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| Autor |
  Warum gilt die Ungleichung: ln(N)-ln(N-1)- 1/N > 0 für N∈ℕ ? Warum ist das relativ offensichtlich? |
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Sambucus
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 100
 |  Themenstart: 2019-09-16
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Warum gilt \( \int_{N-1}^{N}\frac{x}{dx}-\frac{1}{N}>0 \) ?
Ich habe zwar irgendwie eine Begründung/Beweis hinbekommen, aber in meinem Buch wird die Ungleichung ohne weitere Erläuterung in einem Beweis verwendet, deswegen wollte ich fragen, ob jemand eine kompaktere Begründung findet als ich.
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Meine Begründung dafür, dass \( \int_{N-1}^{N}\frac{x}{dx}-\frac{1}{N}>0 \) gilt:
Sei \(N\neq 1\), dann gilt: \(\int_{N-1}^{N}\frac{x}{dx}=\ln(N)-\ln(N-1)=\ln(\frac{N}{N-1})=\ln(\frac{1}{1-\frac{1}{N}})=\ln((1-\frac{1}{N})^{-1})=-\ln(1-\frac{1}{N}) \)
Also ist auch prüfbar, ob Folgendes tatsächlich gilt: \( -\ln(1-\frac{1}{N}) >\frac{1}{N}\) bzw. \( \ln(1-\frac{1}{N}) <-\frac{1}{N}\)
Da ich daran aber nichts erkenne, hatte ich dann noch beidseitig die Exponentialfunktion angewendet, da diese streng monoton steigend ist muss gelten:
\(\exp(\ln(1-\frac{1}{N})) <\exp(-\frac{1}{N}) \leftrightarrow 1-\frac{1}{N} <\exp(-\frac{1}{N})=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{-1}{N})^n}{n!}=1-\frac{1}{N}+\sum \limits_{n=2}^{\infty}\frac{(-\frac{1}{N})^n}{n!} \leftrightarrow 0 <\sum \limits_{n=2}^{\infty}\frac{(-\frac{1}{N})^n}{n!}=\sum \limits_{n=2}^{\infty}(-1)^n\frac{(\frac{1}{N})^n}{n!}\overset{\text{*}}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} (\frac{(\frac{1}{N})^{2k}}{(2k)!}-\frac{(\frac{1}{N})^{2k+1}}{(2k+1)!}) \)
Die letzte Ungleichung gilt, da für zwei aufeinanderfolgende Glieder und \(n\in \mathbb{N}\) gilt :
\( \frac{(\frac{1}{N})^n}{n!}>\frac{(\frac{1}{N})^{n+1}}{(n+1)!} \leftrightarrow \frac{1}{N^n\cdot n!}>\frac{1}{N^{n+1}\cdot(n+1)!}\)
*Da die Exponentialreihe absolut konvergiert kann ich das Assoziativgesetz anwenden ohne dass sich der Grenzwert ändert.
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Meine Begründung erscheint mir viel zu umständlich :(
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Creasy
Senior 
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 585
Wohnort: Bonn
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-16
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Hey,
deine Rechnung legen nahe, dass du eventuell $\int_{N-1}^N \frac{dx}{x}$ betrachtest? Ansonsten ignoriere das Folgende:
$\int_{N-1}^{N} \frac{dx}{x} = \int_{N-1}^{N-\frac{1}{2}} \frac{dx}{x} + \int_{N-\frac{1}{2}}^{N} \frac{dx}{x} \geq \int_{N-1}^{N-\frac{1}{2}} \frac{1}{N-\frac{1}{2}} dx + \int_{N-\frac{1}{2}}^N \frac{1}{N} dx = \frac{1}{2} (\frac{1}{N-\frac{1}{2}} + \frac{1}{N}) > \frac{1}{N}$.
Grüße
Creasy
Edit:
Diese Idee beruht darauf, dass $\frac{1}{x}$ auf $[N-1,N]$ monoton fallend ist, also dass an der oberen Grenze der niedrigste Wert angenommen wird. Der entspricht gerade $\frac{1}{N}$. Nur kann man das nicht direkt abschätzen, weil man dann eigentlich nur $\geq$ gezeigt hat.
Mit Stammfunktionen kann man natürlich auch arbeiten. Zum Beispiel gilt $1-\frac{1}{x} < \log (x)$ (EDIT) für $x>1$ (siehe hierhier). Für $x=\frac{N}{N-1}$ erhältst du auch das Gewünschte.
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Sambucus
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 100
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-16
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\quoteon(2019-09-16 13:21 - Creasy in Beitrag No. 1)
$\int_{N-1}^{N} \frac{dx}{x} = \int_{N-1}^{N-\frac{1}{2}} \frac{dx}{x} + \int_{N-\frac{1}{2}}^{N} \frac{dx}{x} \geq \int_{N-1}^{N-\frac{1}{2}} \frac{1}{N-\frac{1}{2}} dx + \int_{N-\frac{1}{2}}^N \frac{1}{N} dx = \frac{1}{2} (\frac{1}{N-\frac{1}{2}} + \frac{1}{N}) > \frac{1}{N}$.
Edit:
Diese Idee beruht darauf, dass $\frac{1}{x}$ auf $[N-1,N]$ monoton fallend ist, also dass an der oberen Grenze der niedrigste Wert angenommen wird. Der entspricht gerade $\frac{1}{N}$. Nur kann man das nicht direkt abschätzen, weil man dann eigentlich nur $\geq$ gezeigt hat.
Mit Stammfunktionen kann man natürlich auch arbeiten. Zum Beispiel gilt $1-\frac{1}{x} < \log (\frac{1}{x})$ für $x>1$ (siehe hierhier). Für $x=\frac{N}{N-1}$ erhältst du auch das Gewünschte.
\quoteoff
Sehr gut, auch cool dass du mir gleich zwei Optionen angegeben hast.
Danke :)
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-16
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Das Ganze folgt doch trivialerweise aus der Monotonie des Integranden:
Ist $N>1$, so gilt
$\int_{N-1}^N \frac{1}{x} \textrm{d}x>\int_{N-1}^N \frac{1}{N} \textrm{d}x=\frac{1}{N}$.
Cyrix
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Sambucus
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 100
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-16
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\quoteon(2019-09-16 14:09 - cyrix in Beitrag No. 3)
Das Ganze folgt doch trivialerweise aus der Monotonie des Integranden:
Ist $N>1$, so gilt
$\int_{N-1}^N \frac{1}{x} \textrm{d}x>\int_{N-1}^N \frac{1}{N} \textrm{d}x=\frac{1}{N}$.
Cyrix
\quoteoff
Danke, jetzt verstehe ich warum der Autor das einfach unerklärt gelassen hat :)
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