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  Riemannsche Zahlenkugel |
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erik92
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 09.05.2019
Mitteilungen: 182
 |  Themenstart: 2019-06-25
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Hallo wir haben am Montag in der Vorlesung die Riemannsche Zahlenkugel eingeführt und natürlich auch direkt eine Übungsaufgabe dazu bekommen. Mit der habe ich aber einige Probleme...
Die Aufgabe lautet:
Sei \IS^2 ={(x_1,x_2,x_3)\el\ \IR^3 :x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 =1} die Riemannsche Zahlenkugel. Der Punkt N=(0,0,1) bezeichnet man auch als Nordpol. Zeigen Sie:
a) Die Abbildungen
\phi:\IC->\IS^2 \\{N}, z->( (z+z^-)/(1+abs(z)^2) , (z-z^-)/i(1+abs(z)^2) , (abs(z)^2 -1)/(1+abs(z)^2) )
und
\psi: \IS^2 \\{N}->\IC , (x_1 ,x_2 ,x_3) -> (x_1 +ix_2)/(1-x_3)
sind stetig und invers zueinander. Deuten Sie \phi und \psi geometrisch.
b) Geraden in \IC werden von \phi in Kreislinien in \IS^2 durch den Nordpol überführt. Umgekehrt wird jede
Kreislinie in \IS^2 durch den Nordpol von \psi in eine Gerade in \IC überführt.
c) Kreislinien in \IC werden von \phi in Kreislinien in \IS^2 \\{N} überführt. Umgekehrt werden Kreislinien in
\IS^2 \\{N} von \psi in Kreislinien in \IC überführt.
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Mit a) habe ich abgesehen von der geometrischen Interpretation eigentlich keine Probleme.
Ins Stocken komme ich allerdings bei b) und c), da ich nicht verstehe, wie ich sowas zeigen soll. Vor allem liegt der Nordpol nach Def. der beiden Abbildungen in a) nicht im Bild von \phi bzw. nicht im Urbild von \psi. Wie soll ich mir dann aber Kreislinien vorstellen, die den Nordpol nicht annehmen aber durch ihn laufen??? In dem Buch, das ich mir für die Vorlesung gekauft habe ist leider nach dem Riemannschen Abbildungssatz Schluß und die Riemannsche Zahlenkugel wird nicht einmal erwähnt. Kann mir hier jemand evtl. weiterhelfen?
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Ex_Senior
| Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-25
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Das ist eine Bastelaufgabe mit geometrischer Vorstellung. zu a) Wenn Du $\IC$ mit der $x_1x_2$-Ebene identifizierst, dann liegen $z$ und $\varphi(z)$ auf einer Gerade durch $N$; Stichwort stereografische Projektion.
Einen Kreis auf $S^2$ kannst Du als Schnitt von $S^2$ und einer Ebene in $\IR^3$ beschreiben. Das sollte bei b),c) helfen.
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supermonkey
Senior
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 314
 | Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-26
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Hi,
ja, das ist in der Tat etwas verwirrend, aber vielleicht hilft es dir zu wissen, dass die Abbildung $\psi$ fortgesetzt werden kann indem man $N$ auf einen unendlich fernen Punkt abbildet. Das heisst man erhält eine Abbildung nach $\mathbb P^1{_\IC}=\IC\cup \infty$.
Bei dieser stereographischen Projektion wird für $x\in S^2$, die Gerade durch $x$ und $N$ mit $\IC$ geschnitten.
Eine Kreislinie durch $N$ wird dann sozusagen an $N$ "aufgemacht, gerade gezogen und auf $\IC$ gelegt", wobei $N$ dabei ins Unendliche verschwindet. Die "horizontalen" Kreislinien bleiben im Wesentlichen unverändert, sie werden nur in die Ebene projiziert.
Tipp: Um zu zeigen, dass eine Menge eine Kreislinie auf $S^2$ ist, reicht es zu zeigen, dass alle ihre Punkte denselben Abstand zu einer Ursprungsgeraden haben.
