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 BWM 2019, 2. Runde |
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Math314
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 |  Themenstart: 2019-09-04
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Hallo miteinander,
in den letzten Jahren wurde immer einige Zeit nach Einsendeschluss über die Aufgaben der 2. Runde vom Bundeswettbewerb hier im Forum diskutiert. Da noch kein Thread offen ist, beginne ich jetzt mal. Da ich mir nicht sicher bin, ob jetzt schon über die Aufgaben diskutiert werden darf, frage ich euch erstmal, wie ihr die Aufgaben fandet (Schönheit, Schwierigkeitsgrad...).
Bei Aufgabe 1 bin ich mir auch etwas unsicher, da mir meine Lösung irgendwie zu simpel erscheint. Ging es euch da genauso?
Hier noch der Link zu den Aufgaben: https://www.mathe-wettbewerbe.de/download/aufgaben-19-2.pdf
Viele Grüße,
Philipp
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Ex_Senior
| Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-04
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Da der Abgabetermin nun ein paar Tage zurück liegt, spricht nichts dagegen auch über Lösungen zu diskutieren (modulo Einwände von cyrix :) ). Kannst Du für all die alten Leute hier die Aufgaben zum miträtseln im Themenstart wiederholen? Danke.
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Math314
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-04
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Habe den Link noch reingestellt :-)
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-04
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Die erste Aufgabe sieht schon recht einfach aus. So über den Daumen gepeilt würde ich behaupten, dass spätestens nach 14 Runden nichts mehr geht.
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Math314
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-04
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Habe ich jetzt nicht explizit so in den Beweis beschrieben, müsste ich aber auch raushaben
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Red_
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-04
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Hi,
ich nehme zwar nicht mehr teil, aber habe zwei der Aufgaben trotzdem gemacht.
A1 war einfach, wie jedes Jahr. Da muss man sich nicht wundern, wenn man sie schnell gelöst hat.
A2 war lächerlich für eine zweite Aufgabe. Meine Lösung ist zwei Zeilen lang. Generell sind Ungleichungen und Funktionalgleichungen in deutschen Mathematikwettbewerben sehr einfach.
A3 ist eine Geometrie Aufgabe, die mir immer sehr langweilig erschienen.
A4 sah dieses mal am interessantesten und spaßigsten aus. Da ich jedoch weiß, dass eine A4 beim BWM nicht zu unterschätzen ist bzgl. des Zeitaufwands, habe ich sie nicht versucht zu lösen :-) Intuitiv würde ich denken, dass man für k verschiedene Fälle modulo einer Zahl n hat und dort in allen Fällen bestimmte Primzahlen heranzieht, die viele der Zahlen teilen, bis letztendlich maximal 23 Primzahlen übrig bleiben.
Oder man führt einen Widerspruchsbeweis durch, was oft eine Beweismethode ist, wenn es um bestimmte Schranken geht, bei denen Primzahlen involviert sind.
Vielleicht kann ja jemand seine Beweisidee zur A4 vorstellen :)
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Ex_Senior
| Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-05
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Die erste Aufgabe fand ich aus didaktischer Hinsicht nett, da man sie auch ohne wettbewerbs-afines Vorwissen gut bearbeiten und damit spielen kann. Für Aufgabe 2 fand ich meine Lösung ganz nett, da kurz und bündig:
$S^2=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+2(b^2+a^2+c^2)=\frac{1}{2} \cdot \left(b^2 \cdot \left(\frac{a^2}{c^2}+\frac{c^2}{b^2}\right)+a^2 \cdot \left(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{b^2}\right)+c^2\cdot \left(\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}\right)\right)+2\geq \frac{1}{2} \cdot \left(2b^2+2a^2+2c^2\right)+2=3,$ also wegen $S>0$ sofort $S\geq \sqrt{3}$, was für $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$ auch angenommen wird, wie man durch Einsetzen leicht bestätigt.
Mit der Geometrie-Aufgabe (A3) habe ich mich nicht lang genug beschäftigt, um einen schönen Ansatz zu sehen. (Jedoch graust es mich auch vor analytischen Lösungen dieser Aufgabe...)
