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Moderiert von Wally haerter
Differentialgleichungen » Partielle DGL » Methode der Charakteristiken für lineare Systeme
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Universität/Hochschule Methode der Charakteristiken für lineare Systeme
SchinkenPizza
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-19


Liebe Mathe-Community,

ich habe letztens in der Vorlesung die Methode der Charakteristiken für partielle Differentialgleichungen kennengelernt.

Aktuell suche ich eine Lösung \(f(t,x) = [f_1(t,x), f_2(t,x)]^T\) auf dem Gebiet \((x,t) \in [0,T] \times [0,L]\) für das folgende Problem:

\[
f_t(t,x) + C f_x(t,x) = M f(t,x) \\
f_1(t,0) = g_1(t) \\
f_2(t,L) = g_2(t)
\]
Eine Anfangsbedingung dazu sei passend gegeben und die Matrix C ist diagonal mit den Einträgen \(c, -c \in \mathbb{R}\) auf der Diagonalen.

Wenn jetzt die Matrix M auch diagonal ist, so kann ich für die einzelnen Gleichungen die Methode der Charakteristiken anwenden, wie ich sie kennen gelernt habe:
1) Ich parametrisiere den Ort mit der Zeit, d.h. \(x = x(t)\) und \(z(t) = f_1(t,x(t))\)
2) Ich löse das Gleichungssystem \(\dot{x}(t) = c\) und \(\dot{z}(t) = m z(t)\)
3) Ich nutze die Randbedingung \(f_1(t,0) = g_1(t)\) und erhalte folgende Lösung für \(x < ct\):
\[f_1(t,x) = \exp (m \frac{x}{c}) g_1(t - \frac{x}{c}) \]
Analog kann ich auch die Lösung für \(f_2(t,x)\) finden.

Jetzt mein Problem:
Wenn M keine Diagonalmatrix ist, also wenn M z.B. überall 1 ist, dann ist das System gekoppelt und ich kann die Gleichungen nicht mehr unabhängig voneinander betrachten..

Was ich versucht habe:
Ich habe trotzdem den Ort mit der Zeit parametrisiert und dann die Gleichung \(\dot{Z}(t) = M Z(t) \) gelöst ( \(Z(t) = [z_1(t), z_2(t)]^T \) ), d.h. ich habe \(z(t) = \exp(Mt) z_0 \) berechnet (mittels Jordan-Normalform, \(z_0 = [z_{01}, z_{02}]^T\)).
Das ergibt eine Lösung für \(z_1(t)\) und \(z_2(t)\) abhängig von \(z_{01}\) und \(z_{02}\).
Dann habe ich den ersten Randwert in die Gleichung für \(z_1(t)\) eingesetzt, den zweiten Randwert in die Gleichung für \(z_2(t)\) und dann das Gleichungssystem nach \(z_{01}\) und \(z_{02}\) gelöst.

Die berechnete Lösung hat dann auch die Randwerte erfüllt, jedoch nicht die PDE...

Kann ich denn die Methode der Charakteristiken überhaupt auf PDE-Systeme anwenden? Und wenn ja, habe ich in meinem Lösungsweg einen Denkfehler?
Ich habs ein paar mal nachgerechnet, kommt immer das gleiche raus..

VG SchinkenPizza






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