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Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Linearisierung mit Taylor
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Universität/Hochschule Linearisierung mit Taylor
Badabahm1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-15


Hallo ihr Lieben,

ich muss ein System aus vier gewöhnlichen nicht linearen Differentialgleichungen erster Ordnung um einen Punkt linearisieren.
Da springt einem natürlich sofort Taylor ins Auge. Leider ist mir im mehrdimensionalen nicht ganz klar wie das funktionieren soll. Zudem kommt beim benutzen der Taylorformel wegen des Entwicklungspunktes bei mir überall Null raus...

Das System hat die Form:
\[\begin{cases}
        \dot{u}=p\;,\;\dot{p}=-u(a-bu-cv)\\
        \dot{v}=q\;,\; \dot{q}=-v(d-eu-fv)
    \end{cases}\] mit u,v, Funktionen, der Punkt entspricht einer Ableitung nach x und dem Entwicklungspunkt x=(u,p,v,q)=(0,0,1,0).

Schon vorab Danke für die Mühe!

Grüße,
Badabahm1



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-15

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Hallo Badabahm1,

die Differentialgleichung lässt sich ja etwas kompakter schreiben als

\[\dot y=F(y)\]
wobei $y=(u,p,v,q)$ ein Vektor ist, und

\[F:\R^4\to\R^4,\\F(u,p,v,q)=\vector{p\\ -u(a-bu-cv)\\ q\\ -v(d-eu-fv)}.\]
Um die DGL jetzt zu linearisieren, musst du einfach $F$ bis zu erster Ordnung Taylorentwickeln. Das geht auch im mehrdimensionalen nicht schwierig, es ist einfach

\[T_1f(y;y_0)=F(y_0)+\D F(y_0)\cdot(y-y_0).\]
$y_0$ ist bei dir $(0,0,1,0)$ und $\D F(y_0)$ ist die Jacobimatrix von $F$ an der Stelle $y_0$. Dann lautet die DGL

\[\dot y=F(y_0)+\D F(y_0)\cdot(y-y_0).\]
Diese DGL ist (u.U. inhomogen) linear.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Badabahm1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-16


Hallo Vercassivelaunos,

super vielen Dank für deine Hilfe! Ich vermute das ist genau das was ich brauche, bin dann doch noch einmal in der Mitte hängen geblieben. Was ich ausgerechnet habe:
\[F(y_0)=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\-d+f \end{pmatrix}\] \[DF(y)=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\-a+2bu+cv & 0 & cu & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\ev & 0 & -d+eu+2fv & 0 \\\end{pmatrix}\] und somit:
\[DF(y_0)=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\-a+c & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\e & 0 & -d+2f & 0 \\\end{pmatrix}\] \[(y-y_0)=\begin{pmatrix} u\\p\\v-1\\q \end{pmatrix}\] Somit folgt für \(F(y_0)+DF(y_0)*(y-y_0)\):
\[\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\-d+f \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\-a+c & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\e & 0 & -d+2f & 0 \\\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} u\\p\\v-1\\q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p\\(-a+c)u\\q\\-f+eu-dv+2fv \end{pmatrix}\] und genau da weißt ich nicht weiter.

Mein entgültiges Ziel ist es, das System in der Form \(\dot{\overline{x}}=H\overline{x}\) darstellen zu können und dann die EW der Matrix H zu bestimmen. Präferiert hat H zwei positive EW der Form \(\lambda_1=\sqrt{c-a},\lambda_2=\sqrt{d}\) und zwei negative.

Vielen Dank!
Liebe Grüße,
Badabahm1



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-18

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Ich habe deine Schritte nicht nachgerechnet, die sehen aber plausibel aus. Ich denke nicht, dass du die DGL in ein System der Form $\dot x=Hx$ bringen kannst, da die DGL inhomogen ist. Du kannst es aber in die Form $\dot y-Hy=a$ mit einem konstanten Vektor $a$ bringen. Dann kannst du die gewohnte Methode zur Lösung inhomogener DGLs verwenden (Lösung homogen + partikuläre Lösung inhomogen).
\(\endgroup\)


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