Und die A4 fand ich erstaunlich uninspiriert. Ich selbst habe sie einfach nur mit einer maßvollen, aber dennoch etwas länglig gewordenenen Fallunterscheidung nach Restklassen modulo kleiner Primzahlen der Startzahl abgearbeitet. Da steckt keine kreative Idee dahinter, eher Durchhaltevermögen. Beispiel-Ausschnitt: Ist $k\equiv 0 \pmod{3}$, so sind genau die Zahlen $10k+30i+j$ mit $i\in\{0,1,2\}$, $j\in\{1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\}$ und $30i+j\leq 100$ weder durch 2,3 und 5 teilbar. Dies sind $3 \cdot 8+2=26$ Stück. Jedoch werden in jedem 30er-Block alle Restklassen modulo 7 mindestens einmal von diesen Zahlen durchlaufen, sodass also noch mindestens 3 dieser 26 Zahlen durch 7 teilbar und damit wegen $10k>7$ keine Primzahl sind, sodass höchstens 23 Primzahlen im betrachteten Intervall verbleiben. (Auf die Art hangelt man sich durch; ggf. braucht man noch eine Kongruenz mod 11 und 13, wenn ich mich recht erinnere.)
Von meinem Chef (Kombinatoriker) kam die Idee, dass es ausreichen dürfte, sich mit dem Prinzip von Inklusion und Exklusion durchzuhangeln. Da muss man sich aber erst einmal für klarmachen, wie man mit den Rundungsfehlern umgeht...
Cyrix
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Ex_Senior
| Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-05
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Eine Idee zu Aufgabe 4: Ggg. ist es sinnvoller 10k bis 10k+105 zu betrachten , um mod 7 einzufangen. Wenn wir die Zahlen von 10k bis 10k+210 betrachten, gibt es $\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot 210=48$ Zahlen, die nicht durch $2,3,5,7$ teilbar sind. Dann dürften(?) zwischen 10k und 10k+105 höchstens 24 Primzahlen liegen. Eine weitere sollte sich dann mod 11,13 ausschließen lassen.
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Ex_Senior
| Beitrag No.8, eingetragen 2019-09-05
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Die Primzahlen in den Intervallen [10k, 10k+105] und [10k+106, 10k+210] müssen nicht gleich verteilt liegen. (Dies trifft auch nicht auf die Restklassen modulo 210=2*3*5*7 zu.) Ergo kann man zwar so schließen, dass "im Durchschnitt" höchstens 24 Primzahlen in einem solchen Intervall liegen; im Maximum können es aber mehr sein. (Wenn ich mich recht erinnere, können im zu betrachtenden Intervall [10k; 10k+100] bis zu 25 weder durch 2,3,5,7 teilbare Zahlen liegen.)
Cyrix
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Math314
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-05
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Meine Lösung zu AUfgabe 2:
S^2 = (a^2*b^2) / c^2 + (b^2*c^2) / a^2 + (c^2*a^2) / b^2
+ 2(a^2 + b^2 + c^2)
Dann habe ich die Ungleichung xy/z + yz/x + zx/y >= x+ y + z (für jedes reelle positive Tripel x,y,z bewiesen (allerdings nicht mit der Kehrwertungleichung)und da a²,b²,c² auch positiv und reell sind, gilt:
(a^2*b^2) / c^2 + (b^2*c^2) / a^2 + (c^2*a^2) / b^2 >= a^2 + b^2 + c^2
Durch Einsetzen erhält man dann:
S^2 >= 3(a^2 + b^2 + c^2) = 3
Woraus wegen S > 0 dann S>= sqrt(3) folgt. Da dieser Wert auch erreichbar ist (wenn a = b = c = sqrt(1/3) ) ,ist sqrt(3)
somit der kleinstmögliche Wert von S.
Wird dort auch erwartet, dass man erklärt, wie man auf die Werte a = b = c = sqrt(1/3) kommt? Habe das noch in eine Anmerkung am Ende des Beweises geschrieben
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Ex_Senior
| Beitrag No.10, eingetragen 2019-09-05
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\quoteon(2019-09-05 15:26 - Math314 in Beitrag No. 9)
Wird dort auch erwartet, dass man erklärt, wie man auf die Werte a = b = c = sqrt(1/3) kommt?
