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Mathematik » Topologie » Covering Spaces - Rotman
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Universität/Hochschule J Covering Spaces - Rotman
vava123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-23


Hallo,

ich hätte mal eine Frage zum Buch 'An Introduction to Algebraic Topology' von J. Rotman zu der Definiton von 'Covering Spaces'.
Zunächst wird der Begriff 'evenly covered' wie folgt definiert.

Seien $\tilde{X},X$ topologische Räume und $p:\tilde{X}\to X$ stetig. Eine offene Menge $U\subset X$ heißt $\textbf{evenly covered}$ von $p$, falls $p^{-1}(U)$ die disjunkte Vereinigung offener Mengen $\tilde{U}_i \subset \tilde{X}$ ist, sodass $p|_{\tilde{U}_i}:\tilde{U}_i \to U$ ein Homöomorphismus für jedes $i$ ist.

Dazu meine erste Frage/Überlegung:
Lässt sich eine offene Menge $U \subset X$ finden mit $p^{-1}(U)=\emptyset$, dann ist dieses $U$ nach obiger Definiton 'evenly covered'. Ist nämlich $\mathcal{F}$ die leere Familie der Teilmengen von $\tilde{X}$, so ist $\bigcup \mathcal{F}=\emptyset$ und $\mathcal{F}$ ist eine Familie paarweise disjunkter, offener Teilmengen von $\tilde{X}$. Für jedes $\tilde{U} \in \mathcal{F}$ ist natürlich auch $p|_\tilde{U}:\tilde{U} \to U$ ein Homöo., weshalb $U$ 'evenly covered' von $p$ ist.
Stimmt diese Argumentation soweit? Mit Rotmans Definiton von 'Covering Spaces':

Für einen topologischen Raum $X$ heißt das Paar $(\tilde{X},p)$ $\textbf{covering space}$ von $X$, wenn:
(i)   $\tilde{X}$ ist wegzusammenhängend
(ii)  $p:\tilde{X} \to X$ ist stetig
(iii) für jedes $x \in X$ exisitiert eine offene Umgebung $U$, die
      'evenly covered' von $p$ ist.

würde das dann bedeuten, dass mit $p:\emptyset \to X$ das Paar $(\emptyset,p)$ 'Covering Space' für einen beliebigen topologischen Raum $X$ ist. Dieses p ist dann in den allermeisten Fällen nicht surjektiv. Auf der nächsten Seite des Buches wird dann allerdings gezeigt, dass $p$ immer surjektiv ist, was für meine Interpretation von 'evenly covered' aber ja scheinbar nicht der Fall ist.

Ist das Buch einfach etwas unpräzise indem es nicht noch voraussetzt, dass die Familie $\mathcal{F}$ der offenen disjunkten Mengen nichtleer ist, oder übersehe ich etwas grundsätzliches?

LG vava



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-23

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Was hindert dich daran $U=\emptyset$ zu nehmen?
Du kannst aber auch zum Beispiel die stetige Inklusionsabbildung $p\colon \R\hk \C$ nehmen. dann ist zum Beispiel $p^{-1}(B_\eps(i))=\emptyset$ wenn $\eps$ hinreichend klein ist.
Beachte, dass dann aber $\wt{U}\to U$ kein Homeomorphismus sein kann, aus Kardinalitaetsgruenden. Links steht die leere Menge mit $0$ Elementen, rechts steht eine nicht-leere Menge.
Wenn angenommen wird, dass $p$ surjektiv sein soll -was bei covering spaces Sinn macht- dann ist $p^{-1}(U)=\emptyset\implies \emptyset=p(\emptyset)=p(p^{-1}(U))=U$.

Konnte ich deine Frage beantworten?

edit:
Deine Argumentation stimmt nicht:
$\widetilde{U}\to U$ kann kein Homeomorphismus sein, wenn links etwas leeres und rechts etwas nicht-leeres steht.





