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Zahlentheorie » Teilbarkeit » Beweis: Wenn a+b ungerade, dann a*b gerade
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Universität/Hochschule Beweis: Wenn a+b ungerade, dann a*b gerade
sugarREE
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.03.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-07


Ich soll die oben beschriebene Implikation beweisen, also:

Falls a+b ungerade, dann a*b gerade.

Meine Erkenntnisse: Da ich weiß, dass gerade + ungerade = ungerade, muss a oder b jeweils gerade und ungerade sein, also müsste ich im Prinzip nur gerade*ungerade = gerade beweisen, aber ich würde es gerne ohne dieses "Vorwissen" lösen. Einfach weil es mich wurmt, dass ich nicht auf den anderen Weg komme. Das einzige was ich weiß, ist, damit a+b ungerade ist, muss gelten, dass a+b = 2n + 1.

Sprich, wie kann ich beweisen, dass a*b gerade (2m) ist, indem ich nur die Information a+b ist ungerade (2n+1) nutze?

Vielen Dank im Voraus für sämtliche Lösungsvorschläge und Denkanstöße!

MfG
sugarREE



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MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1980
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-07


Hallo sugarRee,
Du hast $a+b=2m+1$. Ersetze nun $b$ durch $2m+1-a$ und berechne das Produkt. Frage Dich dann, warum Du sicher sein kannst, dass das Produkt durch 2 teilbar ist.

Ciao,

Thomas



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1629
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

teile doch \(2n+1\) in eine Summe der Form \(2k+2m+1\) mit \(n=k+m\) auf.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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sugarREE
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.03.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Erstmal vielen Dank für die schnellen Antworten! Dieses Forum ist wirklich der absolute Wahnsinn

2019-07-07 18:50 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo sugarRee,
Du hast $a+b=2m+1$. Ersetze nun $b$ durch $2m+1-a$ und berechne das Produkt. Frage Dich dann, warum Du sicher sein kannst, dass das Produkt durch 2 teilbar ist.

Hatte auch überlegt, nach 2m+1 -a umzuformen, aber bin leider mit dem Produkt nicht weitergekommen. Beim Einsetzen in a*b gelange ich zu a*b = 2ma - a^2 + a. Die 2 rausziehen kann ich nicht und warum mir das beweist, dass a*b gerade ist. Über weitere Hilfestellung wäre ich dankbar.


2019-07-07 18:51 - Diophant in Beitrag No. 2 schreibt:

teile doch \(2n+1\) in eine Summe der Form \(2k+2m+1\) mit \(n=k+m\) auf.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Gilt dann, dass a = 2k und b= 2m+1 ? Und dann einfach a*b = gerade beweisen? Wieso ist die Aufteilung in 2k+2m+1 erlaubt, das verstehe ich leider nicht..



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-07


Hallo,

2019-07-07 19:55 - sugarREE in Beitrag No. 3 schreibt:
Gilt dann, dass a = 2k und b= 2m+1 ? Und dann einfach a*b = gerade beweisen? Wieso ist die Aufteilung in 2k+2m+1 erlaubt, das verstehe ich leider nicht..

Na ja, wenn du von a: gerade und b: ungerade ausgehst, dann sollte das doch eigentlich 'selbsterklärend' sein.  smile


Gruß, Diophant



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-07


2019-07-07 19:55 - sugarREE in Beitrag No. 3 schreibt:
Hatte auch überlegt, nach 2m+1 -a umzuformen, aber bin leider mit dem Produkt nicht weitergekommen. Beim Einsetzen in a*b gelange ich zu a*b = 2ma - a^2 + a. Die 2 rausziehen kann ich nicht und warum mir das beweist, dass a*b gerade ist. Über weitere Hilfestellung wäre ich dankbar.

Wenn Du passend ausklammerst, hast Du
$$a\cdot b=2ma-a(a-1)$$Das soll nun durch 2 teilbar sein. Dass $2ma$ durch 2 teilbar ist, sollte offensichtlich sein. $ab$ ist also dann durch 2 teilbar, wenn auch $a(a-1)$ durch 2 teilbar ist. Das ist auch tatsächlich der Fall. Warum?

Ciao,

Thomas



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sugarREE
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-08


2019-07-07 21:01 - MontyPythagoras in Beitrag No. 5 schreibt:

Wenn Du passend ausklammerst, hast Du
$$a\cdot b=2ma-a(a-1)$$Das soll nun durch 2 teilbar sein. Dass $2ma$ durch 2 teilbar ist, sollte offensichtlich sein. $ab$ ist also dann durch 2 teilbar, wenn auch $a(a-1)$ durch 2 teilbar ist. Das ist auch tatsächlich der Fall. Warum?

