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  Fehlerabschätzung von e |
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Morpheus1711
Junior 
Dabei seit: 11.07.2019
Mitteilungen: 19
 |  Themenstart: 2019-08-26
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Hallo,
ich hänge an folgender Aufgabe und wäre um Hilfe dankbar:
\
Für n\el\ \IN_>0 gilt die Fehlerabschätzung
00 sei y_m:=sum(1/k!,k=n+1,n+m);
y_m->e-sum(1/k!,k=0,n)
(b) (m+n)!*y_m\inf,y_m)=lim(m->\inf,(n!*y_m))
=lim(m->\inf,(1/(n+1)+1/((n+1)*(n+2))+...+1/((n+1)*...*(n+m)))
<=lim(m->\inf,sum((1/(n+1))^k,k=1,m)=1/n
(an dieser Stelle nur ein "<=", da zwar die folgengleider echt kleiner sind, aber das im Allgemeinen ja nicht bedeutet, dass der Grenzwert echt kleiner ist.)
Also folgt e-sum(1/k!,k=0,n)<=1/(n*n!)
Ich muss also nur noch zeigen, dass es sich um eine echte Ungleichheit handelt. Hierbei bräuchte ich dann Hilfe. (Die Tatsache, dass e irrational ist darf ich nicht benutzen)
Gruß, Morpheus1711
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10921
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-26
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Hallo,
\quoteon(2019-08-26 18:13 - Morpheus1711 im Themenstart)
Hallo,
ich hänge an folgender Aufgabe und wäre um Hilfe dankbar:
\
Für n\el\ \IN_>0 gilt die Fehlerabschätzung
00 sei y_m:=sum(1/k!,k=n+1,n+m);
y_m->e-sum(1/k!,k=0,n)
(b) (m+n)!*y_m\inf,y_m)=lim(m->\inf,(n!*y_m))
=lim(m->\inf,(1/(n+1)+1/((n+1)*(n+2))+...+1/((n+1)*...*(n+m)))
<=lim(m->\inf,sum((1/(n+1))^k,k=1,m)=1/n
(an dieser Stelle nur ein "<=", da zwar die folgengleider echt kleiner sind, aber das im Allgemeinen ja nicht bedeutet, dass der Grenzwert echt kleiner ist.)
Also folgt e-sum(1/k!,k=0,n)<=1/(n*n!)
Ich muss also nur noch zeigen, dass es sich um eine echte Ungleichheit handelt. Hierbei bräuchte ich dann Hilfe. (Die Tatsache, dass e irrational ist darf ich nicht benutzen)
\quoteoff
M.E. nach ist deine Sorge unbegründet. Du arbeitest hier ja mit dem Grenzwert einer geometrischen Reihe, da ist es doch offensichtlich, dass wenn man bei einer solchen Reihe auch nur einen Summanden verkleinert, so verkleinert sich auch der Reihenwert. Da bei dir alle Summanden bis auf einen kleiner sind, gilt hier die strikte Ungleichheit, würde ich mal sagen.
Gruß, Diophant
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Morpheus1711
Junior
Dabei seit: 11.07.2019
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-26
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Hallo Diophant,
es ist wirklich offensichtlich. Deshalb bin ich auch davon ausgegangen, dass man das leicht zeigen kann. Gibt es denn ein Kriterium, das gelten muss, damit man von \(a_n
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10921
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-26
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Hallo,
beachte, dass es sich in der Eingangsfrage um einen Reihengrenzwert handelt und nicht um den Grenzwert der Summanden.
Gruß, Diophant
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Morpheus1711 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Morpheus1711 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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