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Lineare Algebra » Determinanten » Charakteristisches Polynom über F^3
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Universität/Hochschule J Charakteristisches Polynom über F^3
student1994
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-02


Hallo,
ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Vielleicht kann mir hier jemand helfen.

Ich soll die Jordan Normalform für folgende Matrix berechnen:
fed-Code einblenden fed-Code einblenden

Ich soll dazu zunächst das charakteristische Polynom berechnen. Da habe ich schon meine Schwierigkeiten, da es im Körper F3 ist. Ich weiß, dass ich Laplace benutzen muss und die Zahlen 0,1,2 habe.

Nun habe ich in der Lösung stehen:
fed-Code einblenden
bis hier hin ist es ja nur die Laplace- Entwicklung.
Jetzt haben wir als Ergebnis : fed-Code einblenden

und hier verstehe ich nicht, wie die auf die Zahl kommen. Ich habe versucht und warum ich überhaupt ^4 bekomme. Ich weiß ja, dass 1 eine Nullstelle ist (wegen (1-\lambda) * det(...) oder ist das nur Zufall?
.... Bleiben also noch 2 3x3 Matrizen, die ich ja mithilfe  der Sarrus Regel lösen könnte..

also meine Frage: wie komme ich auf das Polynom vom Grad 4, um die Eigenwerte daraus zu bestimmen?

 





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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

das mit dem Polynom vom Grad 4 ist schnell erklärt: bei der Entwicklung nach der dritten Zeile bekommst du ja vor die erste Determinante (die nicht verschwindet) im Vorfaktor auch ein \(\lambda\). Da die Determinanten selbst  Polynome 3. Ordnung liefern, muss das hier ja 4. Ordnung sein.

Nachgerechnet, ob das Polynom stimmt, habe ich jetzt aber nicht. Die Laplace-Entwicklung ist jedoch korrekt.

Und wie du richtig erkannt hast: wenn du das nachrechnen möchtest, musst du die Determinanten ausrechnen. Und da ist hier natürlich die Sarrus'sche Regel erste Wahl.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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student1994
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-02


Hallo Diophant,

vielen Dank  für deine Hilfe.

Ich komme aber leider immer noch nicht auf das Ergebnis.
Ich habe zum Beispiel als Charakteristisches Polynom von der ersten Determinante :
fed-Code einblenden

und von der 2. Determinante
fed-Code einblenden
=

fed-Code einblenden

Wie bekomme ich jetzt alles so zusammen, dass ich auf fed-Code einblenden



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

also grundsätzlich sollte man sich selbst irgendwie kneifen, wenn bei einer Rechnung in \(\IF_3\) die Zahl 6 vorkommt...

Versuchen wir mal, das auseinanderzunehmen. Die Regel von Sarrus ergibt für die erste Determinante den folgenden Term:

\[\ba
-\lambda(2-\lambda)(-\lambda)+1+2-2(2-\lambda)+2\lambda+2\lambda&=\lambda^2(2-\lambda)-2(2-\lambda)+\lambda\\
\\
&=-\lambda^3+2\lambda^2-1
\ea\]
Das ist aber jetzt nur die eigentliche Determinante, das musst du noch mit dem Vorfaktor multiplizieren!

Versuche jetzt mal, das nachzuvollziehen, bedenke, dass sich alles in \(\IF_3\) abspielt, d.h., wir haben etwa \(3=0,\ 4=1,\ 5=2,\ \dotsc\).

Dann rechne die andere Determinante aus und am Ende alles zusammen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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student1994
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-02


Ahhhh okay, das heißt ich darf in den Zwischenschritten auch nicht aus dem Körper raus kommen. Ich usste nicht, ob man alles am Ende "umwandelt" oder schon beim rechnen. So macht das natürlich Sinn.
jetzt habe ich

fed-Code einblenden
oder ?

Das 2. char. Polynom ist dann
fed-Code einblenden

Wenn ich das 2. char. Polynom vom 1. abziehe  habe ich:
fed-Code einblenden

warum nehme ich an dieser Stelle denn 1 statt -2? Das ist in diesem Körper ja dasselbe. Einfach weil es schöner aussieht?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-07-02 16:52 - student1994 in Beitrag No. 4 schreibt:
Wenn ich das 2. char. Polynom vom 1. abziehe  habe ich:
fed-Code einblenden

warum nehme ich an dieser Stelle denn 1 statt -2? Das ist in diesem Körper ja dasselbe. Einfach weil es schöner aussieht?

Nein, sondern weil -2 kein Element von \(\IF_3\) ist...

Dann scheint ja jetzt alles soweit zu passen und du kannst dich in die eigentliche Aufgabenstellung (die Berechnung der JNF) stürzen.

Die Fehler, die dir unterlaufen sind, sollten nichts damit zu tun haben, dass du mit deinen Rechnungen außerhalb von \(\IF_3\) gelandet bist. Da geht es ja um Restklassen modulo 3, das verursacht keine Fehler, sondern man rechnet eben nicht mit Elementen, die nicht Teil der betrachteten Struktur sind.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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student1994
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-02


Vielen Dank! Habe die Aufgabe jetzt verstanden :)

Eine Frage noch zu F3. Wir hatten manchmal auch Aufgaben wo wir mit negativen Zahlen gerechnet haben. Ist das eigentlich nie möglich oder gibt es ausnahmen ? Wir hatten das z.B. beim addieren bzw. subtrahieren bei der Polynomdivision in F11.



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-02


$\IF_3$ ist ein Körper, also insbesondere eine abelsche Gruppe. Es muss also möglich sein, das additive Inverse des Elementes 2, also -2, zu bilden. Und in der Tat gilt hier -2 = 1.

Die Sorge, mit irgendwelchen Rechnungen "außerhalb" des Körpers zu landen ist völlig unbegründet. Die Verknüpfungen von algebraischen Strukturen, also z.B. die Addition $+:K\times K\to K$, sind ja gerade so definiert, dass das Ergebnis wieder in der Menge ($K$) enthalten ist.

Wenn man $\IF_3$ als Restklassenring $\IZ/3\IZ$ definiert hat, dann ist -2 ohnehin eine Kurzschreibweise für die Restklasse [-2], somit gilt automatisch ...=[-5]=[-2]=[1]=[4]=...

Im Allgemeinen hat man für jeden Ring $R$ stets einen eindeutigen Ringhomomorphismus $i: \IZ\to R$ und schreibt bspw. $-5$ für $i(-5)$, damit hätte man also ebenfalls ...=-5=-2=1=4=...


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-07-02


2019-07-02 19:08 - student1994 in Beitrag No. 6 schreibt:
Eine Frage noch zu F3. Wir hatten manchmal auch Aufgaben wo wir mit negativen Zahlen gerechnet haben. Ist das eigentlich nie möglich oder gibt es ausnahmen ?

Es ist immer möglich. In $\mathbb F_3$ gilt z.B. $-1=2$. Es macht folglich überhaupt keinen Unterschied, ob du $-1$ oder $2$ schreibst.

(Gerade bei der $-1$ ist es auch durchaus üblich, diese beim Rechnen in $\mathbb F_p$ so stehen zu lassen und nicht durch $p-1$ zu ersetzen.)



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student1994
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-04


Vielen Dank an alle !! Ihr seid echt eine große Hilfe!



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