Ahh! Oh je, man muss echt immer alles im Überblick haben und auf Kleinigkeiten achten, wenns an sowas geht, klammere ich dann zum Beispiel immer überall a raus, aber so wie Du es gemacht hast, ist es natürlich viel besser, weil dann der Anfang 2ma logischerweise direkt gerade ist.
Beim a(a-1) habe ich überlegt, dass es durch 2 teilbar ist weil:
1. Fall: a ist gerade: dann ist a*(a-1) ja gerade*(ungerade) und das ist gerade.
2. Fall: a ist ungerade: dann haben wir ungerade*(gerade) und das ist ebenfalls gerade.

Ist das korrekt oder gibt es da eine einfachere Erklärung? Vielen Dank nochmal für Deine ausführliche Hilfestellung und dass Du mich bei der Lösung trotzdem einbindest - nur so lernt man es richtig! Wirklich super freundlich! smile



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-08

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-07-08 18:31 - sugarREE in Beitrag No. 6 schreibt:
2019-07-07 21:01 - MontyPythagoras in Beitrag No. 5 schreibt:

Wenn Du passend ausklammerst, hast Du
$$a\cdot b=2ma-a(a-1)$$Das soll nun durch 2 teilbar sein. Dass $2ma$ durch 2 teilbar ist, sollte offensichtlich sein. $ab$ ist also dann durch 2 teilbar, wenn auch $a(a-1)$ durch 2 teilbar ist. Das ist auch tatsächlich der Fall. Warum?

Ahh! Oh je, man muss echt immer alles im Überblick haben und auf Kleinigkeiten achten, wenns an sowas geht, klammere ich dann zum Beispiel immer überall a raus, aber so wie Du es gemacht hast, ist es natürlich viel besser, weil dann der Anfang 2ma logischerweise direkt gerade ist.
Beim a(a-1) habe ich überlegt, dass es durch 2 teilbar ist weil:
1. Fall: a ist gerade: dann ist a*(a-1) ja gerade*(ungerade) und das ist gerade.
2. Fall: a ist ungerade: dann haben wir ungerade*(gerade) und das ist ebenfalls gerade.

Ist das korrekt oder gibt es da eine einfachere Erklärung?...

Das ist korrekt. Bezüglich einer einfacheren Erklärung möchte ich nochmals auf meine Überlegung hinweisen. Seien o.B.d.A. \(a\) gerade und \(b\) ungerade, dann kann man mit \(a=2k\) und \(b=2m+1\) die Summe natürlich darstellen als

\[a+b=2k+2m+1=2(k+m)+1\]
was insbesondere ungerade ist. Das Produkt ist dann

\[a\cdot b=2k\cdot(2m+1)\]
und das ist offensichtlich gerade.  smile


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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sugarREE
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-08

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-07-08 18:36 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:
Das ist korrekt. Bezüglich einer einfacheren Erklärung möchte ich nochmals auf meine Überlegung hinweisen. Seien o.B.d.A. \(a\) gerade und \(b\) ungerade, dann kann man mit \(a=2k\) und \(b=2m+1\) die Summe natürlich darstellen als

\[a+b=2k+2m+1=2(k+m)+1\]
was insbesondere ungerade ist. Das Produkt ist dann

\[a\cdot b=2k\cdot(2m+1)\]
und das ist offensichtlich gerade.  smile

Vielen herzlichen Dank auch Dir für Deine Mühen. Dein Weg ist sicherlich schneller und ein wenig simpler, ich wollte aber gerne auf die Lösung kommen ohne davon auszugehen, dass a gerade und b ungerade. Einfach nur um den anderen Weg zu verstehen.

Eine Frage ist mir bezüglich a(a-1) nochmal aufgekommen. Ich wollte versuchen, es nochmal detaillierter zu beweisen und habe mal eingesetzt:

1. Fall a ist gerade: a = 2k einsetzen:
2k*(2k-1) = 4k^2 -2k = 2(2k^2-k) ist gerade.

2. Fall a ist ungerade: a = 2k+1 einsetzen:
2k*(2k+2) = 4k^2 + 6k + 2
2 ausklammern = 2(2k^2+3k+1)

Reicht das um zu beweisen, dass bei beiden Fällen das Ergebnis gerade ist? Sprich, ist es egal was in der Klammer steht? Solange ich eine 2 ausklammern kann, ist das Ergebnis auf jeden Fall gerade oder?
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-07-08

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-07-08 18:56 - sugarREE in Beitrag No. 8 schreibt:
2019-07-08 18:36 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:
Das ist korrekt. Bezüglich einer einfacheren Erklärung möchte ich nochmals auf meine Überlegung hinweisen. Seien o.B.d.A. \(a\) gerade und \(b\) ungerade, dann kann man mit \(a=2k\) und \(b=2m+1\) die Summe natürlich darstellen als

\[a+b=2k+2m+1=2(k+m)+1\]
was insbesondere ungerade ist. Das Produkt ist dann

\[a\cdot b=2k\cdot(2m+1)\]
und das ist offensichtlich gerade.  smile

Vielen herzlichen Dank auch Dir für Deine Mühen. Dein Weg ist sicherlich schneller und ein wenig simpler, ich wollte aber gerne auf die Lösung kommen ohne davon auszugehen, dass a gerade und b ungerade. Einfach nur um den anderen Weg zu verstehen.