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Poincaré and Erdős went to an étalé party at Čech's
with an adèle and an étale as gifts. Čech was happy.
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vava123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-23


Zu deinem edit:
Ich habe nur behauptet das für jedes $\tilde{U} \in \mathcal{F}$ die Einschränkung von $p$ ein Homöo ist. Das sollte trivialerweise gelten, da $\mathcal{F}$ leer ist und für jedes Element der leeren Menge ja alles gilt.
Also analog zu dem Alg. Topo. Buch von Hatcher, bei dem die Projektion $p$ ja nicht surjektiv sein muss. Die Surjektivität von $p$ wird bei Rotman nämlich aus der Definiton gefolgert und nicht vorausgesetzt. Ob die Konstruktion mit dem leeren Covering Space so sinnvoll ist sei mal dahingestellt, aber meiner Meinung nach ist es einer, der die Definition erfüllt.

Also so wirklich zufriedenstellend konnte das meine Frage leider nicht beantworten. (Das ein leere Raum zu einem nichtleeren Raum nicht homöomorph ist, ist mir bewusst.)



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lucceius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-23


Hallo vava123,

apriori geht aus der Definition nicht hervor, dass p surjektiv sein muss (s. dazu auch Hatcher Algebraic Topology, der darauf hinweist mit genau deinem Argument).
Tatsächlich ist aber p bereits surjektiv, wenn der überdeckte Raum zusammenhängend ist (was bei dir durch wegzshgd. gegeben ist). Der Beweis dafür ist eine einfache Übungsaufgabe: Zeige, dass die Bildmenge sowohl offen als auch abgeschlossen ist und nichtleer.

Gruß
lucceius

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-23


@xiao_shi_tou_:
2019-07-23 16:37 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 1 schreibt:
Deine Argumentation stimmt nicht:
$\widetilde{U}\to U$ kann kein Homeomorphismus sein, wenn links etwas leeres und rechts etwas nicht-leeres steht.
Das ist schon ok. Falls $p^{-1}(U)$ leer ist, gibt es kein $\tilde U$, auf dem homöomorph geprüft werden muß.

Ein Vergleich mit anderen Autoren. Im Jänich, Topologie ist surjektiv teil der Definition einer Überlagerung. Im Forster, Riemannsche Flächen wird eine Überlagerung, wie bei Rotman definiert. Anschließend wird gezeigt, dass $p$ surjektiv ist, falls $\tilde X$ nicht leer und $X$ wegzusammenhängend ist (hier könne auch $X$ zusammenhängend ausreichen).

Auf der nächsten Seite des Buches wird dann allerdings gezeigt, dass p immer surjektiv ist, was für meine Interpretation von 'evenly covered' aber ja scheinbar nicht der Fall ist.
Gibt es dort noch weitere Bedingungen unter denen surjektiv gezeigt wird?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-23

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2019-07-23 17:04 - TomTom314 in Beitrag No. 4 schreibt:
@xiao_shi_tou_:
2019-07-23 16:37 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 1 schreibt:
Deine Argumentation stimmt nicht:
$\widetilde{U}\to U$ kann kein Homeomorphismus sein, wenn links etwas leeres und rechts etwas nicht-leeres steht.
Das ist schon ok. Falls $p^{-1}(U)$ leer ist, gibt es kein $\tilde U$, auf dem homöomorph geprüft werden muß.

Ein Vergleich mit anderen Autoren. Im Jänich, Topologie ist surjektiv teil der Definition einer Überlagerung. Im Forster, Riemannsche Flächen wird eine Überlagerung, wie bei Rotman definiert. Anschließend wird gezeigt, dass $p$ surjektiv ist, falls $\tilde X$ nicht leer und $X$ wegzusammenhängend ist (hier könne auch $X$ zusammenhängend ausreichen).

