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| Autor |
  Ungleichung (aus einem Chernoff Bound) abschätzen |
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yellowyeti
Neu 
Dabei seit: 20.07.2019
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2019-07-20
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Hallo,
ich habe ein Problem mit der Vereinfachung eines Terms den ich durch einen Chernoff Bound bekommen habe. Der Term sieht folgendermaßen aus:
\[
\left(e^{\frac{\ln n}{\ln \Delta}} \left( 1 + \frac{\ln n}{\ln \Delta} \right)^{-\left(1 + \frac{\ln n}{\ln \Delta} \right)} \right)^{\ln \Delta}
\]
Laut einem Paper kann man zeigen dass dieser Term
\[
\leq n^{-(\ln 4 - 1)}
\]
ist. Leider sehe ich nicht wie man darauf kommt. Wäre sehr froh wenn mir jemand einen Tipp hätte. Für die Variablen $n, \Delta \in \mathbb{N}$ gilt $1 \leq \Delta \leq n$.
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Squire
Senior 
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 901
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-20
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Servus yellowyeti und willkommen auf dem Planeten!
$\left(e^{\frac{\ln n}{\ln \Delta}} \left( 1 + \frac{\ln n}{\ln \Delta} \right)^{-\left(1 + \frac{\ln n}{\ln \Delta} \right)} \right)^{\ln \Delta}=$
$=n\cdot\left(\left( 1 + \frac{\ln n}{\ln \Delta} \right)^{-\left(1 + \frac{\ln n}{\ln \Delta} \right)} \right)^{\frac{\ln \Delta \ln n}{\ln n}}=$
$=n\cdot\left(\left( 1 + \frac{\ln n}{\ln \Delta} \right)^{-\left(1 + \frac{\ln \Delta}{\ln n} \right)} \right)^{\ln n}$
Wenn du jetzt $x=\frac{\ln \Delta}{\ln n}$ setzt, hast du mit ein wenig Differentialrechnung zu zeigen $\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{-\left(1 + x \right)} \leq \frac{1}{4}$ im Intervall 0 bis 1.
Grüße Squire
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yellowyeti
Neu
Dabei seit: 20.07.2019
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21
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Danke Squire,
tatsächlich leichter als gedacht :)
auf die Idee dass man ja $0 < x \leq 1$ gegeben hat und da
\[
\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-1-x}
\]
monoton steigt, bei x=1 das Maximum im Intervall sein muss, wäre ich nicht alleine gekommen.
Die einzige Abschätzung die mir gestern noch eingefallen ist (eben ohne auszunutzen dass $x$ in einem begrenzten Intervall liegt), ist folgende:
\[
\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-1-x} = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-1} \leq e^{-1} \cdot 1 \leq \frac{2}{5}
\]
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