit $a\in K$. Wenn dies so ist, dann bezeichne ich $a$ als ganz. Es ist nur natürlich mit den kleinsten Polynomen anzufangen. Für $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ ist ein lineares Polynom offenbar nicht ausreichend. Daher das quadratische Polynom. Und hier fängt dann aber die Eingangsfrage an: Mit dem quadratischen Polynom finde ich also wie oben gezeigt eine Ganzheitsbasis. Diese kann aber doch nicht plötzlich anders aussehen, wenn ich nun das ganze Spiel mit einem quartischen Polynom wiederhole. Ich sehe also noch nicht wie ich auch mit einem Polynom 4. Grades die gleiche Ganzheitsbasis erhalte.


Du scheinst mir hier das Pferd komplett von hinten aufzuzähmen.
Du suchst doch Ganzheitsgleichungen zu Zahlen, oder?
Wieso gibst du dann Polynome vor und suchst deren Lösungen?
Ich suche ALLE ganzen Zahlen. Sprich: den ganzen Abschluss.




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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-07-10




Was ich suche ist den ganzen Abschluss von Q(d−−√). Also muss ich erstmal nach der Ganzheitsbasis suchen. Ich versteht ehrlich gesagt nicht wieso wir uns hierüber schon streiten?
Ich verstehe auch nicht warum es hier irgendwann zu diskutieren gibt.
Wie kommst du zu der Aussage das die Ganzheitsbasis zu suchen ist?
Das ist- wie bereits mehrfach gesagt - falsch.

Zur Bestimmung des Ganzheitsrings ist absolut keine Ganzheitsbasis nötig.
Eine Ganzheitsbasis ist eine spezielle Basis eine Zahlkörpers als $\mathbb Q $-Vektorraum. Die Elemente der Ganzheitsbasis sind Elemente des ganzen Abschlusses.




Kannst du diese Gleichungen dann mal hinschreiben?
Zu welchem Element?
Der Ganzheitsring ist unendlich.


Man kann also umgangssprachlich auch von ganzen Elementen sprechen.
Umgangssprache in der Mathematik zu verwenden ist halt nur keine gute Idee.
Du schriebst ganze Zahlen, jetzt sprichst du wieder von ganzen Elementen.
Das sind jeweils zwei verschiedene fest definierte Begriff, die unterschiedliche Sachen bedeuten (das eine wären hier Zahlen in $\mathbb Z$, das andere Elemente vom ganzen Abschluss von $\mathbb Z$ in $\mathbb Q(\sqrt{d} $) ).
Das ist verwirrend.



 Mit dem quadratischen Polynom finde ich also wie oben gezeigt eine Ganzheitsbasis.
Dasn ist oben nirgendwo gezeigt.



Diese kann aber doch nicht plötzlich anders aussehen,
Tut sie nicht. Wie kommst du darauf?



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-10


2019-07-10 08:08 - qwertzusername in Beitrag No. 9 schreibt:
Ich verstehe auch nicht warum es hier irgendwann zu diskutieren gibt.
Wie kommst du zu der Aussage das die Ganzheitsbasis zu suchen ist?
Das ist- wie bereits mehrfach gesagt - falsch.
Warum diese zu suchen ist? Weil ich mir die Frage selber gestellt habe...
Unter de.wikipedia.org/wiki/Ganzheitsring wird die Ganzheitsbasis für das Beispiel $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ angegeben. Ich wollte schauen wie ich anhand von der Definition eines ganzen Elementes, also der Gleichung, die Ganzheitsbasis ableiten kann.



Zur Bestimmung des Ganzheitsrings ist absolut keine Ganzheitsbasis nötig.
Eine Ganzheitsbasis ist eine spezielle Basis eine Zahlkörpers als $\mathbb Q $-Vektorraum. Die Elemente der Ganzheitsbasis sind Elemente des ganzen Abschlusses.
Inwiefern differentierst du denn zwischen Ganzheitsbasis und Ganzheitsring, ohne jetzt zu pedantisch zu werden? Ganzheitsring ist der ganze Abschluss von $\mathbb{Z}$ in K. Also alle Elemente $x\in K$ die eben diese schöne Gleichung erfüllen. Wenn ich also die Gleichung heranziehe um zu versuchen alle Elemente des ganzen Abschlusses irgendwie darzustellen (mit Hilfe einer Basis), dann taucht ganz automatisch die Ganzheitsbasis auf.


Zu welchem Element?
Der Ganzheitsring ist unendlich.
Du schriebst:

In dem Beispiel hier z.B. ist die Ganzheitsbasis 2-elementig.
Diese Elemente haben verschiedene Ganzheitsgleichungen/Polynome.
Mein Beispiel $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ ist also 2-elementig. Für $d\equiv 1 \mod 4$ z.B. $\left\{ 1 , \frac{-1+\sqrt{d}}{2} \right\}$. Jetzt schreib doch mal für diese beiden Elemente deren Ganzheitsgleichungen hin.




Umgangssprache in der Mathematik zu verwenden ist halt nur keine gute Idee.
Vielleicht. Ich bemühe mich weiterhin nur von ganzem Element zu sprechen, wenn es notwendig ist.