Auf der nächsten Seite des Buches wird dann allerdings gezeigt, dass p immer surjektiv ist, was für meine Interpretation von 'evenly covered' aber ja scheinbar nicht der Fall ist.
Gibt es dort noch weitere Bedingungen unter denen surjektiv gezeigt wird?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
Das ist interessant. War mir gar nicht bewusst. Es ist also wie gesagt $\emptyset\to U\not=\emptyset$ kein Homöomorphismus, doch für die Argumentation ist das kein Problem, da man keinen Homöomorphismus prüfen muss!?
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lucceius
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2019-07-23 17:08 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 5 schreibt:
2019-07-23 17:04 - TomTom314 in Beitrag No. 4 schreibt:
@xiao_shi_tou_:
2019-07-23 16:37 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 1 schreibt:
Deine Argumentation stimmt nicht:
$\widetilde{U}\to U$ kann kein Homeomorphismus sein, wenn links etwas leeres und rechts etwas nicht-leeres steht.
Das ist schon ok. Falls $p^{-1}(U)$ leer ist, gibt es kein $\tilde U$, auf dem homöomorph geprüft werden muß.

Ein Vergleich mit anderen Autoren. Im Jänich, Topologie ist surjektiv teil der Definition einer Überlagerung. Im Forster, Riemannsche Flächen wird eine Überlagerung, wie bei Rotman definiert. Anschließend wird gezeigt, dass $p$ surjektiv ist, falls $\tilde X$ nicht leer und $X$ wegzusammenhängend ist (hier könne auch $X$ zusammenhängend ausreichen).

Auf der nächsten Seite des Buches wird dann allerdings gezeigt, dass p immer surjektiv ist, was für meine Interpretation von 'evenly covered' aber ja scheinbar nicht der Fall ist.
Gibt es dort noch weitere Bedingungen unter denen surjektiv gezeigt wird?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
Das ist interessant. War mir gar nicht bewusst. Es ist also wie gesagt $\emptyset\to U\not=\emptyset$ kein Homöomorphismus, doch für die Argumentation ist das kein Problem, da man keinen Homöomorphismus prüfen muss!?
In dem Fall ist es einfach eine leere Aussage, die dann automatisch wahr ist.
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vava123
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also erstmal zu lucceius:
Es soll nur $\tilde{X}$ wegzusammenhängend sein, nicht notwendigerweise $X$. Und daraus würde meiner Meinung dann auch nur folgen, dass $p^{-1}({x})$ die gleiche Kardinalität für alle $x\in X$ hat. Eventuell können also auch alle Urbilder leer sein, was dann ja bedeuten würde, dass $\tilde{X}=\emptyset$ und dann wäre $p$ nur surjektiv wenn $X=\emptyset$.

zu TomTom314:
Es wird, außer ich übersehe das natürlich, nichts weiteres gefordert als das was ich bisher geschrieben habe. Der Beweis der Surjektivität geht dann so:
Sei $x \in X$, dann ex. offene Umgebung $U$ die 'evenly covered' ist und dann gilt $p(p^{-1}(U))=U$, also $x \in \operatorname{Bild}(p)$. Das ist meiner Meinung aber nur richtig, wenn auch $\tilde{U}\subset p^{-1}(U)$ existiert, dass homöo. zu $U$ ist.

Hier ist übrigens eine pdf-Version des Buches:
'-->Google'
Auf Seite 273 fängt die Definition an.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Es wird, außer ich übersehe das natürlich, nichts weiteres gefordert als das was ich bisher geschrieben habe. Der Beweis der Surjektivität geht dann so:
Sei $x \in X$, dann ex. offene Umgebung $U$ die 'evenly covered' ist und dann gilt $p(p^{-1}(U))=U$, also $x \in \operatorname{Bild}(p)$. Das ist meiner Meinung aber nur richtig, wenn auch $\tilde{U}\subset p^{-1}(U)$ existiert, dass homöo. zu $U$ ist.
Der Beweis ist falsch. $p(p^{-1}(U))=U$ gilt nur, wenn $p:p^{-1}(U)\to U$ schon surjektiv ist, was ja gezeigt werden sollte.



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