\quoteoff
Nope, nötig ist das nicht. Rein formal müsste man nur zeigen, dass die der Bedingung der Aufgabenstellung genügen, also $a^2+b^2+c^2=1$, was aber offensichtlich ist, und dass dann wirklich $S=\sqrt{3}$ wird, was aber auch offensichtlich ist. Insofern sehe ich keine Notwendigkeit, hier genauer darauf einzugehen, wobei ich die Korrektur-Hinweise noch nicht habe.
Cyrix
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Math314
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-05
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Kann ich eigentlich Punktabzug wegen meiner Fallunterscheidung in A4 bekommen? (Ich weiß, es wurde mehrfach geschrieben, dass dies normalerweise nicht passiert, aber sie ist wirklich seeeeeehr lang (41 Seiten, dafür aber auch mit Abbildungen drin))
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Ex_Senior
| Beitrag No.12, eingetragen 2019-09-05
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Also 41 Seiten für eine Aufgabe sind schon eine Hausnummer... ;) Da muss man mal in Ruhe draufschauen. Von außen will ich dazu nichts sagen. Einfach mal abwarten. :)
(Die Arbeiten gehen übrigens spätestens Anfang nächster Woche in die Post an die Korrektorinnen und Korrektoren. Wenn ich das richtig verstanden habe, gehen sie in Bonn von ca. 250-300 Einsendungen aus.)
Cyrix
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Math314
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-05
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Bei A1 habe ich 3, bei A2 3 bzw. 5 (mit Anmerkung) und bei A3 17 Seiten. Habe aber auch immer SEHR ausführlich geschrieben.
Einmal eine allgemeine Frage zu Geometrie-Aufgaben:
In den Musterlösungen steht sowas normalerweise nicht drin, aber man muss doch auch gegebenenfalls die Lage von Punkten beweisen, also hier bei A3 jetzt die Lage der Punkte M,W,L auf der Geraden AB, oder?
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Ex_Senior
| Beitrag No.14, eingetragen 2019-09-08
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Neues aus der Rubrik "nicht repräsentative Statistik":
Am Sonnabend fand ich unverhofft schon meine Tüte zur Erstkorrektur im Briefkasten und konnte natürlich nicht warten, da hineinzuschauen. Tatsächlich lagen dann acht Arbeiten von Teilnehmern der Klassenstufen >= 10, wobei die Hälfte ihr Abi im Sommer schon gemacht haben dürfte, im Umfang von 4 bis 23 Seiten bei. Je einmal wurde Aufgabe 3 bzw. 4 nicht bearbeitet, sonst alle durchgängig.
Im Ergebnis schlage ich folgende Punktzahlen vor:
40 von 40 Punkten (erster Preis): vier mal (davon aber 2 mit "Augen zudrücken")
36-39 von 40 Punkten (zweiter Preis): einmal
29-35 von 40 Punkten (dritter Preis): drei mal (davon einmal eher "noch")
Wie zu erwarten war, ging die erste Aufgabe bei allen Einsendungen problemlos durch. Hier gab es keine Punktabzüge.
Gleiches gilt auch für die sieben der acht Einsendungen, die Aufgabe drei bearbeitet haben. (Daran könnte sich aber ggf. noch in der Zweitkorrektur etwas ändern, da ich sehr liberal über nur implizit erfolgte Gedanken zur Lagebeziehung, in welcher Reihenfolge etwa Punkte auf einer Geraden liegen, was ja durchaus Auswirkungen auf mit diesen Punkten gebildete Winkel haben kann, umgegangen bin.)
Bei Aufgabe zwei kam es zu Problemen, wo einerseits zwar $S\geq \sqrt{3}$ richtig abgeschätzt, aber vergessen wurde, zu zeigen, dass auch $\sqrt{3}$ tatsächlich auch angenommen wurde. Andererseits ging aber auch schon mal die Abschätzung völlig schief, weil $S$ nur gegen einen Term, der beliebig kleine positive Werte annehmen kann, abgeschätzt wurde...
