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 Komplexer Logarithmus |
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Sid123
Junior 
Dabei seit: 08.08.2019
Mitteilungen: 14
 |  Themenstart: 2019-08-19
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Hallo , ich bin es nochmal...
Ich habe noch eine Fragen zum komplexen Logarithmus.
Gibt es einen Zweig des Logarithmus für den 1^(1/2) und (-1)^(1/2) definiert sind und (-1)^1/2 = -i gilt?
Ich weiß also, dass ich einen Logarithmus brauche der weder die negative noch die Positive Achse ausgeschlossen hat.
Und allgemein gilt
z^(1/2) = sqrt(abs(z))*e^((i*arg(z))/2)
kann ich vielleicht die positive imaginäre Achse ausschließen? Aber wie wäre dann mein Argument definiert?
Grüße
Sid
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4968
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-19
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\quoteon(2019-08-19 11:33 - Sid123 im Themenstart)
kann ich vielleicht die positive imaginäre Achse ausschließen? Aber wie wäre dann mein Argument definiert?
\quoteoff
Das läge in $\left(-\frac32\pi,\frac12\pi\right)$ und der zugehörige Zweig des Logarithmus würde wegen $\log(-1)=-i\pi$, $\exp\left(\frac12\log(-1)\right)=\exp\left(-i\frac\pi2\right)=-i$ doch leisten, was du möchtest.
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Sid123
Junior
Dabei seit: 08.08.2019
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19
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Danke für deine Antwort, aber ich verstehe leider nicht so ganz wie du auf log(-1)=-i*pi kommst.
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Sid123
Junior 
Dabei seit: 08.08.2019
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19
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Es ist doch dann arg(z^1/2) Element von (-3/4pi,1/4*pi)
log(-1)= log(1) + i*arg(-1) = arg(-1), aber arg(-1)=pi liegt doch dann gar nicht mehr in dem Bereich (-3/4pi,1/4*pi), oder?
Und wo bekommst du überhaupt das minus vor dem pi her?
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4968
| Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-19
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\quoteon(2019-08-19 17:22 - Sid123 in Beitrag No. 2)
Danke für deine Antwort, aber ich verstehe leider nicht so ganz wie du auf log(-1)=-i*pi kommst.
\quoteoff
Mit der Auswahl eines Zweigs von $\arg z$ durch die Forderung $\arg z\in\left(-\frac32\pi,\frac12\pi\right)$ wird aufgrund der Beziehung $\log z=\log|z|+i\arg z$ auch ein Zweig des komplexen Logarithmus ausgewählt. Und für diesen Zweig gilt $\log(-1)=-i\pi$ wegen $\arg(-1)=-\pi$. Und Letzteres gilt, da von den Zahlen $\pi+k\cdot2\pi$ für $k\in\mathbb Z$ nur $\pi-2\pi=-\pi$ in dem Intervall $\left(-\frac32\pi,\frac12\pi\right)$ liegt.
\quoteon(2019-08-19 17:47 - Sid123 in Beitrag No. 3)
aber arg(-1)=pi liegt doch dann gar nicht mehr in dem Bereich (-3/4pi,1/4*pi), oder?
\quoteoff
So ist es, und deshalb ist für unseren Zweig ja auch nicht $\arg(-1)=\pi$, sondern $\arg(-1)=-\pi$.
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Sid123
Junior
Dabei seit: 08.08.2019
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19
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Ahhh! jetzt habe ich es verstanden.
Vielen Dank! :D
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