Dasn ist oben nirgendwo gezeigt.
Ähm, bitte? Beitrag No. 6?



Tut sie nicht. Wie kommst du darauf?
Na das würde sich ja zeigen, wenn wir in der Lage wären aus der Gleichung 4. Grades die gleiche Ganzheitsbasis abzuleiten, wie es für die Gleichung 2. Grades in Beitrag No.6 getan wurde.



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-07-10



Inwiefern differentierst du denn zwischen Ganzheitsbasis und Ganzheitsring, ohne jetzt zu pedantisch zu werden?
Da ist nirgendwo Pedanterie drin.
Das sind zwei komplett verschiedene Objekte.
Ganzheitsbasen sind spezielle Basen eines Vektorraums.
Ein Ganzheitsring ist ein Ring.  

Der ganze Abschluss ist kein Vektorraum über den rationalen Zahlen.
In diesem Sinne hat er keine Basis.
Was du nach diesem Halbsatz zu urteilen suchst

um zu versuchen alle Elemente des ganzen Abschlusses irgendwie darzustellen
ist ein (oder mehrere) Erzeuger $\zeta$ der Ringerweiterung $\mathbb Z \subset \mathbb Z^\prime  = \mathbb Z [ \zeta ]$ .

Als Beispiel: Ist $\zeta_n \in \mathbb C$ eine primitive n-te Einheitswurzel. Dann ist der ganze Abschluss von $\mathbb Q (\zeta_n)$ gegeben durch z.B. $\mathbb Z [\zeta_n]$ aber die Ganzheitsbasis ist n-elementig, z.B. $(1, \zeta_n,\zeta_n^2, \ldots , \zeta_n^{n-1})$



Mein Beispiel Q(d−−√) ist also 2-elementig.
$\mathbb Q(\sqrt{d}) $ ist ein (abzählbar) unendlicher Körper.



Jetzt schreib doch mal für diese beiden Elemente deren Ganzheitsgleichungen hin.

Die zwei Elemente in Klammern?
$X-1$ und $X^2+X-\frac{d-1}{4}$



Ähm, bitte? Beitrag No. 6?
Da ist ein Beweis, dass die Elemente ganz sind.
Kein Beweis, dass es eine Ganzheitsbasis ist.



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Saki17
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Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-07-17


Hallo digerdiga & qwertzusername,

ich habe eure bisherige Diskussion nicht in allen Details gelesen. Im Folgenden möchte ich versuchen, digerdigas Fragen im Themenstart zu beantworten.

Die R-Algebra RA sieht dann genau wie aus? Wird die zugehörige Verknüpfung der Algebra dann von der Ring-Multiplikation vererbt, oder um welche Verknüpfung handelt es sich hier?
Zunächst würde ich die $R$-Algebra einfach mit $A$ bezeichnen.

Eine $R$-Algebra $A$ über einem kommutativen Ring $R$ ist per Definition ein Ring $A$ mit einem (fixierten) Ringhomomorphismus $R\to A$, diese Definition sollte deine 2. Frage oben erklären. Ich weiß nicht, wie ein Ring/Algebra im Allgemeinen "aussieht".

Nachtrag: Wenn $A$ nicht kommutativ ist, fordert man noch, dass $f(R)A=Af(R)$ ist, wobei $f: R\to A$ der vorgegebene Ringhomomorphismus ist.

gibt es nur eine einzige solch einer Polynomgleichung?
wenn die Ringerweiterung $R\subset S$ Integritätsbereiche sind, ja: Man kann zeigen, dass $b\in B\subset Quot(B)$ ganz über $A$ ist genau dann, wenn das Minimalpolynom $f\in Quot(A)[X]$ von $b$ über $Quot(A)$ $A$-Koeffizienten hat. Und Minimalpolynom ist eindeutig. In dieser Hinsicht verallgemeinert der Begriff "ganz" den "algebraisch".

Zum Abschnitt um $\IQ(\sqrt{d})$. Es gilt allgemein: Der Ganzheitsring $O_K$ des Zahlköprers $K$ ist ein freier $\IZ$-Modul vom endlichen Rang (vgl. Neukirch, "Algebraische Zahlentheorie", Satz I.2.10). Im Allgemeinen ist eine Basis nicht eindeutig bestimmt (ihre Kardinalität schon).

Gleichungen vom höheren Grade ist komplizierter, vielleicht darum betrachtet man Polynome von möglichst niedrigen Graden, die Nullstellen von ganzen Elementen sind.

Warum nennt man diese Elemente "ganz"? Kommt das daher, dass für K=Q die Polynomgleichung x+a0=0 gerade alle ganzen Zahlen liefert?
ich glaube der Name beruht darauf, dass bestimmtes Element in $\IC$ eine ganzzahige Gleichung erfüllt.

Warum ist dieser Weg nun gerade die Veralgemeinerung auf beliebige algebraische Zahlenkörper?
Manchmal ist es hilfreich, nicht nur Erweiterungen der Form $\IQ\subset K$ bzw. $\IZ\subset O_K$ zu betrachten, sondern auch die Zwischenerweterungen.



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