Bei Aufgabe vier dagegen gingen die meisten Einsendungen mit "Tabellenbeweisen" ans Werk. Wenn dies gut strukturiert und nachvollziehbar aufgebaut war, gab es bei richtigem Vorgehen dafür auch die volle Punktzahl. An einer Stelle, wo ich aber mit Tabellen mit in Summe vierstelliger Anzahl an Einträgen erschlagen wurde, musste ich dann doch Punkte abziehen, da dies ohne Rechnereinsatz in vertretbarer Zeit nicht zu Fuß zu überprüfen ist.
Jetzt bin ich mit dem BWM für diesen Durchlauf durch und freue mich schon aufs nächste Jahr. :) Für die Teilnehmerinnen und Teilnehmer geht es natürlich noch weiter, denn im November erhalten sie nach erfolgter Erst-, Zweit- und Drittkorrektur ihre Ergebnisse. Alle Preisträger, die da noch zur Schule gehen, können dann im Dezember an den Vor-Auswahlklausuren für den Auswahlwettbewerb zur deutschen IMO-Mannschaft teilnehmen. Und alle ersten Preisträger (die noch nicht ihren Bundessieg in vorherigen Wettbewerbsdurchläufen eingefahren haben) dürfen im Februar nächsten Jahres am Kolloquium teilnehmen. Insofern gibt es noch viel Spannung. :)
Viele Grüße
Cyrix
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Math314
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Dabei seit: 24.02.2019
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-14
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\quoteon(2019-09-08 20:23 - cyrix in Beitrag No. 14)
Jetzt bin ich mit dem BWM für diesen Durchlauf durch und freue mich schon aufs nächste Jahr. :) Für die Teilnehmerinnen und Teilnehmer geht es natürlich noch weiter, denn im November erhalten sie nach erfolgter Erst-, Zweit- und Drittkorrektur ihre Ergebnisse. Alle Preisträger, die da noch zur Schule gehen, können dann im Dezember an den Vor-Auswahlklausuren für den Auswahlwettbewerb zur deutschen IMO-Mannschaft teilnehmen. Und alle ersten Preisträger (die noch nicht ihren Bundessieg in vorherigen Wettbewerbsdurchläufen eingefahren haben) dürfen im Februar nächsten Jahres am Kolloquium teilnehmen. Insofern gibt es noch viel Spannung. :)
\quoteoff
Ich werde mein Ergebnis wohl schon etwas früher durch die Statistiken bekommen, bin nämlich der einzige Teilnehmer in meinem Bundesland in meiner Klassenstufe ;-) . Wie schwer sind denn so die Aufgaben von den VAIMOs meistens? Sind die vergleichbar mit den Aufgaben vom Bundeswettbewerb?
Viele Grüße,
Philipp
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Ex_Senior
| Beitrag No.16, eingetragen 2019-09-14
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Wenn ich mich recht erinnere, besteht eine der beiden Auswahlklausuren im Dezember aus Aufgaben der IMO-Shortlist des vergangenen Jahres, also potentiellen IMO-Aufgaben. Auf den Seiten des BWMs findet man die Aufgaben der vergangenen Jahre...
Cyrix
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Ex_Senior
| Beitrag No.17, eingetragen 2019-09-14
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Hallo Philipp,
persönlich hatte ich nur einmal das Vergnügen an einer Auswahlklausur teilzunehmen - und ehrlich: Sauschwer. Die zweite Runde des BWM war für mich im Allgemeinen schon eine ordentliche Herausforderung aber die Auswahlklausur hat mich einfach geschafft. Das Mathestudium im Jahr danach trotzdem kein Problem.