Für technische Details bitte nachfragen, aber erstmal selber probieren ;)
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erik92
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Dabei seit: 09.05.2019
Mitteilungen: 182
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-26
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Hallo vielen Dank für eure Tipps. Ich werde mich gleich nochmal an die Aufgabe setzen.
Kann ich mir eine beliebige Ursprungsgerade wählen? Also z.b. f(x)=0?
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supermonkey
Senior
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 314
| Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-26
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Du m u s s t eine beliebige Ursprungsgerade wählen, soll ja für alle solche gelten. Was du genau mit $f(x)=0$ meinst ist mir nicht ganz klar. Wenn du $\IC$ mit $\IR^2$ identifizieren willst und $ax+by=0$ meinst, dann ja. Ich würde dir aber die Parameterdarstellung empfehlen.
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erik92
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Dabei seit: 09.05.2019
Mitteilungen: 182
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-27
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Hallo ich habe ziemlich Probleme mit dem Rechnen in dieser Aufgabe. Leider sogar mit dem Nachrechnen der Stetigkeit obwohl ich mir dort eigentlich sicher war. Daher wollte ich einmal fragen ob meine Definitionen überhaupt richtig sind:
Gerade in \IC:
G={r exp(i\phi) + x:x\el\ \IC fest,\phi\el\ \IR fest,r\el\ \IR}
Kreislinie auf \IS^2:
K={z\el\ \IS^2 : abs(z-a)=r : r\el\ \IR konstant, X={x;0;0, x\el\ \IR }
Kreislinie in \IC:
K_a = {z\el\IC: abs(X-z)=r : r\el\ \IR konstant, a\el\IC fest}
Stetigkeit:
lim(z->z_0,abs(\phi(z)-\phi(z_0)))=a , a\el\ \IR
lim(z->z_0,abs(\psi(z)-\psi(z_0)))=a , a\el\ \IR
Ich hatte beim zeigen der Stetigkeit überlegt, einen Punkt im \IR^3 ebenfalls wie im \IR^2 darzustellen, nur dass ich noch einen weiteren Winkel hinzufüge. Geht das? Aber eigentlich müsste es doch einen einfacheren Weg geben Stetigkeit zu zeigen oder? Leider ist das Arbeiten mit dem \IR^n bei mir ewig her. Konnte man Stetigkeit nicht auch zeigen, wenn alle Richtungsableitungen existieren? Ich finde meine alten Unterlagen leider nicht mehr...
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erik92
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Dabei seit: 09.05.2019
Mitteilungen: 182
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-28
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Teil a) habe ich inzwischen doch hinbekommen. Für die Stetigkeit habe ich einfach die Grenzwerte in jedem Argument einzeln betrachtet. Dadurch war es viel einfacher:
Sei P^~=((x_1)^~ ,(x_2)^~ ,(x_3)^~) ein beliebiger Punkt
Dann habe ich gezeigt, dass
lim(P->P^~,abs(\psi(P)-\psi(P^~)) ex. und
z^~ \el\ \IC beliebig.
lim(z->z^~,abs(\phi(z)-\phi(z^~))=(0,0,0) Also ex. auch dieser Grenzwert. Damit folgt Stetigkeit. (Hoffe das ist so erlaubt)
Ich versteh aber immer noch nicht, wie ich b) und c) nachrechnen soll. Ich kriege es nicht hin die Geraden und Kreislinien vernünftig mathematisch zu formulieren. Wenn man es sich geometrisch vorstellt, ist klar das b) und c) gelten aber wie man das nachrechnet verstehe ich nicht. Finden tue ich dazu leider auch nichts :-(
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erik92
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-28
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Ich habe die Aufgabe nun etwas anders gelöst. Ich hab durch vieles Nachlesen sowohl bei b) als auch bei c) jeweils eine Richtung zeigen können. Anschließend habe ich Bijektivität nachgewiesen wodurch, falls ich mich nicht irre jeweils die andere Richtung ebenfalls folgt.
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erik92 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
erik92 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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