Auch der Ansatz von MontyPythagoras geht davon aus, dass \(a+b\) ungerade ist (denn das ist ja die Frage aus dem Themenstart).

2019-07-08 18:56 - sugarREE in Beitrag No. 8 schreibt:
Eine Frage ist mir bezüglich a(a-1) nochmal aufgekommen. Ich wollte versuchen, es nochmal detaillierter zu beweisen und habe mal eingesetzt:

1. Fall a ist gerade: a = 2k einsetzen:
2k*(2k-1) = 4k^2 -2k = 2(2k^2-k) ist gerade.

2. Fall a ist ungerade: a = 2k+1 einsetzen:
2k*(2k+2) = 4k^2 + 6k + 2
2 ausklammern = 2(2k^2+3k+1)

Hier verstehe ich nicht, was du machst. Der Witz an Monty's Ansatz ist ja gerade der, dass man sich nicht darum kümmern muss, welche von den Zahlen \(a\) und \(b\) gerade und welche ungerade ist.

Bei meinem Ansatz muss man das zwar theoretisch, wegen der Symmetrie bzw. der Kommutativität von Addition und Multiplikation dann auch wieder doch nicht. Darauf habe ich versucht, mit der Abkürzung o.B.d.A. hinzuweisen. Vermutlich kennst du die (noch) nicht. Sie steht für ohne Beschränkung der Allgemeinheit, was hier so viel meint, dass der Fall \(b\): gerade und \(a\): ungerade \(\Rightarrow\) \(a\cdot b\) gerade aus Symmetriegründen folgt und nicht extra betrachtet werden muss.

Für das Produkt \(a\cdot(a-1)\) gibt es die Möglichkeiten

- \(a=2k\ \Rightarrow\ a\cdot(a-1)=2k\cdot(2k-1)\ \text{ist gerade}\)
- \(a=2k-1 \Rightarrow\ a\cdot(a-1)=(2k-1)\cdot(2k-2)=2\cdot(2k-1)\cdot(k-1)\ \text{ist gerade}\)


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-07-18


(sorry, verdoppelt, siehe unten)



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-07-18


Sei v die 2-adische Bewertung. Sei a+b ungerade, also v(a+b)=0. Wäre ab ungerade, dann folgt 0=v(ab)=v(a)+v(b). Da a, b ganze Zahlen sind, also v(a), v(b) >=0, folgt v(a)=0=v(b). Nun wegen 0=v(a+b)>=min(v(a),v(b)) gilt  v(a)=(a+b)=v(b), d.h. a=cb mit einer ungeraden Zahl c (Elemente mit derselben Bewertung unterscheiden sich um eine Einheit, und die Einheiten in dem Fall sind diejenigen rationalen Zahlen, deren Zähler und Nenner ungerade sind). Aber dann wird a+b gerade.



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-07-18

\(\begingroup\)\( \DeclareMathOperator{\Et}{\acute{E}t} \DeclareMathOperator{\et}{\acute{e}t} \DeclareMathOperator{\etale}{\acute{e}tale} \DeclareMathOperator{\Gl}{GL} \DeclareMathOperator{\PGL}{PGL} \DeclareMathOperator{\PSL}{PSL} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\equi}{equi} \DeclareMathOperator{\Hecke}{Hecke} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\Jac}{Jac} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\HF}{HF} \DeclareMathOperator{\HS}{HS} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\trdeg}{trdeg} \DeclareMathOperator{\mod}{mod} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\log}{log} \DeclareMathOperator{\Log}{Log} \DeclareMathOperator{\Nm}{Nm} \DeclareMathOperator{\Con}{Con} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Ob}{Ob} \DeclareMathOperator{\Emb}{Emb} \DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} \DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} \DeclareMathOperator{\scale}{scale} \DeclareMathOperator{\Sper}{Sper} 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Angenommen $ab$ ist ungerade, also sind $a$ und $b$ ungerade. Dann ist die Summe gerade. $\qed$

Man braucht nur, dass die Summe ungerader Zahlen gerade ist, aber das ist trivial.



-----------------
Poincaré and Erdős went to an étalé party at Čech's
with an adèle and an étale as gifts. Čech was happy.
\(\endgroup\)


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HellsKitchen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-07-19


Variante: Rechnen in \(\mathbb{F}_2\):

\(a + b = 1\)       // ungerade
\(a² + ab = a\)  // mal a
\(a + ab = a\)     // \(a² =a \)
\(ab = 0\)          // gerade

Gruß
HellsKitchen



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