Viele Grüße
Tom
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Ex_Senior
| Beitrag No.18, eingetragen 2019-09-14
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Was die VAIMO angeht, hatte ich in meiner 11. Klasse (Dezember 2002) die prägendste Erfahrung: Die erste Klausur lief ganz gut; ich hatte alle drei Aufgaben i.W. raus; und so habe ich mir leise Hoffnung darauf gemacht, über dem cutoff zu liegen und an den Auswahlseminaren teilnehmen zu können. Eine Aufgabe in der zweiten Klausur, und dann wäre ich bestimmt dabei. So schwer kann das doch nicht sein... Tja, und dann bekam ich in der zweiten Klausur nicht eine sinnvolle Idee, noda, niente... Im Januar gab es dann das Ergebnis: 27/60 Punkten. Später erfuhr ich -- man ist ja dann doch untereinander ganz gut vernetzt --, dass der cutoff bei 28 Punkten gelegen hat. *grumml* Das war mein bestes Jahr. ;)
Cyrix
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
 | Beitrag No.19, eingetragen 2019-09-15
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Oha, es wurde früher wohl viel härter korrigiert. In meiner Zeit (2015, 2016, 2017) wurde wesentlich leichter korrigiert, es gab haufenweise Spampunkte - z.B. hatte ich in 2016 eine Aufgabe und eine Teilaufgabe gelöst, aber 28 Punkte gehabt.
(Ich habe auch gehört, dass jemand in 2017 1-2 Aufgaben gelöst hat, aber weit über 40 bekam. Wie das geht, weiß ich auch nicht.)
Letztendlich hat es bei mir aber auch nie geklappt, bin einmal um 2 Punkte und einmal um 1 Punkt am Cutoff gescheitert.
Einfach die Auswahlklausuren als spaßige Chance ansehen :-)
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Math314
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
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Wohnort: Trier
| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-16
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\quoteon(2019-09-15 05:05 - Kezer in Beitrag No. 19)
Einfach die Auswahlklausuren als spaßige Chance ansehen :-)
\quoteoff
Erstmal abwarten, ob es ein Preis wird :-)
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wessi90
Senior
Dabei seit: 16.09.2011
Mitteilungen: 2127
| Beitrag No.21, eingetragen 2019-09-16
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Moin,
bei Aufgabe 2 spricht doch nichts dagegen, das einfach als Extremwertproblem zu sehen und mit einem Lagrange-Multiplikator zu lösen, oder? Jedenfalls kommt man so auf konstruktivem Weg auf die Lösung und muss nur noch zeigen, dass es nicht nur ein lokales Minimum ist, bspw. durch die hier bereits bewiesene Ungleichung. So würde zumindest die Wahl der Werte für a,b und c nicht vom Himmel fallen.
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Ex_Senior
| Beitrag No.22, eingetragen 2019-09-16
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Das ist eine (wenn auch nicht schüler-gerechte) Möglichkeit. Tatsächlich hatte ich auch eine Abgabe, die $c=\sqrt{1-a^2-b^2}$ substituiert und dann kritische Punkte der Funktion $S(a,b)$ mittels dort verschwindender partieller Ableitungen gesucht hat. (Die Frage, wie sich diese Funktion in der Nähe des Rands des Definitionsbereichs verhält, war aber nicht ganz sauber...)
Die Stelle mit $a=b=c$, an welcher als einziges der minimale Funktionswert angenommen wird, folgt beispielsweise auch aus den Mittelungleichungen bzw. (in meiner in Beitrag No. 6 angegeben Lösung) aus $x>0 \wedge x+\frac{1}{x}=2 \Rightarrow x=1$.
Es war in der Aufgabe zwar gefordert, dass man auch zeigte, dass dieser minimale Wert angenommen wird, nicht aber, dass dies auch nur an einer einzigen Stelle der Fall ist.
Cyrix
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Red_
Aktiv
Dabei seit: 28.09.2016
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| Beitrag No.23, eingetragen 2019-09-16
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Hi wessi90,
die Wahl von a,b,c fällt keineswegs vom Himmel. Bei zyklischen und symmetrischen Ungleichungen wird fast immer Gleichheit bei den Schranken angenommen, wenn alle Variablen gleich sind. Und durch die Nebenbedingung erhälst du deine Werte.
Das ist oft auch ein Trick: Man untersucht wann Gleichheit bei der Ungleichung gilt und versucht Rückschluss darauf zu finden, welche bekannten Ungleichungen man anwenden kann/darf/sollte...
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Math314
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 24.02.2019
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Wohnort: Trier
| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-18
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Die vorläufigen Musterlösungen sind
online: https://www.mathe-wettbewerbe.de/bwm/bwm-wettbewerb-1
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| Math314 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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