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 Drehsymmetrie von Punktgruppen [war: 5-zählige Drehachse] |
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iwanttolearnmathe
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 06.06.2019
Mitteilungen: 172
 |  Themenstart: 2019-07-19
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Hallo Leuts,
Ich hätte noch ein etwas mathematisches Problem mit der Tatsache warum es keine 5-zählige 7 und größer zählige Achsen gibt. Wenn ich mir das im Zweidimensionalen mal ansehe heißt es oft als Begründung das man keine komplette fläche mit Fünfecken Siebenecken usw. ausfüllen kann aber ich sehe nicht warum das dann impliziert das es keine derartigen zähligen Drechachsen geben kann.
Beispielsweise kann ich doch ein Fünfeckmuster, das nicht den kompletten Raum ausfüllt um genau immer 2pi/5 Winkel drehen und ich bekomme das gleiche Muster.
Hoffe ihr könnt mir helfen
Beste Grüße
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4966
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-19
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\quoteon(2019-07-19 09:25 - iwanttolearnmathe im Themenstart)
Ich hätte noch ein etwas mathematisches Problem mit der Tatsache warum es keine 5-zählige 7 und größer zählige Achsen gibt.
\quoteoff
Du beziehst dich vermutlich auf die folgende Aussage: Wenn eine Drehung $D$ um einen Winkel $\varphi=2\pi/n$ mit $n\in\mathbb N$, $n\ge 2$ ein zweidimensionales Gitter $T=\{a\,\mathbf u+b\,\mathbf v:a,b\in\mathbb Z\}$ in einer Ebene senkrecht zur Drehachse oder ein beliebiges dreidimensionales Gitter $T=\{a\,\mathbf u+b\,\mathbf v+c\,\mathbf w:a,b,c\in\mathbb Z\}$ in sich selbst abbildet, dann muss $n\in\{2,3,4,6\}$ sein.
Im zweidimensionalen Fall reicht es für einen Beweis, sich den Vektor $D\mathbf u+D^{-1}\mathbf u$ anzuschauen: Dieser Vektor ist parallel zu $\mathbf u$ und hat die Länge $|\mathbf u|\cdot2\cos\frac{2\pi}n$. Er kann daher nur dann in $T$ liegen, wenn $2\cos\frac{2\pi}n$ ganzzalig ist, und dafür gibt es nur vier Möglichkeiten:
1. $n=2$, $2\cos\frac{2\pi}n=-2$
2. $n=3$, $2\cos\frac{2\pi}n=-1$
3. $n=4$, $2\cos\frac{2\pi}n=0$
4. $n=6$, $2\cos\frac{2\pi}n=1$
Im dreidimsionalen Fall ist die Argumentation ähnlich, man muss nur $\mathbf u$ durch einen geeignet konstruierten Vektor ersetzen. Das kannst du hier auf Seite 101 nachlesen.
--zippy
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iwanttolearnmathe
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Dabei seit: 06.06.2019
Mitteilungen: 172
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-19
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Hey zippy,
Danke schonmal du erklärst das echt immer gut. Die Herleitung mathematisch hab ich auch schon im Demtröder gefunden und auch verstanden, ich frage mich halt nur warum man so oft argumentiert:" Es gibt keine 5-zähligen Drehachsen weil es kein Fünfeck-Bild gibt das den Raum komplett ausfüllt."
Kannst du mir was dazu sagen?
Beste Grüße Jan
PS: cos(pi) ist nicht -2 :P
Obwohl eine Frage hab ich noch, was ist dein D und D^-1? sind die Invers oder warum bezeichnest du die so?
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zippy
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| Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-19
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\quoteon(2019-07-19 11:18 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 2)
PS: cos(pi) ist nicht -2 :P
\quoteoff
In 1. bis 4. fehlte der Faktor $2$ von oben.
\quoteon(2019-07-19 11:18 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 2)
Obwohl eine Frage hab ich noch, was ist dein D und D^-1? sind die Invers oder warum bezeichnest du die so?
\quoteoff
Ja, $D^{-1}$ ist die inverse Drehung zu $D$.
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iwanttolearnmathe
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-19
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Ja alles gut hab ich mir schon gedacht.
Asoo dann ist das also so gemeint das du einmal um den Winkel drehst und dann um den gleichen wieder zurück nicht wahr? So geht's natürlich auch
Wie genau kommst du dann noch darauf das dann diese Länge so aussieht mit dem 2cos?
Aber warum man dieses Argument dann benutzt kannst du mirleider auch nicht sagen oder?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4966
| Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-19
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\quoteon(2019-07-19 17:54 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 4)
Wie genau kommst du dann noch darauf das dann diese Länge so aussieht mit dem 2cos?
\quoteoff
Schau dir diese Skizze an:
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iwanttolearnmathe
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-20
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ja stimmt hab mich vertan bei einer Rechnung, ich kam nicht auf das, Dankeschön :)
Jetzt bleibt leider immer noch die Frage mit dem Argument warum man keine 5 zähligen und ab 7-zählige Achsen haben kann, hoffe mir kann dazu wer was sagen.
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| iwanttolearnmathe hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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